Verzinsung eines Kapitals < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:27 Sa 05.06.2010 | | Autor: | Zelos |
| Aufgabe | Ein Kapital von 20.000€ wird mit einem Zinssatz von 5% jährlich verzinst.
a) Geben Sie die Funktion an, welche die zeitliche Entwicklung des Kapitals beschreibt.
b) Bestimmen Sie das Kapital nach 1; 2; 5; 10; 20 Jahren.
c) Vor wie vielen Jahren betrug das Kapital bei gleichem Zinssatz 15.000€?
d) In welchem Jahr nimmt das Kapital erstmals um 5000€ zu? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Da ich am Montag meine mündliche Abiturprüfung habe und mir Aufgabenteil d) noch nicht ganz klar ist, hoffe ich, dass mir hier jemand dabei helfen kann. Erstmal zur Kontrolle, ob ich die anderen Aufgaben richtig gelöst habe:
a) f(t)= [mm] 20.000*1,05^t
[/mm]
b) f(1), f(2) usw., einfach einsetzen und ausrechnen.
c) [mm] 20.000*1,05^t [/mm] = 15.000 (ich komme auf einen Wert von ca. -5,9 für t - da es sich um jährliche Zinsen handelt, wird wohl vor 5 Jahren die richtige Lösung sein)
d) Hier hänge ich total. Ich habe mir folgende Gleichung überlegt:
f(t+1) = f(t) + 5.000
<=> [mm] 20.000*1,05^{(t+1)} [/mm] = [mm] 20.000*1,05^t+5000
[/mm]
Jetzt schaffe ich es aber einfach nicht, diese aufzulösen. Immer fällt t entweder komplett weg oder ich kriege es gleich gar nicht hin. Kann mir da jemand vielleicht helfen?
Ich dachte mir, dass ich erst durch 20.000 teile und dann die entstandenen 0,25 auf die andere Seite bringe, um anschließend den Logarithmus zur Basis 1,05 anwenden zu können, aber dann fällt das t weg und da steht 0 = -0,75...
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Hallo,
> Ein Kapital von 20.000€ wird mit einem Zinssatz von 5%
> jährlich verzinst.
> a) Geben Sie die Funktion an, welche die zeitliche
> Entwicklung des Kapitals beschreibt.
> b) Bestimmen Sie das Kapital nach 1; 2; 5; 10; 20 Jahren.
> c) Vor wie vielen Jahren betrug das Kapital bei gleichem
> Zinssatz 15.000€?
> d) In welchem Jahr nimmt das Kapital erstmals um 5000€
> zu?
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Da ich am Montag meine mündliche Abiturprüfung habe und
> mir Aufgabenteil d) noch nicht ganz klar ist, hoffe ich,
> dass mir hier jemand dabei helfen kann. Erstmal zur
> Kontrolle, ob ich die anderen Aufgaben richtig gelöst
> habe:
>
> a) f(t)= [mm]20.000*1,05^t[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> b) f(1), f(2) usw., einfach einsetzen und ausrechnen.
> c) [mm]20.000*1,05^t[/mm] = 15.000 (ich komme auf einen Wert von
> ca. -5,9 für t - da es sich um jährliche Zinsen handelt,
> wird wohl vor 5 Jahren die richtige Lösung sein)
Naja, genau fünf Jahre zuvor ist das Kapital ja noch über 15.000€. Ich würde dort also schon 5,9 Jahre oder aber 6 Jahre angeben.
> d) Hier hänge ich total. Ich habe mir folgende Gleichung
> überlegt:
>
> f(t+1) = f(t) + 5.000
> <=> [mm]20.000*1,05^{(t+1)}[/mm] = [mm]20.000*1,05^t+5000[/mm]
Mhh... wenn es um Änderungsraten einer Funktion geht, was kommt einem da immer zu aller erst in den Sinn ? Genau, die Ableitung. Zu bestimmen ist also [mm] t_0 [/mm] so dass [mm] f'(t_0)=5000 [/mm] ist. Das kannst du einfach lösen.
> Jetzt schaffe ich es aber einfach nicht, diese aufzulösen.
> Immer fällt t entweder komplett weg oder ich kriege es
> gleich gar nicht hin. Kann mir da jemand vielleicht
> helfen?
> Ich dachte mir, dass ich erst durch 20.000 teile und dann
> die entstandenen 0,25 auf die andere Seite bringe, um
> anschließend den Logarithmus zur Basis 1,05 anwenden zu
> können, aber dann fällt das t weg und da steht 0 =
> -0,75...
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:01 Sa 05.06.2010 | | Autor: | Zelos |
Also ich habe es jetzt geschafft, die Gleichung zu lösen und für t ungefähr 33 raus. Das steht auch so in den Lösungen, die ich habe...
War ein ganz dummer Fehler. Die Gleichung, die ich aufgestellt habe, war also schon korrekt, aber dann habe ich einfach falsch ausgeklammert.
