Verteilungsfunktion < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:19 Sa 12.05.2012 | | Autor: | Katze_91 |
| Aufgabe | a) Sei P ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf [mm] (\IR [/mm] , [mm] \mathcal{B}) [/mm] und [mm] \mathcal{F}:\IR \to [/mm] [0,1] gegeben durch [mm] P((-\infty,x]) [/mm] =F(x), x [mm] \in \IR.
[/mm]
Zeigen Sie: Für [mm] a,b,x\in \IR -\infty
(i) P((a,b))=F(b-)-F(a)
(ii) P([a,b))=F(b-)-F(a-)
(iii) P({x})=F(x)-F(x-)
b) Sei F gegeben durch
[mm] F(x)=\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{1}{2i}\I _{[\bruch{1}{i},\infty)}(x)
[/mm]
Zeigen Sie, dass F eine Verteilungsfunktion auf [mm] \IR [/mm] ist.
Sei P definiert durch [mm] P((-\infty,x])=F(x). [/mm]
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten für
(i) [mm] A=[0,\bruch{1}{2})
[/mm]
(ii) B= {0} |
Hallo ^^
bei dieser Aufgabe habe ich vorallem mit den Grenzwerten für die Verteilungsfunktion Probleme (habe hier die Indikatorfunktion mit [mm] \1I [/mm] bezeichnet)
Aufgabe a) habe ich gelöst
bei der b) muss ich ja für die Verteilungsfunktion prüfen:
1) für x [mm] \le [/mm] y [mm] \Rightarrow [/mm] F(x) [mm] \le [/mm] F(y)
2) [mm] \limes_{x \to \infty} [/mm] F(x) =1, [mm] \limes_{x \to -\infty} [/mm] F(x) =0
3) [mm] \limes_{h \to 0, h>0}(F(x+h))=F(x)
[/mm]
4) F hat höchstens abzählbare viele Sprungstellen
5) Stimmen zwei Verteilungsfunktionen auf einer in R dichten Menge überein, so sind sie identisch
die 1) ist ja klar, wenn y größer als x ist, dann ist es ja in mehr intervallen drin, heißt F(y) ist größer als F(x)
bei der 2) hakt es schon
ich habe es umgeschrieben in
[mm] \limes_{x \to \infty} [/mm] F(x)= [mm] \limes_{x \to \infty} \limes_{n \to \infty}\summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{2i}\1I_{[\bruch{1}{i},\infty)}(x)
[/mm]
dachte erst ich könne die Grenzwerte vertauschen (kann man ja bei gleichmäßigerj konvergenz, welches hier wohl doch nicht gibt...) aber dann würde ja die harmonische reihe rauskommen udn die divergiert ja leider
beim zweiten würde zwar, wenn ich die Grenzwerte vertausche 0 raus kommen, aber das dürfte ich ja dann auch nicht
zu 3)
gleiches Problem wie in der 2)
zur 4)
ich hätte da gesagt, dass es aus der abzählbarkeit aus [mm] \IQ [/mm] folgt, da die linke seite des Intervalls eine rationale Zahl ist
zu 5)
ich weiß, dass eine stetige funktion, wenn sie auf [mm] \IQ [/mm] definiert ist, auch schon auf [mm] \IR [/mm] definiert ist aber die Treppenfunktion ist doch nicht stetig....
zu (i)
[mm] P([0,\bruch{1}{2}==F(\bruch{1}{2}-)-F(0-) =\limes_{y \to \bruch{1}{2}}F(y)-\limes_{\mu \to 0}F(\mu)= \limes_{y \to \bruch{1}{2}} \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{1}{2i}\1I_{[\bruch{1}{i},\infty)}(y)-\limes_{\mu \to 0} \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{1}{2i}\1I_{[\bruch{1}{i},\infty)}(\mu)
[/mm]
und hier komm ich wieder nicht weiter....
