Verzweigung Funktionenkörper < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo Menschen,
kennt sich jemand mit lokalen Körpern aus? Ich habe da nämlich eine Frage bezüglich der Verzweigung bei lokalen Funktionenkörpern.
Also: Ein lokaler Körper ist ja ein vollständiger diskret bewerteter Körper mit endlichem Restklassenkörper. Der Verzweigungsindex einer Erweiterung $ L / K $ ist die $ L $-Bewertung eines Primelementes von $ K $. Soweit so gut. Es gibt nur zwei Arten von lokalen Körpern. 1. endliche Erweiterungskörper von $ [mm] \IQ_{p}, [/mm] 2. Laurentreihen über endlichen Körpern
Ist $ p $ die Charakteristik der Restklassenkörper, so nennt man diese Erweiterung wild verzweigt, wenn $ p $ den Verzweigungsindex teilt. Meine Frage ist nun: Kann das im zweiten Fall überhaupt auftauchen unter der Bedingung, dass die Erweiterung galoissch sein soll? Ich meine, wenn ich annehme, dass $ p $ den Verzweigungsindex teilt, kann die Erweiterung doch nur wie folgt aussehen:
$ K = [mm] \IF_{q} [/mm] (( [mm] T^{e} [/mm] )) , L = [mm] \IF_{q^{f}} [/mm] ( ( T )) $
wobei q eine p-Potenz ist und p ein Teiler von e. Aus dem Grund ist die Erweiterung doch dann inseparabel, also nicht galoissch. Oder irre ich hier und müssen die Körper so nicht aussehen?
Grüße
Salamence
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:19 Sa 16.04.2016 | | Autor: | Dragonfly |
Ich bin aus dem Thema schon bisschen raus, aber ich glaube das du recht hast.
Es müsste da eine zwischenerweiterung geben, so dass die Teile träge bzw voll verzweigt sind.
Du kannst dich also auf den Fall f=1 beschränken. und dort ist das Minimalpolynom eben nicht separabel.
Ich müsste aber auch nochmal in Büchern schauen um mir da ganz sicher zu sein.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:07 Di 19.04.2016 | | Autor: | Salamence |
Also ich habe ein Paper zu Artin-Schreier-Erweiterungen gefunden, in welchem steht, dass es eben doch wild verzweigte Galoiserweiterungen lokaler Funktionenkoerper gibt. Genauer: Sei $ K $ ein lokaler Koerper der Charakteristik $ p $ und sei $ L $ der Zerfaellungskoerper zu dem Polynom
$ [mm] X^{p} [/mm] - X - a $, wobei $ a $ ein Element mit negativer Bewertung ist. Dann ist $ L / K $ zyklisch vom Grad p und rein verzweigt.
Also muss meine Vermutung, dass die Koerper wie oben behauptet auszusehen haben, falsch sein. Aber warum?
In lokalen Koerpern hat man doch die sogenannte $ [mm] \pi [/mm] $-adische Entwicklung:
Ist $ K $ ein lokaler Koerper, [mm] \pi [/mm] ein Primelement und $ R $ ein Repraesentantensystem des Restklassenkoerpers, so ist jedes Element von $ [mm] K^{\times} [/mm] $ Laurentreihe in [mm] \pi [/mm] mit Koeffizienten aus $ R $.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Fr 29.04.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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