Vier Punkte und < Längen+Abst.+Winkel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben seien vier Punkte im |R3
A: a = [mm] \vektor{4 \\ 0 \\ 1} [/mm] ; [mm] B:b=\vektor{0 \\ -4 \\ 9} [/mm] ;
[mm] C:c=\vektor{6 \\ 2 \\ -1} [/mm] ; [mm] D:d=\vektor{2 \\ 6 \\ -1}
[/mm]
a) Zeigen Sie, daß die vier Punkte A, B, C und D nicht in einer Ebene liegen.
b) Berechnen Sie den Abstand e des Punktes A von der Ebene, die durch die Punkte B, C und D gegeben ist [mm] e=8/\wurzel{86}
[/mm]
c) Wie groß ist der Winkel, unter dem sich die Geraden AB und BC schneiden?
d) Berechnen Sie die Länge der kürzesten aller möglichen Verbindungsstrecken der vier Punkte. |
Hallo,
vorerst letzte Frage, ab hier wirds dunkler, lese mich heute abend mal ein ....
zu 1
wenn die Vektorgleichungen gegeneinander nicht aufgehen können, nur wie geht man das jetzt an ??
zu b
gut Hesseform, aber wie richtig anwenden (LF Aufgabe, werde ich wohl nicht belegen, mal sehen, hätte es trotzdem gerne bearbeitet und verstanden )
zu c
doch über Skalarcosinusformel oder wie nennt man das ?
zu d
fällt mir auch nur Hesseform ein, sonst nix ..
Grüße
masaat
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:24 Fr 08.12.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Gegeben seien vier Punkte im |R3
>
> A: a = [mm]\vektor{4 \\ 0 \\ 1}[/mm] ; [mm]B:b=\vektor{0 \\ -4 \\ 9}[/mm] ;
> [mm]C:c=\vektor{6 \\ 2 \\ -1}[/mm] ; [mm]D:d=\vektor{2 \\ 6 \\ -1}[/mm]
>
> a) Zeigen Sie, daß die vier Punkte A, B, C und D nicht in
> einer Ebene liegen.
> b) Berechnen Sie den Abstand e des Punktes A von der
> Ebene, die durch die Punkte B, C und D gegeben ist
> [mm]e=8/\wurzel{86}[/mm]
> c) Wie groß ist der Winkel, unter dem sich die Geraden AB
> und BC schneiden?
> d) Berechnen Sie die Länge der kürzesten aller möglichen
> Verbindungsstrecken der vier Punkte.
> Hallo,
>
> vorerst letzte Frage, ab hier wirds dunkler, lese mich
> heute abend mal ein ....
>
> zu 1
>
> wenn die Vektorgleichungen gegeneinander nicht aufgehen
> können, nur wie geht man das jetzt an ??
Mach es einfacher: Bilde die Ebene E auf der B C und D legen und zeige, dass A [mm] \not\in [/mm] E
>
> zu b
>
> gut Hesseform, aber wie richtig anwenden (LF Aufgabe, werde
> ich wohl nicht belegen, mal sehen, hätte es trotzdem gerne
> bearbeitet und verstanden )
>
Hier bilde mal die Gerade g durch A und mit dem Normalenvektor der Ebene als Richtungsvektor, also g: [mm] \vec{a}+\lambda\vec{n}
[/mm]
Und jetzt berechnest du den Schnittpunkt S von g und E
Die Länge deines Vektors [mm] \overrightarrow{AS} [/mm] ist der gesuchte Abstand.
> zu c
>
> doch über Skalarcosinusformel oder wie nennt man das ?
Ich glaube, du meinst die richtge Formel.
Nimm aber mal den Normalenvektor [mm] \vec{n} [/mm] der Geraden und den Richtungsvektor [mm] \vec{u} [/mm] der Gerade.
Dann gilt:
[mm] cos(\beta)=\bruch{\vec{n}*\vec{u}}{|\vec{n}||\vec{u}|}
[/mm]
Und für den Schnittwinkel [mm] \phi [/mm] Gerade-Ebene gilt: [mm] \phi=90°-\beta.
