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| Aufgabe | Aufgabe H15
Die Zufallsvariablen [mm] X;X_1;.....;X_n [/mm] seien unabängig und gleichverteilt auf [0; 1].
a) Es sei V = [mm] cos(\pi [/mm] * X).
(i) Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion von |V|.
(ii) Bestimmen Sie die Varianz von V . |
Guten Abend,
ich komme verstehe einen Schritt bei der Lösung des Aufgabenteils i nicht unzwar den folgenden:
F_|V|(x) = [mm] P(|V|\le [/mm] x) = P(-x [mm] \le [/mm] cos( [mm] \pi* [/mm] X) [mm] \le [/mm] x)
= P(arccos(x) [mm] \le \pi [/mm] *X [mm] \le [/mm] arccos(-x))
Wieso tauschen auf einmal die negativen mit den positifen Werten?
Alles nach diesem Schritt verstehe ich und auch die Lösung scheint sinnvoll aber hier habe ich meine Probleme.
Mfg
K.R.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hiho,
das liegt einfach daran, dass der Cosinus im betrachteten Intervall (streng) monoton fallen ist.
Rufen wir uns dazu die Definition von "monoton fallend" nochmal ins Gedächnis:
$x [mm] \le y\; \Rightarrow\; [/mm] f(x) [mm] \ge [/mm] f(y)$
Ist f umkehrbar, wie hier gegeben, gilt sogar:
$x [mm] \le y\; \gdw\; [/mm] f(x) [mm] \ge [/mm] f(y)$
An deinem Beispiel:
Mach dir mal den Verlauf des Cosinus im Intervall [mm] $[0,\pi]$ [/mm] klar.
Die Werte des [mm] \cos [/mm] sind zwischen 0 und [mm] $\bruch{\pi}{2}$ [/mm] grösser gleich 0 und zwischen [mm] $\bruch{\pi}{2}$ [/mm] und [mm] \pi [/mm] kleiner gleich Null.
Oder etwas mathematischer hingeschrieben:
Möchte ich schauen, wo [mm] $\cos(x) \le [/mm] 0$ gilt, muss ich alle Werte nehmen, für die $x [mm] \ge \bruch{\pi}{2}$ [/mm] gilt.
Und für eine allgemeine Stelle:
Möchte ich schauen, wo [mm] $\cos(x) \le [/mm] c$ gilt, muss ich alle Werte nehmen, für die $x [mm] \ge \arccos(c)$ [/mm] gilt.
MFG,
Gono.
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Ok, ich hätte ja dann eigentlich auch darüber die Dichte Funktion für |V| darauf kommen können, oder sehe ich das wieder falsch?
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Hiho,
> Ok, ich hätte ja dann eigentlich auch darüber die Dichte
> Funktion für |V| darauf kommen können, oder sehe ich das
> wieder falsch?
nein, tust du nicht.
Ist [mm] $\IP(|V| \le [/mm] x)$ differenzierbar, so hast du natürlich sofort eine Dichtefunktion.
MFG,
Gono.
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Ich glaube ich versteh es immernoch nicht.
Wäre jetzt die Funktion [mm] V=sin(\pi [/mm] *x), wäre die Unterscheidung nicht notwenig, da im Intervall [0;1] alle Werte positiv sind?
Mfg
K.R.
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Hiho,
> Ich glaube ich versteh es immernoch nicht.
> Wäre jetzt die Funktion [mm]V=sin(\pi[/mm] *x), wäre die
> Unterscheidung nicht notwenig, da im Intervall [0;1] alle
> Werte positiv sind?
nein, mit dem positiv hat das nix zu tun, sondern mit dem monoton fallend.
Das hab ich dir im ersten Post sogar bewiesen.
[mm] \sin [/mm] kannst du auf dem besagten Intervall nur schwerer betrachten, weil es auf dem halben Intervall monoton steigt und auf dem anderen monoton fällt.
Insbesondere gilt hier [mm] $\sin(\pi [/mm] * X) [mm] \ge [/mm] 0$ für $X [mm] \in [/mm] [0,1]$ so dass ein Betragsbildung hier gar nicht notwendig wäre.
