Verteilungsfunktion < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Gegeben ist folgende Verteilungsfunktion:
[mm] F(x)=\left \begin{matrix}
0, & \mbox{wenn} x < -2 \\
0,1, & \mbox{wenn } -2 \le x < 1,1 \\
0,3, & \mbox{wenn } 1,1 \le x < 2 \\
0,6, & \mbox{wenn } 2 \le x < 3 \\
1, & \mbox{wenn} x \ge 3
\end{matrix} \right
[/mm]
(a) Finden Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion, p(x) = P(X = x), von X.
(b) Berechnen Sie P(2 < X < 3), P(X [mm] \ge [/mm] 3), P(X [mm] \ge [/mm] 3 | X [mm] \ge [/mm] 0)
(c) Berechnen Sie die Verteilungsfunktion von Y = [mm] X^2?
[/mm]
(d) Berechnen Sie E(X) und [mm] E(X^3 [/mm] - cos [mm] \pi [/mm] X) |
Hallo!
zu a) Die Angabe der Funktion soll eine Fallunterscheidung sein, aber wie kann ich hier die Wahrscheinlichkeitsfunktion berechnen, wenn ich nur Zahlenwerte gegeben habe?
zu b) Also ich glaube P(X [mm] \ge [/mm] 3) = 1. Aber wie komme ich auf die anderen Wahrscheinlichkeiten?
Hat jemand einen Tip?
|
|
| |
|
Hi, Student,
> Gegeben ist folgende Verteilungsfunktion:
>
> [mm]F(x)=\left \begin{matrix}
0, & \mbox{wenn} x < -2 \\
0,1, & \mbox{wenn } -2 \le x < 1,1 \\
0,3, & \mbox{wenn } 1,1 \le x < 2 \\
0,6, & \mbox{wenn } 2 \le x < 3 \\
1, & \mbox{wenn} x \ge 3
\end{matrix} \right[/mm]
>
>
> (a) Finden Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion, p(x) = P(X
> = x), von X.
> (b) Berechnen Sie P(2 < X < 3), P(X [mm]\ge[/mm] 3), P(X [mm]\ge[/mm] 3 | X [mm]\ge[/mm] 0)
> zu a) Die Angabe der Funktion soll eine Fallunterscheidung
> sein, aber wie kann ich hier die
> Wahrscheinlichkeitsfunktion berechnen, wenn ich nur
> Zahlenwerte gegeben habe?
Über die jeweiligen Differenzen, denn bei der Verteilungsfunktion werden ja umgekehrt die Werte der Wahrscheinlichkeitsfunktion summiert.
Also: P(X= -2) = 0,1,
P(X= 1,1) = 0,2
P(X= 2) = 0,3
P(X= 3) = 0,4
> zu b) Also ich glaube P(X [mm]\ge[/mm] 3) = 1.
Nein! Es gilt zwar F(3) = 1, aber P(X [mm] \ge [/mm] 3) ist nicht 1.
Die Frage lautet ja: "Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist der Zufallswert mindestens 3?".
Und nach meiner Antwort zu a) ist P(X=3) = 0,4
und darum auch P(X [mm] \ge [/mm] 3) = 0,4
> Aber wie komme ich auf die anderen Wahrscheinlichkeiten?
Durch entsprechendes "Suchen" der betroffenen Zufallswerte:
P(2 < X < 3): zwischen 2 und 3 liegt KEIN Zufallswert der gegebenen Verteilung; daher: P(2 < X < 3) = 0.
P(X [mm]\ge[/mm] 3 | X [mm]\ge[/mm] 0)
Hier weiß ich nicht, wie der senkrechte Strich gemeint ist. Schreibt Ihr so die "bedingte Wahrscheinlichkeit"?
mfG!
Zwerglein
|
|
|
| |
|
> P(2 < X < 3): zwischen 2 und 3 liegt KEIN Zufallswert der gegebenen
> Verteilung; daher: P(2 < X < 3) = 0.
F(x) hat doch zwischen 2 und 3 den Wert 0,6? Wieso ist dann nicht P(2 < X < 3) = 0,3?
> Über die jeweiligen Differenzen, denn bei der Verteilungsfunktion werden
> ja umgekehrt die Werte der Wahrscheinlichkeitsfunktion summiert.
OK, die Differenz beträgt immer 0,1. Ist dann p(x) = P (X = k) = 0,1 k ?
|
|
|
| |
|
Hi,
> > P(2 < X < 3): zwischen 2 und 3 liegt KEIN Zufallswert der
> gegebenen
> > Verteilung; daher: P(2 < X < 3) = 0.
>
> F(x) hat doch zwischen 2 und 3 den Wert 0,6? Wieso ist dann
> nicht P(2 < X < 3) = 0,3?
Ich glaube, wir müssen uns erst mal über die "Zufallswerte" einigen.
Laut Deiner Tabelle gibt es nur folgende vier Stück davon:
-2; 1,1; 2 und 3.
Welcher davon sollte denn nun "zwischen" (!) 2 und 3 liegen?
Keiner. Demnach: Wahrscheinlichkeit =0.
Zum zweiten müssen wir den Unterschied zwischen der Wahrscheinlichkeitsfunktion P und der Verteilungsfunktion F klären:
P gilt für "diskrete" Werte, d.h. hier wird berechnet, mit welcher Wahrsch. der oder jener Zufallswert eintritt.
F hingegen summiert die Wahrscheinlichkeiten "von unten nach oben".
D.h. z.B. F(2) heißt in Worten: Mit welcher Wahrscheinlichkeit beträgt der Zufallswert "höchstens" 2.
> > Über die jeweiligen Differenzen, denn bei der
> Verteilungsfunktion werden
> > ja umgekehrt die Werte der Wahrscheinlichkeitsfunktion
> summiert.
