Vertiefungsübung e-Funktion < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Gegeben sei die Funktionsschar fk(x) = [mm] (2kx+4)*e^{-kx/2}
[/mm]
a) Untersuchen Sie das Schaubild von fk auf Achsenschnittpunkte, lokale Hoch- bzw Tiefpunkte und Wendepunkte. Wie verhält sich die Funktion an den Rändern des Definitionsbereiches D (fk) = [mm] \IR [/mm] ? Welches ist der Wertebereich von fk?
b) Vom Punkt A(-3/0) aus wird die Tangente an den Graphen von f1 im 2. Quadranten gelegt. Welche Gleichung hat diese Tangente? welche Koordinaten hat der Berührpunkt B?
c) Die Gerade mit der Gleichung x= a mit a > -0,5 schneidet den Graphen von f1 in P und die Abszisse in Q. Die Punkte P,Q und R (-0,5 / 0) bilden ein Dreieck. Für welchen Wert von a wird der Flächeninhalt des Dreiecks maximal?
d) Bestimmen Sie die Maßzahl der Fläche, die der Graph von fk mit der Abszisse im 2. Quadranten einschließt.
Ableitungen:
fk'(x) = [mm] e^{-kx/2} [/mm] * (-k²*x)
fk''(x) = [mm] e^{-kx/2} [/mm] * ( [mm] \bruch{k³x}{2} [/mm] - k²)
fk'''(x) = [mm] e^{-kx/2} [/mm] * ( [mm] \bruch{ k^{^4}x}{2} [/mm] - k²)
Achsenschnittpunkte:
fk(x) = [mm] (2kx+4)*e^{-kx/2}
[/mm]
fk(0) = [mm] (2k0+4)*e^{-k0/2}
[/mm]
fk(x) = (0+4) * 1
Sy (0/4)
fk(x) = [mm] (2kx+4)*e^{-kx/2} [/mm] = 0 | / [mm] e^{-kx/2}
[/mm]
<=> 2kx + 4 = 0 | -4
<=> 2kx = -4 | /2k
<=> x = [mm] -\bruch{2}{k}
[/mm]
Sx [mm] (-\bruch{2}{k} [/mm] / 0)
Hochpunkt liegt bei H(0/4)
Wendepunkt liegt bei [mm] W(\bruch{2}{k} [/mm] / [mm] 8e^{-1}
[/mm]
Nun meine Fragen:
1. Sind die von mir bisher errechneten Lösungen richtig?
2. Was ist bei Aufgabe a) gemeint mit:
-an den Ränder des Definitionsbereiches (lim??)
-Wertebereich?
3. Kann mir einer Hilfestellungen zu Aufgabe b,c und d geben? Da hat ich keine Ahnung was ich dort machen soll.
Freue mich über mögliche Antworten.
Mfg Seb.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:30 Mi 20.04.2005 | | Autor: | mat84 |
> Gegeben sei die Funktionsschar fk(x) = [mm](2kx+4)*e^{-kx/2}[/mm]
>
> a) Untersuchen Sie das Schaubild von fk auf
> Achsenschnittpunkte, lokale Hoch- bzw Tiefpunkte und
> Wendepunkte. Wie verhält sich die Funktion an den Rändern
> des Definitionsbereiches D (fk) = [mm]\IR[/mm] ? Welches ist der
> Wertebereich von fk?
