Vgl. 2^x und 2^(-x) < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:49 Fr 03.12.2010 | | Autor: | Giraffe |
| Aufgabe | Überschrift: Ein "Minus" vor dem x im Exponenten
a) Zeichne die Graphen der Funktionen [mm] f(x)=1,5^x [/mm] und [mm] g(x)=1,5^{-x}
[/mm]
b) vgl. - was stellst du fest?
c) allg. - was hat [mm] b^x [/mm] mit [mm] b^{-x} [/mm] zu tun? |
Guten Abend,
a) Zeichne die Graphen der Funktionen [mm] f(x)=1,5^x [/mm] und [mm] g(x)=1,5^{-x}
[/mm]
Habe ich gemacht: [Dateianhang nicht öffentlich]
Und stelle fest, dass die sich an der y-Achse spiegeln.
Die rote, mit dem Minus im Exponenten, ist fallend; die andere steigend.
Aber wie heißt das? Sind das Umkehr-Fkt.? Nein, ich habe schon von der Wertetabelle x und y getauscht u. festgestellt, dass es keine Übereinstimmung gibt mit den Graphen, die der Plotter so schön gemacht hat. Also keine Umkehr-Fkt., aber was ist es dann? Es hat doch alles in der Mathe einen Namen?
Und meine zweite Frage:
Was hat [mm] b^x [/mm] mit [mm] b^{-x} [/mm] zu tun?
Spiegelung an y-Achse mit exakt komplettem Wechsel der Steigung.
Ist das alles? Mehr weiß ich nicht, bzw. mehr konnte ich nicht entdecken.
Vielen DANK für alle Auskünfte hierzu
u. einen schönen Freitag Abend!
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: unbekannt) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:23 Fr 03.12.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
der beobachtete Zusammenhang ist richtig und allgemeingültig:
Wenn für zwei Funktionen f und g gilt, dass f(x) = g(-x) ist, dann gehen die Graphen von f und g durch Spiegelung an der y-Achse auseinander hervor und umgekehrt. Für die Steigungen gilt dann f'(x) = -g'(-x).
Speziell für deine Exponentialfunktionen gilt darüberhinaus wegen [mm] b^{-x} [/mm] = [mm] \bruch{1}{b^x} [/mm] , dass f(x) = [mm] \bruch{1}{g(x)} [/mm] bzw. f(x)*g(x) = 1. f und g sind also nicht Umkehrungen (dann wären sie an der Winkelhalbierenden y=x gespiegelt), sondern Kehrwerte voneinander.
Gruß Sax.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:13 Fr 03.12.2010 | | Autor: | Giraffe |
Hallo Sax,
ui ui ui, das ist ja "gewaltig", was da drin steckt.
Allerdings bin ich über: Wenn für zwei Funktionen f und g gilt, dass f(x) = g(-x) ist, dann gehen die Graphen von f und g durch Spiegelung an der y-Achse auseinander hervor und umgekehrt.
noch nicht hinaus gekommen.
Ich habe das erstmal ausprobiert.
f(x)=x und g(x)=-x
und die spiegeln sich an y-Achse wunderbar.
Aber sie sind nicht gleich!?
Du schriebst doch f(x) = g(-x)
Spiegelung an y-Achse u. Fkt. gehen auseinander hervor
soll wohl hier DER Unterschied sein.
Probiere es mit Parabeln
[mm] f(x)=x^2 [/mm] und [mm] g(x)=(-x)^2
[/mm]
Aber diese beiden sind identisch.
So, lange genug draufgeguckt u. nun sehe ich (natürlich sehe ich das nicht, weil man das nicht sehen kann), aber hätte die Parabel nicht die y-Achse als Symmetrie-Achse, sondern eine nur leicht gekippte, DANN würde man die Spiegelung an y-Achse auch erkennen.
[mm] x^2=(-x)^2 [/mm] sind irdentisch u. spiegeln sich auch.
Was heißt das übertragen auf meine beiden exponentiellen Fkt.?
[mm] 2^x [/mm] und [mm] 2^{-x}
[/mm]
Die spiegeln sich an y-Achse, aber gehen nicht auseinander hervor.
Oder doch? Ich bin etwas irritiert jetzt.
Was heißt auseinander hervorgehen? Dass [mm] 2^x [/mm] und [mm] 2^{-x} [/mm] vom Typ her gleich sind sehe ich schon. Ist das damit gemeint?
Für nochmalige Antw. vielen DANK
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:31 Fr 03.12.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
"gehen durch Spiegelung an der y-Achse auseinander hervor" bedeutet : Wenn man den Graphen von f an der y-Achse spiegelt, dann erhält man den Graphen von g (und umgekehrt : Wenn man den Graphen von g an der y-Achse spiegelt, dann erhält man den Graphen von f).
