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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:13 Mo 02.08.2010 | | Autor: | matheman |
| Aufgabe | Eine Frage zur Formulierung in
http://nibis.ni.schule.de/~lbs-gym/Verschiedenespdf/Abi11mathe.pdf
Seite 4 (von 6) Vertiefungen auf erhöhtem Niveau:
- Vertrauensintervalle für nicht bekannte Wahrscheinlichkeiten |
Was bedeutet genau: Vertrauensintervalle für nicht bekannte Wahrscheinlichkeiten? Kann mir dazu jemand gute (einfache) Aufgaben nennen, die ins Thema einführen?
Danke matheman
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:33 Mo 02.08.2010 | | Autor: | matheman |
Nachtrag: Bei welchen Verteilungen kann man diese Rechnungen anwenden? Geht das nur bei Normalverteilungen oder auch bei Binomialverteilungen? Ich versteh' den Sinn irgendwie nicht?!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:38 Di 03.08.2010 | | Autor: | DesterX |
Ein gutes Beispiel findet sich hier: ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia
Daraus:
"Um den unbekannten relativen Anteil p einer politischen Partei A in der Wählerschaft zu schätzen, werden in einer Meinungsumfrage n = 400 Personen befragt, ob sie die Partei A wählen werden. Die Anzahl X der Befragten, die angeben die Partei A zu wählen, ist vom Zufall abhängig und deshalb eine Zufallsvariable. Wenn die befragten Personen rein zufällig ausgewählt werden, ist die Zufallsvariable X binomialverteilt mit den Parametern n = 400 und dem unbekannten Parameter p. Nehmen wir an, in der Umfrage haben k = 20 Befragte angegeben, die Partei A zu wählen. Man berechnet eine Schätzung [mm] \hat{p} [/mm] von p als:
[mm] $\hat{p} ={k\over n} [/mm] = 0,05$.
Man nennt dies eine Punktschätzung, weil nur ein Wert als Schätzung von p berechnet wird.
Der wahre Wert des relativen Anteils p kann sowohl kleiner, als auch größer als der Punktschätzer [mm] \hat{p} [/mm] sein. Mit Sicherheit gilt nur, dass p jeden Wert zwischen 0 und 1 annehmen kann (in unserem Beispiel kann p nicht gleich 0 oder 1 sein, da sonst keiner oder alle Befragten die Partei A wählen würden). Wünschenswert wäre ein Konfidenzintervall [pu, po] für p. Beim vielfachen Wiederholen des Verfahrens sollen die berechneten Konfidenzintervalle in den „meisten Fällen“ den Parameter p enthalten. Wie oft das der Fall sein soll, wird mittels der Vertrauenswahrscheinlichkeit (oder auch Konfidenzniveau) γ ausgedrückt. Das berechnete Intervall [pu, po] wird Konfidenzintervall (oder Vertrauensbereich) genannt. Oft wird γ gleich 95 % gewählt. Das bedeutet, dass bei Wiederholung des Verfahrens für 95 % aller Stichproben die Aussage p ∈ [pu, po] richtig ist. "
Im weiteren Verlauf steht auch noch was zur Approximation durch die Normalverteilung, sofern p binomialverteilt ist. (zB wie hier im Parteienbeispiel)
Gruß, Dester
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:14 Di 03.08.2010 | | Autor: | matheman |
Danke für deine Antwort.
D.h. man kann diese Berechnungen sowohl, wenn n klein ist, bei Binomialverteilung als auch, wenn n groß ist, bei Normalverteilung anwenden?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:23 Di 03.08.2010 | | Autor: | DesterX |
Das ist nicht ganz richtig, um eine vernünftige Approximation zu erhalten sollte schon die Faustregel $n*p*(1-p) > 9$ erfüllt sein.