Das mit der Ableitung interessiert mich jetzt aber auch noch.
Ich weiß grad gar nicht genau, wie ich die Funktion ableite. Ist das hier richtig?
[mm] f'(t)=20.000x*1,05^{(x-1)}
[/mm]
Ich habe eben das x sozusagen nach vorne geholt und dann den Exponenten um 1 kleiner gemacht. Wenn ich das jetzt 5000 setze, komme ich da aber nicht wirklich auf ein Ergebnis. Da hänge ich dann bei
[mm] x*1,05^{(x-1)}=0,25
[/mm]
Bis dahin steckt aber sicher schon ein Fehler drin, denke ich.
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Hallo,
> Also ich habe es jetzt geschafft, die Gleichung zu lösen
> und für t ungefähr 33 raus. Das steht auch so in den
> Lösungen, die ich habe...
> War ein ganz dummer Fehler. Die Gleichung, die ich
> aufgestellt habe, war also schon korrekt, aber dann habe
> ich einfach falsch ausgeklammert.
> Das mit der Ableitung interessiert mich jetzt aber auch
> noch.
Es muss dich auch interessieren, weil das im Allgemeinen einfacher mit der Ableitung zu lösen ist 
> Ich weiß grad gar nicht genau, wie ich die Funktion
> ableite. Ist das hier richtig?
>
> [mm]f'(t)=20.000x*1,05^{(x-1)}[/mm]
Nein, das stimmt nicht. Die Regel, die du angewendet hast, gilt für Funktionen der Form [mm] x^{n}, [/mm] hier haben wir aber [mm] a^{x} [/mm] (also das x im Exponenten!).
Man berechnet die Ableitung folgendermaßen:
1. Umschreiben der Funktion: [mm] $a^{x} [/mm] = [mm] (e^{\ln(a)})^{x} [/mm] = [mm] e^{x*\ln(a)}$ [/mm] (Exponentialfunktion [mm] e^{(...)} [/mm] ist Umkehrfunktion vom Logarithmus naturalis [mm] \ln(...)
[/mm]
2. Nun kann man ableiten, weil man weiß, dass [mm] $(e^{x})' [/mm] = [mm] e^{x}$: [/mm]
[mm] $(a^{x})' [/mm] = [mm] (e^{x*\ln(a)})' [/mm] = [mm] e^{x*\ln(a)}* [x*\ln(a)]' [/mm] = [mm] e^{x*\ln(a)}*\ln(a) [/mm] = [mm] a^{x}*\ln(a)$
[/mm]
(Kettenregel.) Diese Regel solltest du kennen!
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:39 Sa 05.06.2010 | | Autor: | Zelos |
Auf die Umformung bin ich nicht gekommen. Dass ich eine Regel anwenden muss, dachte ich mir aber schon. :D
Ich kürze das Ganze mal ab, was ich jetzt gemacht habe.
[mm] f(x)=20.000*1,05^x
[/mm]
[mm] \gdw20.000*e^{0,049x}
[/mm]
[mm] f'(x)=980*e^{0,049x}
[/mm]
[mm] 980*e^{0,049x}=5000 [/mm] |:980 |ln
[mm] \gdw0,049x=1,63
[/mm]
[mm] \gdw x\approx33,26
[/mm]
Ergebnis scheint ja richtig zu sein.
Von daher bedanke ich mich schonmal für die Hilfe. Wäre nett, wenn sich das trotzdem jemand noch einmal anschauen könnte
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Hallo,
> Auf die Umformung bin ich nicht gekommen. Dass ich eine
> Regel anwenden muss, dachte ich mir aber schon. :D
> Ich kürze das Ganze mal ab, was ich jetzt gemacht habe.
>
> [mm]f(x)=20.000*1,05^x[/mm]
> [mm]\gdw20.000*e^{0,049x}[/mm]
>
> [mm]f'(x)=980*e^{0,049x}[/mm]
>
> [mm]980*e^{0,049x}=5000[/mm] |:980 |ln
> [mm]\gdw0,049x=1,63[/mm]
> [mm]\gdw x\approx33,26[/mm]
Der Rechenweg ist okay.
Allerdings brauchst du die Umformung zur e-Funktion nicht zu machen - ich wollte dir damit nur zeigen, wie man darauf kommt. Es gilt die allgemeine Regel: [mm] $(a^{x})' [/mm] = [mm] a^{x}*\ln(a)$.
[/mm]
Damit ist's kürzer:
$f'(x) = [mm] 20000*\ln(1.05)*1.05^{x}$
[/mm]
$f'(x) = 5000 [mm] \Rightarrow 1.05^{x} [/mm] = [mm] \frac{1}{4}*\frac{1}{\ln(1.05)} [/mm] = 5.12398 [mm] \Rightarrow [/mm] x = [mm] \log_{1.05}(5.12398) [/mm] = 33.49$
Grüße,
Stefan
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