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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:33 Mo 04.07.2005 | | Autor: | qwert_z |
Hallo! Ich soll folgende Aufgabe lösen:
[mm] X_{1}, [/mm] ..., [mm] X_{n} [/mm] seien unabhängige Zufallsvariable auf einem W-Raum [mm] (\Omega, \cal{A}, \cal{P}), [/mm] welche jeweils die Verteilungsfunktion F besitzen.
a. Geben Sie die Verteilungsfunktion von Y:=max{ [mm] X_{1}, [/mm] ..., [mm] X_{n} [/mm] } und Z:=min{ [mm] X_{1}, [/mm] ..., [mm] X_{n} [/mm] } an!
b. Es werden zusätzlich vorausgesetzt, dass die [mm] X_{i} [/mm] eine Dichte f besitzen. Bestimmen Sie die Dichten von Y und Z!
Ich weiß nicht, wie ich an die Aufgabe rangehen soll und hoffe, dass mir hier jemand helfen kann!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:07 Mo 04.07.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Es sollte dir keine weiteren Schwierigkeiten bereiten das hier weiter zu verallgemeinern.
Zum zweiten Teil:
Die Dichten erhältst du ja einfach nach Ableiten der Verteilungsfunktion...  (Das gibt hier meiner Ansicht nach, ohne es probiert zu haben, aber einen unschönen Ausdruck (Produktregel).)
Naja, versuche es mal...)
Viele Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:21 Mo 04.07.2005 | | Autor: | qwert_z |
Hallo!
Habe dir Aufgabe jetzt soweit nachvollziehen können und verstanden. Bin jetzt bei
[mm] F_{Y}=F_{X_{1}}(y)*...*F_{X_{n}}(y) [/mm] und
[mm] F_{Z}=1-(1-F_{X_{1}}(z))*...*(1-F_{X_{n}}(z))
[/mm]
Ich weiß jetzt nur nicht, wie ich das ganze noch weiter umformen soll...
Die [mm] X_{i} [/mm] haben ja jeweils die Verteilungsfunktion F.
Gilt dann [mm] F_{Y}=F^{n}(y)?
[/mm]
Und was wäre mit [mm] F_{Z}? [/mm] Gibt es da irgendeine Formel, die man anwenden kann?
Dass ich dann zur Bestimmung der Dichte die Ableitungen bilden muss, ist klar. Ist ja so nach Definition.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:31 Mo 04.07.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Okay, ich hatte übersehen, dass die [mm] $X_i$ [/mm] alle die gleiche Verteilungsfunktion besitzen sollen. Na, dann haben wir doch einfach:
[mm] $F_Y(y) [/mm] = [mm] F^{n}(y)$
[/mm]
und
[mm] $F_Z(z) [/mm] = 1 - [mm] (1-F(z))^n$.
[/mm]
Und die Dichtefunktionen erhältst du jetzt durch Ableiten mit der Kettenregel...
Viele Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:17 Mo 04.07.2005 | | Autor: | qwert_z |
Achja... habe ich ganz übersehen, dass man [mm] F_{Z}(z) [/mm] auch so vereinfachen kann!
Vielen, vielen Dank!
Das ableiten müsste ich ja jetzt hinbekommen! 
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