Zudem zeigt dir die Bauart der Intervalle $ [mm] [\hat{p} [/mm] - z [mm] \cdot \sqrt{\hat{p} \cdot (1-\hat{p}) \over n}, \hat{p} [/mm] - z [mm] \cdot \sqrt{\hat{p} \cdot (1-\hat{p}) \over n}]$,
[/mm]
dass diese immer kliener werden, desto größer n wird. Das heißt im Umkehrschluss, dass sich auch deine Schätzung mit wachsendem n verbessert.
Gruß, Dester
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:44 Di 03.08.2010 | | Autor: | matheman |
Ich meinte es so: Wenn eine Zufallsgröße binomialverteilt ist, aber das n so groß ist, dass man die W'keiten nicht mehr über Tabellen ermitteln kann, dann kann man doch die Binomialverteilung durch die Normalverteilung annähern. Kann man in diesem Fall auch die Formeln benutzen. Oder denke ich gerade völlig falsch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:10 Di 03.08.2010 | | Autor: | DesterX |
Wenn du ein Intervall basteln möchtest, in dem 95% deiner Schätzung liegen und du auf die Summenverteilung der Binomialverteilung zurückgreifst, wird das zumindest recht kompliziert werden.
Was ich damit sagen will: Die Theorie der Vertrauensintervalle für Anteilsschätzungen (W'keiten) ist nur dann sinnvoll und vernünftig ausgekleidet, wenn das n hinreichend groß ist und du die Normalverteilung als Näherung verwenden kannst. Das ist aber auch nicht so schlimm, denn kehren wir zurück zum Beispiel: Nehmen wir an, wir würden den Stimmanteil der Partei A schätzen wollen, wobei es ca. 10 Mio potenzielle Wähler im Land gibt - nun gehst du zum Nachbarn, seiner Frau und Tochter und befragst sie, ob sie Partei A wählen oder nicht (n=3). Nur anhand dieser Personen sollst du eine Schätzungen abgeben - das scheint wenig sinnig, dh intuitiv wirst du schon hinreichend viele Leute befragen, so dass der Rückgriff auf Normalvtlg. Sinn machen wird.
Ich denke du wirst in deiner Schullaufbahn auch keiner Aufgabe diesen Typs (Vetrauensintervall für p) begegnen, bei der du nicht die Normalvtlg. benutzen darfst.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:30 Di 03.08.2010 | | Autor: | matheman |
Ok. Das habe ich soweit verstanden. Ich habe mich wahrscheinlich umständlcih ausgedrückt.
In den weiteren Vorgaben für die Prüfung steht, dass ich folgendes für die Prüfung können muss:
"Schließen von der Stichprobe auf die Gesamtheit, indem sie
- für binomialverteilte Zufallsgrößen, ausgehend von einer Stichprobe, Schätzwerte für den unbekannten Parameter p der zugrunde liegenden Gesamtheit bestimmen
-Vertrauensintervalle um diese Schätzwerte zu vorgegebener Vertrauenswahrscheinlichkeit (90%,95%,99%) unter Nutzung von sigma-Umgebungen bestimmen
-Vertrauensintervalle um diese Schätzwerte zu beliebig vorgegebener Vertrauenswahrscheinlichkeit unter Nutzung der Normalverteilung bestimmen"
Dazu habe ich einfache Aufgaben gesucht, weil deiese Sachen in unserem Mathebuch so nicht drinstehen. Es ist dort nur ein Kapitel über das "Testen" drin.
Gibts zu meinem Problem noch weitere gute Aufgaben, am besten mit Lösungen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:23 Di 03.08.2010 | | Autor: | DesterX |
Finde da beim Googeln nach "Vertrauensintervallen" eine ganze Menge, zB das hier.
Der Text umfasst auch Vertrauensintervalle für andere Kenngrößen und ein paar Aufgaben mit Lösungen findest du ebenfalls. Du kannst ja mal selber schauen, ob du damit was anfangen kannst.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:58 Di 03.08.2010 | | Autor: | matheman |
Ja, das hatte ich auch schon gesehen. Ich war mir nur nicht sicher, ob es genau das ist, was ich brauche.
Matheman
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