Das kannst du mit jeder Funktion machen.
Wenn g(x) = ( [mm] (x-2)^3 [/mm] - [mm] (x+1)^2 [/mm] + x + 1 ) / 10 ist, dann wird f(x) = g(-x) = ( [mm] (-x-2)^3 [/mm] - [mm] (-x+1)^2 [/mm] - x + 1 ) / 10 und der Graph der einen Funktion ist die y-Achsen-Spiegelung des Graphen der anderen Funktion.
Der Graph einer Funktion ist genau dann symmetrisch zur y-Achse, wenn f(-x) = f(x) ist.
Das trifft für [mm] f(x)=x^2 [/mm] zu, wie du schon geschrieben hast, aber auch auf alle Potenzfunktionen mit geraden Exponenten, wie [mm] f(x)=x^6, [/mm] auch auf deren Summen wie f(x) = [mm] 3x^4-6x^2+7 [/mm] und eine ganze Reihe weiterer Funktionen wie f(x) = cos(x) oder f(x) = [mm] x^3*sin(x) [/mm] + [mm] 1,5^{x^2}
[/mm]
Gruß Sax.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:23 Sa 04.12.2010 | | Autor: | Giraffe |
Hey Sax,
danke für nochmalige Antwort. Ich fasse mal zus.:
Bei dem "2 Fkt. gehen auseinander hervor" ist ganz konkret nur die Spiegelg. an y-Achse gemeint.
Bei Symmetrie nur, dass man einem Graphen eine Spiegelachse verpasst, die nicht zwarngsläuftig die y-Achse sein muss, sondern auch woanders liegen kann.
"2 Fkt. gehen auseinander hervor"
Wenn sich f(x) an der y-Achse spiegeln lässt, dann erhält man z.B. g(x).
Gleiches gilt auch umgekehrt.
(Bsp: spiegelt man die lin. Fkt. x erhält man -x und spiegelt man -x erhält man x).
Das bezeichnet man mit "beide Funktionen gehen auseinander hervor."
Das gilt für alle Fkt., ohne Ausnahmen, d.h. jede Fkt. lässt sich an y-Achse spiegeln.
Symmetrie liegt vor, wenn f(-x) = f(x)
Hier kann z.B. der Scheitelpunkt einer Parabel irgendwo in einem Quadranten liegen u. es liegt trotzdem Symmetrie vor.
Also allen Fkt., denen man eine senkrechte Achse gibt (Spiegelachse) u. die sich dann wie Schmetterlings-Klatsch-Bilder übertragen lassen, die nennt man symmetrisch. Ja, mit sin(x) geht das leider nicht, aber mit cos(x), verstehe.
Aber ich könnte die sin(x) aus sich selbst durch spiegeln an y-Achse hervorgehen lassen u. so eine zweite Fkt. erhalten.
Wenn jetzt deine Antw. "ja" ist, dann hab ich das wohl kapiert.
(Rest deiner Antw. v. Ausgangsfrage ist nun auch klar, bzw. verständlich)
Habe jetzt kurz vor dem Antworten nur auf Mitteilg. geklickt, statt auf Frage. Aber wenn was falsch ist od. korrigiert werden machst, antw. du dann bitte nochmal?
Vielen DANK für deine Hilfe u. schönes Wochenende
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:58 Sa 04.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
das "gehen auseinander hervor" ist zwar richtig, aber das darf man auch anders formulieren wie : man erhält die fkt mit dem an der y- achse gespiegelten Graphen durch f(-x)
im allgemeinen spricht man von symetrischen graphen nur bei Symmetrie zur y-achse, sonsz muss man ausdrücklich sagen symmetrisch zu y=a
also [mm] f(x)=(x-a)^2+b [/mm] ist sym zur Geraden x=a
Quizfrage: kriegst du raus, wie du eine an x=a gespegeltes g(x) zu [mm] f(x)=e^x [/mm] findest oder kannst du allgemein die fkt zu f(x) angeben die an x=a gespiegelt ist?
2 Beispiele im Bild die grünen Kurven suchst du, hier mit a=1
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gruss leduart
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:17 Sa 04.12.2010 | | Autor: | Giraffe |
Hi leduart,
vielen DANK f. deine Antw.
Ich freue mich auch über deine Quizfrage, wo ich doch schon nicht den Adventskalender mitmachen kann. Außerdem ist die Aufg. sicher auch auf meine Frage angepasst. Ich kann mich allerdings erst später dran machen.
Vor ab muss ich das Horner Schema drauf kriegen. Freue mich aber drauf. Hoffe du hast es nicht zu schwer f. mich gemacht.
DANKE u. bis bald
Sabine
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