>
> Ableitungen:
> fk'(x) = [mm]e^{-kx/2}[/mm] * (-k²*x)
> fk''(x) = [mm]e^{-kx/2}[/mm] * ( [mm]\bruch{k³x}{2}[/mm] - k²)
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> fk'''(x) = [mm]e^{-kx/2}[/mm] * ( [mm]\bruch{ k^{^4}x}{2}[/mm] - k²)
also für die dritte Ableitung krieg ich das hier raus:
[mm] f_k'''(x) = -\bruch{k}{2}*e^{-\bruch{kx}{2}}*\left( \bruch{k^3x}{2}-k^2 \right) + e^{-\bruch{kx}{2}}*\bruch{k^3}{2} [/mm]
[mm] = \left(-\bruch{k^4x}{4}+\bruch{k^3}{2} \right)*e^{-\bruch{kx}{2}} + \bruch{k^3}{2}*e^{-\bruch{kx}{2}} [/mm]
[mm] = \left( \bruch{k^4x}{2} + k^3 \right)*e^{-\bruch{kx}{2}} [/mm]
Bitte nochmal nachrechnen
> Achsenschnittpunkte:
>
> fk(x) = [mm](2kx+4)*e^{-kx/2}[/mm]
> fk(0) = [mm](2k0+4)*e^{-k0/2}[/mm]
> fk(x) = (0+4) * 1
>
> Sy (0/4)
>
> fk(x) = [mm](2kx+4)*e^{-kx/2}[/mm] = 0 | / [mm]e^{-kx/2}[/mm]
> <=> 2kx + 4 = 0 | -4
> <=> 2kx = -4 | /2k
> <=> x = [mm]-\bruch{2}{k}[/mm]
>
> Sx [mm](-\bruch{2}{k}[/mm] / 0)
> Hochpunkt liegt bei H(0/4)
> Wendepunkt liegt bei [mm]W(\bruch{2}{k}[/mm] / [mm]8e^{-1}[/mm]
> 2. Was ist bei Aufgabe a) gemeint mit:
> -an den Ränder des Definitionsbereiches (lim??)
Ja, , da [mm] D = \IR [/mm] ist, sind die Grenzwerte für [mm] x \to \infty [/mm] und [mm] x \to -\infty [/mm] gemeint
> -Wertebereich?
Naja, du überlegst dir, welche werte [mm] f_k(x) [/mm] annehmen kann...
Der Faktor [mm] e^{\bruch{-kx}{2}} [/mm] ist immer positiv, [mm] (2kx+4) [/mm] kann aber für alle einsetzbaren x alle möglichen positiven und negativen Werte annehmen, und damit auch die ganze Funktion.
Also ist [mm] W = \IR [/mm]
nochwas... du solltest am anfang [mm] k = 0 [/mm] betrachten, denn dafür bekämen wir [mm] f_k(x) = 4 [/mm], also eine Parallele zur x-Achse ohne Extrema, Wendepunkte usw. Dann muss man diesen Fall bei der allgemeinen Untersuchung nicht immer noch beachten (z. B. dass man ja sonst nicht durch k teilen dürfte, weil es 0 sein könnte u. ä.)
Hoffe das hilft schonmal 
Gruß
mat84
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:41 Mi 20.04.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Ihr beiden!
> Naja, du überlegst dir, welche werte [mm]f_k(x)[/mm] annehmen
> kann...
> Der Faktor [mm]e^{\bruch{-kx}{2}}[/mm] ist immer positiv, [mm](2kx+4)[/mm]
> kann aber für alle einsetzbaren x alle möglichen positiven
> und negativen Werte annehmen, und damit auch die ganze
> Funktion.
> Also ist [mm]W = \IR[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Das stimmt so nicht!
Wenn man sich die Anzahl der Extrempunkte ansieht, sowie die Grenzwertbetrachtung für $x [mm] \to +\infty$ [/mm] durchführt, wird man sehen, daß der Wertebereich im positiven Bereich eingeschränkt ist.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gruß
Loddar
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:48 Do 21.04.2005 | | Autor: | mat84 |
Stimmt...
ich hab nicht bedacht, dass der Faktor mit der e-Funktion zwar nicht das Vorzeichen, wohl aber den Wert der Funktion beeinflussen (hier also einschränken) kann... bin bei sowas wohl aus der Übung
Gut, dass du's gesehn hast
Gruß
mat84
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:08 Mi 20.04.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Sebastian!
> Gegeben sei die Funktionsschar fk(x) = [mm](2kx+4)*e^{-kx/2}[/mm]
>
> d) Bestimmen Sie die Maßzahl der Fläche, die der Graph von
> fk mit der Abszisse im 2. Quadranten einschließt.
Gibt es eine Einschränkung für den Parameter $k$, z.B. $k \ > \ 0$ ??
