Vervollständigung von Maßräume < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:18 Sa 30.10.2004 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
Hab' nochmal ne Frage zu den Maßen und so.
Was genau ist die Vervollständigung eines Maßraumes? Wir haben das zwar in der Vorlesung definiert, aber da kommen so viele Sternchen vor, und ich weiß nicht genau, was sie bedeuten. Hat das etwas mit dem äußeren Maß zu tun?
Und vielleicht kann mir dann jemand erklären, warum [mm] (\IR, B(\IR),\lambda) [/mm] nicht vollständig ist, wobei [mm] B(\IR) [/mm] die Borelsche [mm] \sigma-Algebra [/mm] ist und [mm] \lambda [/mm] wohl ein Maß (vielleicht das Lebesgue-Maß, oder ist das egal, welches?).
Und vielleicht gerade noch eine Frage: Wieso ist die Mächtigkeit von [mm] (B(\IR)) [/mm] = der Mächtigkeit von [mm] (\IR)? [/mm] Wie kann man sich denn die Mächtigkeit von [mm] (B(\IR)) [/mm] überhaupt vorstellen?
Viele Grüße
Bastiane
![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]")
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Hallo Christiane!
Ich lerne gerade für meine Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorieprüfung, wobei bei uns allerdings der Aspekt eher auf der W.Theorie mit leichten Anklängen an stochastische Analysis liegt - nichtsdestotrotz versuche ich, Deine Fragen nach bestem Wissen und Gewissen zu klären. 
Ein Maßraum heißt vollständig, wenn jede Teilmenge einer Nullmenge meßbar ist. Dass diese dann wieder das Maß 0 haben muß, ist offensichtlich (Monotonie).
Vollständigkeit ist also nicht nur eine Eigenschaft des Maßes, sondern vor allen Dingen auch eine Eigenschaft der [mm] $\sigma$-Algebra.
[/mm]
Geht man nun von den reellen Zahlen aus und konstruiert sich die von der Topologie von [mm] $\IR$ [/mm] (also den offenen Mengen) erzeugte [mm] $\sigma$-Algebra $B(\IR)$ [/mm] mit dem sg. Borel-Maß [mm] $\lambda$ [/mm] (erklärt auf Intervallen durch [mm] $\lambda([a,b]) [/mm] = b - a$), dann ist das Ergebnis nicht vollständig. Den Beweis müßte ich nachschlagen - steht aber bestimmt im Bauer.
Wendet man auf diese Situation aber die Caratheodory-Konstruktion an (über das äußere Maß [mm] $\lambda^*$), [/mm] dann erhält man einen vollständigen Maßraum. Das Maß wird oft mit [mm] $\bar{\lambda}$ [/mm] bezeichnet und heißt dann Lebesque-Maß.
Zu der Mächtigkeit kann ich leider nicht viel sagen, die haben wir nie betrachtet. Aber allgemein gilt: zwei Mengen haben die gleiche Mächtigkeit, wenn es eine Bijektion zwischen ihnen gibt. Es gibt mit Sicherheit eine Injektion [mm] $\IR \to B(\IR)$, [/mm] das heißt, Du mußt nur noch eine injektive Abbildung [mm] $B(\IR) \to \IR$ [/mm] finden und damit folgt dann, dass die Mengen gleichmächtig sind.
Lars
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