[/mm]
>
> zu d
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> fällt mir auch nur Hesseform ein, sonst nix ..
>
Mir gerade auch nichts anderes.
> Grüße
>
> masaat
Hilft das erstmal weiter?
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:53 Sa 09.12.2006 | | Autor: | masaat234 |
ja es hilft erstmal, Danke,
werde mal weiter daran arbeit und dann weitersehen
Grüße
masaat
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:39 So 10.12.2006 | | Autor: | masaat234 |
Hallo,
habe es mal weiter ... und weiss nicht mehr weiter
zu 1
Ebene
c-b= [mm] \vektor{6 \\ 6 \\ -10 }
[/mm]
d-c= [mm] \vektor{-4 \\ 4 \\ 0 }
[/mm]
E: x= [mm] \vektor{0 \\ -4 \\ 9 }+s*\vektor{6 \\ 6 \\ -10 }+v*\vektor{-4 \\ 4 \\ 0 } [/mm] =
[mm] \vektor{4 \\ 0 \\ 1 }=s*\vektor{6 \\ 6 \\ -10 }+v*\vektor{-4 \\ 4 \\ 0 } [/mm] und
[mm] 4,8+(-1/5)*(-4)\not=4 [/mm] sondern 0,8 (4 Punkte liegen also nicht in einer Ebene)
s=0,8
v=(-0,2)
Ist das so richtig ?, ist die Aufgabe a damit gelöst ? bzw, wie muss ich das jetzt richtig Formulieren damit die Lösung Konform ist ?
zu b)
Gerade wäre von A aus
[mm] \vektor{4 \\ 0 \\ 1 }+x*\vektor{0 \\ -4 \\ 9 } [/mm]
dann mit Ebene der Ebene gleichgesetzt
[mm] \vektor{4 \\ 4 \\ -8 }=s*\vektor{6 \\ 6 \\ -10 }+v*\vektor{-4 \\ 4 \\ 0 }-x*\vektor{0 \\ -4 \\ 9 }
[/mm]
so ab hier komme ich bei b nicht mehr weiter, stehe auf dem Schlauch ???
zu c )
[mm] b-a=\vektor{-4 \\ -4 \\ 8 }
[/mm]
c-b= [mm] \vektor{6 \\ 6 \\ -10 }
[/mm]
Gerade
[mm] X(BC)=\vektor{0 \\ -4 \\ 9 }+w*\vektor{6 \\ 6 \\ -10 }
[/mm]
[mm] X(AB)=\vektor{4 \\ 0 \\ 1 }+v*\vektor{-4 \\ -4 \\ 8 }
[/mm]
gut Schnittwinkel und ... aber ab hier stehe ich auf dem Schlauch ....
zu d)
AB+BC+CD
AB
[mm] \wurzel{(4-0)²+(0-4)²+(1-9)²} [/mm] +
BC
[mm] \wurzel{172}+
[/mm]
CD
[mm] \wurzel{32} [/mm] =
AB+BC+CD
Oh man irgendwie glaub ich nicht dass das richtig ist, bzw. wie ich das hier richtig lösen soll oder gar mit der Hesse Formel ?
P.s:Wäre für erlösung dankbar ... ufff
Grüße
masaat
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:59 So 10.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo masaat!
> c-b= [mm]\vektor{6 \\ 6 \\ -10 }[/mm]
> d-c= [mm]\vektor{-4 \\ 4 \\ 0 }[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Wenn Du Dir den Vektor [mm] $\vec{b}$ [/mm] als Stützvektor ausgesucht hast, muss Du auch als zweiten Richtungsvektor [mm] $\vec{d}-\vec{\red{b}}$ [/mm] berechnen!
> E: x= [mm]\vektor{0 \\ -4 \\ 9 }+s*\vektor{6 \\ 6 \\ -10 }+v*\vektor{-4 \\ 4 \\ 0 }[/mm] = [mm]\vektor{4 \\ 0 \\ 1 }+s*\vektor{6 \\ 6 \\ -10 }+v*\vektor{-4 \\ 4 \\ 0 }[/mm]
Damit stimmt diese Ebenengleichung leider nicht ...