Wenn nicht, müssen wir eine Fallunterscheidung machen, denn die eingeschlossene Fläche geht entweder von der Nullstelle bis [mm] $x_0 [/mm] = 0$ oder wir müssen ein sogenanntes "uneigentliches Integral" berechnen, bei dem eine Integrationsgrenze [mm] "$-\infty$" [/mm] ist.
1. Fall $k \ > \ 0$
$A \ = \ [mm] \integral_{x_N}^{0} {f_k(x) \ dx}$
[/mm]
2. Fall $k \ < \ 0$
$A \ = \ [mm] \integral_{-\infty}^{0} {f_k(x) \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{\varepsilon\rightarrow -\infty} \integral_{\varepsilon}^{0} {f_k(x) \ dx}$
[/mm]
Das Integral selber (Stammfunktion) wird mit dem Verfahren der partiellen Integration in Verbindung mit Substitution berechnet.
Gruß
Loddar
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k > 0
Partielle Integration war doch
[mm] \integral_{}^{} [/mm] {u' * v} = u*v - [mm] \integral_{}^{} [/mm] {u * v'}
Allerdings sagt mir das Substitionsverfahern nichts mehr.
1. Fall
A= [mm] \integral_{x_N}^{0} {f_k(x) \ dx} [/mm]
für fk(x) setzte ich nun die Funktion ein oder?
A= [mm] \integral_{x_N}^{0} {(2kx+4)\cdot{}e^{-kx/2} \ dx}
[/mm]
Nun müßte ich ja normal die Stammfunktion bilden und danach den Hauptsatz machen oder? Wie berechne ich den die andere Integrationsgrenze? [mm] x_N [/mm] ?
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:40 Mi 20.04.2005 | | Autor: | SebSchwartz |
Da [mm] f_1(xon) [/mm] berechnet wird wäre die Nullstelle -2
Wenn ich mich nicht verrechnet habe müßte die Fläche also
A = - [mm] \bruch{16}{k} [/mm] k [mm] 4e^{k} [/mm] * ( [mm] \bruch{-2k+4}{k} [/mm] )
sein.
Habe das Integral nun mit der Partiellen Integraion ausgerechnet.
danke für die Hilfe Mfg Seb
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:40 Mi 20.04.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo ...
> Da [mm]f_1(xon)[/mm] berechnet wird wäre die Nullstelle -2
Wo steht denn das ![[kopfkratz]](/images/smileys/kopfkratz.gif "[kopfkratz]") ??
Das bezieht sich doch nur auf die andere Teilaufgabe, oder?
Meines Erachtens ist das hier allgemein für $k$ zu lösen ...
> Wenn ich mich nicht verrechnet habe müßte die Fläche also
> A = - [mm]\bruch{16}{k}[/mm] k [mm]4e^{k}[/mm] * ( [mm]\bruch{-2k+4}{k}[/mm] )
> sein.
Wenn Du hier sowieso mit $k=1$ rechnest, kannst Du das natürlich auch hier einsetzen ...
Aber ich erhalte hier eine andere Lösung (bitte nachrechnen!):
$A(k) \ = \ [mm] \left[ \ ... \ \right]_{-2/k}^0 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{8}{k} [/mm] * [mm] \left(e - 2\right)$
[/mm]
Wie lautet denn Deine Stammfunktion [mm] $F_k(x)$ [/mm] ??
Gruß
Loddar
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Hallo,
die Bestimmung der Tangentengleichung geht mit der Punkt-Steigungsform:
[mm]\frac{{y\; - \;0}} {{x\; + \;3}}\; = \;f_1 '\left( {x_0 } \right)[/mm]
[mm] \Rightarrow \;y\; = \;f_1 '(x_0 )\;\left( {x\; + \;3} \right)[/mm]
Da der Berührpunkt [mm]x_{0}[/mm] auch die Tangentengleichung erfüllen muß, gilt:
[mm]f_{1} '(x_{0} )\;\left( {x_{0} \; + \;3} \right)\; = \;f_{1} (x_{0} )[/mm]
Hieraus ergibt sich dann der Berührpunkt.
Ich denke, das hilft Dir schon mal weiter.
Gruß
MathePower
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![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
Stimmt ...