zu(ii)
P({0})= F(0)-F(0-)= [mm] \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{1}{2i}\1I_{[\bruch{1}{i},\infty)}(0)-\limes_{y \to 0} \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{1}{2i}\1I_{[\bruch{1}{i},\infty)}(y)=0-\limes_{y \to 0} \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{1}{2i}\1I_{[\bruch{1}{i},\infty)}(y) [/mm] und da Wahrscheinlichkeitsmaße größer oder gleich 0 sind ist
P({0}) =0
ich hoffe mir kann einer helfen mit diesen Grenzwerten
Miau
Katze
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> a) Sei P ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf [mm](\IR[/mm] ,
> [mm]\mathcal{B})[/mm] und [mm]\mathcal{F}:\IR \to[/mm] [0,1] gegeben durch
> [mm]P((-\infty,x])[/mm] =F(x), x [mm]\in \IR.[/mm]
> Zeigen Sie: Für [mm]a,b,x\in \IR -\infty
> und F(x-):= [mm]\limes_{y\rightarrow x}[/mm] F(y) gilt:
> (i) P((a,b))=F(b-)-F(a)
> (ii) P([a,b))=F(b-)-F(a-)
> (iii) P({x})=F(x)-F(x-)
>
> b) Sei F gegeben durch
> [mm]F(x)=\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{1}{2i}\I _{[\bruch{1}{i},\infty)}(x)[/mm]
>
> Zeigen Sie, dass F eine Verteilungsfunktion auf [mm]\IR[/mm] ist.
> Sei P definiert durch [mm]P((-\infty,x])=F(x).[/mm]
> Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten für
> (i) [mm]A=[0,\bruch{1}{2})[/mm]
> (ii) B= {0}
> Hallo ^^
> bei dieser Aufgabe habe ich vorallem mit den Grenzwerten
> für die Verteilungsfunktion Probleme (habe hier die
> Indikatorfunktion mit [mm]\1I[/mm] bezeichnet)
>
> Aufgabe a) habe ich gelöst
>
> bei der b) muss ich ja für die Verteilungsfunktion
> prüfen:
> 1) für x [mm]\le[/mm] y [mm]\Rightarrow[/mm] F(x) [mm]\le[/mm] F(y)
> 2) [mm]\limes_{x \to \infty}[/mm] F(x) =1, [mm]\limes_{x \to -\infty}[/mm]
> F(x) =0
> 3) [mm]\limes_{h \to 0, h>0}(F(x+h))=F(x)[/mm]
> 4) F hat höchstens
> abzählbare viele Sprungstellen
> 5) Stimmen zwei Verteilungsfunktionen auf einer in R
> dichten Menge überein, so sind sie identisch
>
4) und 5) musst du nicht nachprüfen, dass folgt allgemein aus 1) - 3)
>
> die 1) ist ja klar, wenn y größer als x ist, dann ist es
> ja in mehr intervallen drin, heißt F(y) ist größer als
> F(x)
ja
>
> bei der 2) hakt es schon
Für [mm] x\le [/mm] 0 sind alle Summanden 0, also ist F(x)=0
Für [mm] x\ge [/mm] 1 ist F(x) ebenfalls konstant, da x in allen Intervallen drinliegt.
> ich habe es umgeschrieben in
> [mm]\limes_{x \to \infty}[/mm] F(x)= [mm]\limes_{x \to \infty} \limes_{n \to \infty}\summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{2i}\1I_{[\bruch{1}{i},\infty)}(x)[/mm]
>
> dachte erst ich könne die Grenzwerte vertauschen (kann man
> ja bei gleichmäßigerj konvergenz, welches hier wohl doch
> nicht gibt...) aber dann würde ja die harmonische reihe
> rauskommen udn die divergiert ja leider
>
> beim zweiten würde zwar, wenn ich die Grenzwerte
> vertausche 0 raus kommen, aber das dürfte ich ja dann auch
> nicht
>
> zu 3)
> gleiches Problem wie in der 2)
Dazu stelltst du fest, dass F auf den Intervallen [mm] \left[\frac{1}{i+1},\frac{1}{i}\right) [/mm] konstant ist und
jedes [mm] x\in(0,1) [/mm] in genau einem dieser Intervalle liegt.
x=0 ist als Sonderfall zu betrachten.
