Verteilungsgesetz gesucht < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:47 Sa 27.11.2004 | | Autor: | Phlipper |
Also ich habe eine Aufgabe, die mir zu trivial vorkommt und deshalb denke ich, dass meine Lösung nicht richtig sein kann. Also hier die Aufgabe:Ein Teilchen bewege sich taktweise und zufÄallig auf dem Gitter der ganzen Zahlen.
Zum Zeitpunkt Null be¯nde es sich im Punkt Null, danach bewegt sich das Teilchen
in jedem Takt mit Wahrscheinlichkeit p auf dem Gitter einen Schritt nach rechts
und mit Wahrscheinlichkeit 1 ¡ p einen Schritt nach links. Die einzelnen Schritte
erfolgen unabhÄangig voneinander. Mit Xn bezeichne man den zufÄalligen Ort des
Teilchens nach n Schritten. Berechnen Sie das Verteilungsgesetz von Xn.
Ich habe einfach das Verteilungsgesetzt für die Bernoulli Verteilung aufgeschrieben. P({w})= phochk (1-p)hoch n-k
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:41 Sa 27.11.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Phlipper!
Deine Lösung ist nicht richtig.
Sei $k [mm] \in \IN$. [/mm] Um auf $k$ zu kommen, muss man $k$-mal mehr nach rechts gehen als nach links.
Daraus folgt:
Man muss [mm] $\frac{n+k}{2}$ [/mm] mal nach rechts und [mm] $\frac{n-k}{2}$ [/mm] mal nach links gehen (was nur Sinn macht, wenn $n$ und $k$ beide gerade oder beide ungerade sind, ansonsten kann man $k$ eben nicht erreichen).
Und dafür gibt es ${n [mm] \choose {\frac{n-k}{2}}}$ [/mm] Möglichkeiten, denn die Reihenfolge ist ja egal, wann man nach links und wann man nach rechts geht.
Demnach gilt für $k [mm] \in \IN$:
[/mm]
[mm] $P(X_n=k) [/mm] = [mm] \left\{ \begin{array}{cccc} {n \choose {\frac{n-k}{2}}} \cdot (1-p)^{\frac{n+k}{2}} \cdot p^{\frac{n-k}{2}} & , &\mbox{falls} & n \equiv k \pmod{2},\\[5pt] 0 & , & \mbox{sonst} & .\end{array} \right.$
[/mm]
Versuchst du jetzt mal völlig analog
[mm] $P(X_n=-k)$
[/mm]
für $k [mm] \in \IN$ [/mm] auszurechnen sowie [mm] $P(X_n=0)$?
[/mm]
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:00 Sa 27.11.2004 | | Autor: | Phlipper |
Demnach gilt für : Xn = -k
$ [mm] P(X_n=-k) [/mm] = [mm] \left\{ \begin{array}{cccc} {n \choose {\frac{n+k}{2}}} \cdot (1-p)^{\frac{n-k}{2}} \cdot p^{\frac{n+k}{2}} & , &\mbox{falls} & n \equiv k \pmod{2},\\[5pt] 0 & , & \mbox{sonst} & .\end{array} \right. [/mm] $
$ [mm] P(X_n=0) [/mm] = [mm] \left\{ \begin{array}{cccc} {n \choose {\frac{n}{2}}} \cdot (1-p)^{\frac{n}{2}} \cdot p^{\frac{n}{2}} & , &\mbox{falls} & n \equiv k \pmod{2},\\[5pt] 0 & , & \mbox{sonst} & .\end{array} \right. [/mm] $
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:12 Sa 27.11.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Phlipper!
> Demnach gilt für : Xn = -k
>
> [mm]P(X_n=-k) = \left\{ \begin{array}{cccc} {n \choose {\frac{n+k}{2}}} \cdot (1-p)^{\frac{n-k}{2}} \cdot p^{\frac{n+k}{2}} & , &\mbox{falls} & n \equiv k \pmod{2},\\[5pt] 0 & , & \mbox{sonst} & .\end{array} \right.[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm]P(X_n=0) = \left\{ \begin{array}{cccc} {n \choose {\frac{n}{2}}} \cdot (1-p)^{\frac{n}{2}} \cdot p^{\frac{n}{2}} & , &\mbox{falls} & n \equiv k \pmod{2},\\[5pt] 0 & , & \mbox{sonst} & .\end{array} \right.[/mm]
Allerdings ist im letzten Fall ja $k=0$ und da bedeut $n [mm] \equiv [/mm] 0 [mm] \pmod{2}$ [/mm] eben gerade, dass $n$ gerade ist.  Daher solltest du es so aufgeschreiben:
[mm]P(X_n=0) = \left\{ \begin{array}{cccc} {n \choose {\frac{n}{2}}} \cdot (1-p)^{\frac{n}{2}} \cdot p^{\frac{n}{2}} & , &\mbox{falls} & n \ \mbox{gerade},\\[5pt] 0 & , & \mbox{sonst} & .\end{array} \right.[/mm]
Das hast du hervorragend hinbekommen!! ![[hut]](/images/smileys/hut.gif "[hut]")
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:55 Sa 27.11.2004 | | Autor: | Phlipper |
Nochmal danke für deine Hilfe, jetzt habe ich es verstanden, den kleinen Fehler werde ich noch ausbessern.
Und wenn die Anzahl der Schritte ungerade ist, dafür gibt es kein Verteilungsgesetz ? also Wahrscheinlichkeit 0.
Kannst du dir bitte die anderen Aufgaben von mir anschauen ! Das wäre nett !
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Ich wollte es nur schöner schreiben.