>
> OK, die Differenz beträgt immer 0,1. Ist dann p(x) = P (X =
> k) = 0,1 k ?
Und wie ist das z.B. für X= -2 ?
Dann käme bei Dir ja P(X= -2) = -0,2 raus:
Das stimmt doch nicht!
Wozu willst Du das überhaupt mit einer Variablen k schreiben?
Bei so wenigen Zufallswerten (4 Stück!) schreibt man die Wahrscheinlichkeiten doch einfach hin, ggf. mit Hilfe einer Wertetabelle!
mfG!
Zwerglein
|
|
|
| |
|
Danke für die Hilfe!
> Und wie ist das z.B. für X= -2 ?
> Dann käme bei Dir ja P(X= -2) = -0,2 raus:
> Das stimmt doch nicht!
> Wozu willst Du das überhaupt mit einer Variablen k schreiben?
> Bei so wenigen Zufallswerten (4 Stück!) schreibt man die
> Wahrscheinlichkeiten doch einfach hin, ggf. mit Hilfe einer Wertetabelle!
Ich will das mit einer Variable schreiben damit ich Punkt a beantworten kann. Ansonst hab ich beim besten Willen, keine Ahnung was da gefragt ist.
zu d) Ist eigentlich der Erwartungswert folgender?
0 * ??? + 0,1 * -2 + 0,3 * 1,1 + 0,6*2 + 1 *3 = -0,2 + 0,33+ 1,2+ 3 = 4,33
|
|
|
| |
|
Hi,
> Wozu willst Du das überhaupt mit einer Variablen k
> schreiben?
> Bei so wenigen Zufallswerten (4 Stück!) schreibt man die
> Wahrscheinlichkeiten doch einfach hin, ggf. mit Hilfe einer
> Wertetabelle!
>
> Ich will das mit einer Variable schreiben damit ich Punkt a
> beantworten kann. Ansonst hab ich beim besten Willen, keine
> Ahnung was da gefragt ist.
Du darfst die Stochastik nicht wie die Analysis angehen.
Bei einer Wahrscheinlichkeitsfunktion kann man nur selten einen "Funktionsterm" angeben. Bei Deinem Beispiel MUSS man jeden einzelnen Wert aufschreiben - und bei 4 Zahlen ist das ja wohl auch ziemlich einfach!
> zu d) Ist eigentlich der Erwartungswert folgender?
>
> 0 * ??? + 0,1 * -2 + 0,3 * 1,1 + 0,6*2 + 1 *3 = -0,2 +
> 0,33+ 1,2+ 3 = 4,33
Nein!
E(X) = -2*0,1 + 1,1*0,2 + 2*0,3 + 3*0,4 = 1,82
mfG!
Zwerglein
|
|
|
| |
|
sieht die Wahrscheinlichkeitsfunktion dann so aus?
p(x)= [mm] \begin{matrix}
0,1, & \mbox{wenn x = -2 }\\
0,2, & \mbox{wenn x = 1,1 }\\
0,3, & \mbox{wenn x = 2 }\\
0,4, & \mbox{wenn x = 3 }\\
0, & \mbox{sonst}\\
\end{matrix}
[/mm]
|
|
|
| |
|
Hi,
> sieht die Wahrscheinlichkeitsfunktion dann so aus?
>
> p(x)= [mm]\begin{matrix}
0,1, & \mbox{wenn x = -2 }\\
0,2, & \mbox{wenn x = 1,1 }\\
0,3, & \mbox{wenn x = 2 }\\
0,4, & \mbox{wenn x = 3 }\\
0, & \mbox{sonst}\\
\end{matrix}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
So kannst Du das schreiben! (halt mit der geschweiften Klammer links)
mfG!
Zwerglein
|
|
|
| |
|
zu c)
Wie fange ich hier an? Nehme ich die ursprüngliche Verteilungsfunktion:
$ [mm] F(Y)=\left \begin{matrix} 0, & \mbox{wenn} x < -2 \\ 0,1, & \mbox{wenn } -2 \le x < 1,1 \\ 0,3, & \mbox{wenn } 1,1 \le x < 2 \\ 0,6, & \mbox{wenn } 2 \le x < 3 \\ 1, & \mbox{wenn} x \ge 3 \end{matrix} \right [/mm] $
und setzt für x² ein?
|
|
|
| |
|
Hi,
wenn ich so lange mit der Antwort grzögert habe, dann deshalb, weil ich mit dieser Art Aufgaben bislang noch nicht konfrontiert wurde und sozusagen gehofft habe, dass jemand anderer Dir hilft.
Nun denn:
Ich glaube, das geht so:
Zunächst musst Du die neuen Zufallswerte finden.
Da Du dazu die "alten" x-Werte quadrieren musst, ergeben sich für Y nur noch 3 davon, nämlich: 1,21; 4; 9.
Für die Wahrscheinlichkeitsfunktion erhält man dann:
P(Y=1,21) = P(X=1,1) = 0,2
P(Y=4) = P(X=-2) + P(X=2) = 0,1+0,3=0,4
P(Y=9) = P(X=3) = 0,4
Die Verteilungsfunktion F(Y) ist dann:
F(y) = 0 für y < 1,21
F(y) = 0,2 für 1,21 [mm] \le [/mm] y < 4
F(y) = 0,6 für 4 [mm] \le [/mm] y < 9
F(y) = 1 für y [mm] \ge [/mm] 9.
So müsste das m.E. aussehen!
mfG!
Zwerglein
PS: Bei der letzten Frage müsstest Du nochmal deutlicher erklären,
ob [mm] cos(\pi)*X [/mm]
oder [mm] cos(\pi*X)
[/mm]
gemeint ist!
|
|
|
|