>
> zur 4)
> ich hätte da gesagt, dass es aus der abzählbarkeit aus
> [mm]\IQ[/mm] folgt, da die linke seite des Intervalls eine rationale
> Zahl ist
>
> zu 5)
> ich weiß, dass eine stetige funktion, wenn sie auf [mm]\IQ[/mm]
> definiert ist, auch schon auf [mm]\IR[/mm] definiert ist aber die
> Treppenfunktion ist doch nicht stetig....
siehe oben
>
> zu (i)
> [mm]P([0,\bruch{1}{2}==F(\bruch{1}{2}-)-F(0-) =\limes_{y \to \bruch{1}{2}}F(y)-\limes_{\mu \to 0}F(\mu)= \limes_{y \to \bruch{1}{2}} \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{1}{2i}\1I_{[\bruch{1}{i},\infty)}(y)-\limes_{\mu \to 0} \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{1}{2i}\1I_{[\bruch{1}{i},\infty)}(\mu)[/mm]
>
Das ist viel zu kompliziert.
> und hier komm ich wieder nicht weiter....
Was ist F(0-), wenn F(x)=0 für alle x<0 ist?
Und für [mm] F(\frac{1}{2}-) [/mm] benutzt du, dass F auf [mm] [\frac{1}{3},\frac{1}{2}) [/mm] konstant ist.
>
> zu(ii)
siehe (i)
> P({0})= F(0)-F(0-)=
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{1}{2i}\1I_{[\bruch{1}{i},\infty)}(0)-\limes_{y \to 0} \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{1}{2i}\1I_{[\bruch{1}{i},\infty)}(y)=0-\limes_{y \to 0} \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{1}{2i}\1I_{[\bruch{1}{i},\infty)}(y)[/mm]
> und da Wahrscheinlichkeitsmaße größer oder gleich 0 sind
> ist
> P({0}) =0
>
> ich hoffe mir kann einer helfen mit diesen Grenzwerten
>
> Miau
> Katze
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:19 Sa 12.05.2012 | | Autor: | Katze_91 |
Hallo danke für deine Antwort, aber mir sind noch einige sachen nicht so ganz klar, bzw. verstehe ich die funktion glaube ich falsch
wenn [mm] x\ge [/mm] 1 ist, dann divergiert doch die funktion (ich weiß das sollte sie eigentlich nciht aber ich stelle mir das glaube ich falsch vor)
weil das dann doch eigentlich [mm] \summe_{i=1}^{\infty} \bruch{1}{2i} [/mm] ist weil die indikatorfunktion konstanz auf 1 ist oder?
wie kann die funktion den konstant sein, wenn ich immer was hinzuaddiere?
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Hiho,
erstmal vorweg: Du meintest als Funktion sicherlich
$ [mm] \summe_{i=1}^{\infty} \bruch{1}{2i}*1_{\left[\bruch{1}{i},\infty\right)} [/mm] $, das war nämlich nicht zu erkennen.
Und ja, du hast recht, das divergiert für alle [mm] $x\ge [/mm] 1$ aus dem von dir genannten Grund (im Übrigen auch für alle anderen x, als Übung frag dich mal, warum  ).
Ich Tipp jetzt mal in Blaue und postuliere, dass die Funktion eigentlich:
$ [mm] \summe_{i=1}^{\infty} \left(\bruch{1}{2}\right)^i*1_{\left[\bruch{1}{i},\infty\right)} [/mm] $
heißen soll.
Hast du die Aufgabe korrekt wiedergegeben?
Wenn ja: Aufgabensteller anschreiben und mit obiger Funktion weitermachen 
edit & PS: Die Tipps von don sind natürlich trotzdem anwendbar und zielführend
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:27 Sa 12.05.2012 | | Autor: | Katze_91 |
ah, natürlich, ich hab das die ganze zeit falsch gelesen, tut mir leid!
ja dann ist alles klar ^^
vielen dank!
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