Hier würde also gelten:
[mm] $\IP\left(\sin(\pi*X) \le x\right) [/mm] = [mm] \IP\left(\pi*X \le \arcsin(x) \vee \pi*X \ge \pi - \arcsin(x)\right) [/mm] = [mm] \IP\left(\pi*X \le \arcsin(x)\right) [/mm] + [mm] \IP\left(\pi*X \ge \pi - \arcsin(x)\right)$
[/mm]
Und auch hier gilt wieder: Wenn du es dir nicht vorstellen kannst, mach dir eine Skizze!
Die erklärt vieles.
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Vielen Dank für die Hilfe, vor allem noch um diese Uhrzeit, spricht sehr für dich und auch für das Forum.
Ich hoffe meine Blockade ist morgen weg, dann lese ich mir deine Hilfe nochmal durch, peinlich =/
Mfg
K.R.
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Hi,
also ich hab mir heute nochmal deinen ersten Post angesehen und ich glaube jetzt ist der Groschen gefallen.
Da der Cosinus in dem Intervall [mm] [0;\pi] [/mm] monoton fallend ist, ist wie du schon geschrieben hast gilt für jeden Wert [mm] x\le [/mm] y [mm] f(x)\fe [/mm] f(y) und damit die Aussage der Ungleichung, dann noch wahr bleiben kann muss man einen Vorzeichenwechsel vornehmen, denn -x wird idR kleiner als x sein.
Hoffe ma das stimmt so einigermaßen =D
Mfg
K.R.
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> Hi,
>
> also ich hab mir heute nochmal deinen ersten Post angesehen
> und ich glaube jetzt ist der Groschen gefallen.
> Da der Cosinus in dem Intervall [mm][0;\pi][/mm] monoton fallend
> ist, ist wie du schon geschrieben hast gilt für jeden Wert
> [mm]x\le[/mm] y [mm]f(x)\ge[/mm] f(y) und damit die Aussage der Ungleichung,
> dann noch wahr bleiben kann muss man einen
> Vorzeichenwechsel vornehmen, denn -x wird idR kleiner als x
> sein.
> Hoffe ma das stimmt so einigermaßen =D
Wieso Vorzeichenwechsel? Damit hat das nur bedingt was zu tun:
Dort werden ja zwei Schritte gemacht.
Der erste:
$|f(x)| [mm] \le [/mm] c [mm] \quad \gdw \quad [/mm] -c [mm] \le [/mm] f(x) [mm] \le [/mm] c$
Das kommt einfach aus der Definition des Betrags. So kommt das negative Vorzeichen zustande.
Der zweite Schritt ist die Umformung mit der Umkehrfunktion [mm] f^{-1}
[/mm]
Wir hatten ja bereits festgestellt, dass für eine monoton fallende Funktion mit Umkehrfunktion gilt:
[mm] $z_1 \le z_2 \gdw f(z_1) \ge f(z_2)$ [/mm] bzw
[mm] $z_1 \ge z_2 \gdw f(z_1) \le f(z_2)$ [/mm]
Das nennen wir mal (i).
Nun für dein Beispiel machen wir mal jede Umgleichung seperat.
Einerseits steht da ja:
$-x [mm] \le \cos\left(\pi*X\right)$ [/mm]
Mach dir klar, dass man das mithilfe der Umkehrfunktion [mm] \arccos [/mm] auch schreiben kann als:
[mm] $\cos(\arccos(-x)) \le \cos\left(\pi*X\right)$ [/mm] weil ja [mm] $\cos(\arccos(-x)) [/mm] = -x$
Nun haben wir also eine Ungleichung der Form:
[mm] $\cos(z_1) \le \cos(z_2)$ [/mm] mit [mm] $z_1 [/mm] = [mm] \arccos(-x)$ [/mm] und [mm] $z_2 [/mm] = [mm] \pi*X$
[/mm]
Nach (i) ist das, weil [mm] \cos [/mm] eine monoton fallende Funktion auf dem betrachteten Intervall ist, äquivalent zu:
[mm] $\gdw z_1 \ge z_2$
[/mm]
also:
[mm] $\gdw \arccos(-x) \ge \pi*X$
[/mm]
Und schon hat sich das Relationszeichen umgedreht. Die andere Ungleichung [mm] $\cos\left(\pi * X\right) \le [/mm] x$ kannst du ja mal selbst mit Begründungen umformen.
MFG;
Gono.
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Danke sehr jetzt hab ichs verstanden.
Mfg
K.R.
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