> zu b)
> Gerade wäre von A aus
> [mm]\vektor{4 \\ 0 \\ 1 }+x*\vektor{0 \\ -4 \\ 9 }[/mm]
Welche Gerade soll das sein bzw. wie verläuft diese?
Du brauchst ja diejenige Gerade, welche senkrecht auf [mm] $E_{BCD}$ [/mm] steht und durch den Punkt $A_$ verläuft.
Du brauchst also zunächst auch einen Normalenvektor auf [mm] $E_{BCD}$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:03 So 10.12.2006 | | Autor: | masaat234 |
Hallo Loddar,
erstmal Danke für die Hilfe.
Habe gestern und heute zu viel Mathe gemacht jetzt dreht sich alles.
Werde das ganze nochmal Morgen durchquängeln ...
zu b)
Normalenvektor bilden ?
Muss noch mal nachsehen was das bedeutet ...
Grüße
masaat
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Hallo,
hab es nochmal nachformiert, ist das jetzt so richtig und vollständig ?
zu Aufgabe a
Ebene
c-b= [mm] \vektor{6 \\ 6 \\ -10 }
[/mm]
d-b= [mm] \vektor{2 \\ 10 \\ -10 }
[/mm]
E: x= [mm] \vektor{0 \\ -4 \\ 9 }+s*\vektor{6 \\ 6 \\ -10 }+v*\vektor{2 \\ 10 \\ -10 } [/mm] =
[mm] \vektor{4 \\ 4 \\ -8 }=s*\vektor{6 \\ 6 \\ -10 }+v*\vektor{2 \\ 10 \\ -10 }
[/mm]
dann wäre
1. 6s+2v =4
2. 6s+10v =4
3. -10s-10v = -8 dann (2)-(3) u. s=1 in (2) eingesetzt ist v=(-1/5); s=1 u. v= (-1/5) in (1) eingesetzt = 28/5 und [mm] \not= [/mm] 4 , deshalb können alle Punkte nicht in einer Ebene liegen.
Kann man das so Formulieren oder wie müsste das aussehen ?
zu b)
Normalenvektor, wäre das etwa
[mm] \vektor{4 \\ 0 \\ 1 }*\vektor{6 \\ 6 \\ -10 }= [/mm] 0 ???
Normalenvektor = [mm] \vec{a}* \vec{x}= [/mm] 0
Normaleneinheitsvektor = [mm] \bruch{vec{a}}{|vec{a}|}
[/mm]
zu Normalenvektor
was steht da für was, wie verwenden ...
Sicher eine Gerade die durch A geht und [mm] \perp [/mm] zur Ebene ist, soweit habe ich es ja verstanden ...
zu Normaleneinheitsvektor
Wie man den Betrag |vec{a}| bildet weiss ich, aber wie, für was steht vec{a} über dem Bruchzeichen, was damit anfangen
P.s: Das ist eine LF Aufgabe, werde kein Mathe Lf wählen, lösen würde ich es aber trotzdem gern, weil es das verständnis verbessert ...
Grüße
masaat
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Hallo masaat234,
> Hallo,
>
> hab es nochmal nachformiert, ist das jetzt so richtig und
> vollständig ?
>
> zu Aufgabe a
>
> Ebene
>
> c-b= [mm]\vektor{6 \\ 6 \\ -10 }[/mm]
> d-b= [mm]\vektor{2 \\ 10 \\ -10 }[/mm]
>
> E: x= [mm]\vektor{0 \\ -4 \\ 9 }+s*\vektor{6 \\ 6 \\ -10 }+v*\vektor{2 \\ 10 \\ -10 }[/mm]
> =
>
> [mm]\vektor{4 \\ 4 \\ -8 }=s*\vektor{6 \\ 6 \\ -10 }+v*\vektor{2 \\ 10 \\ -10 }[/mm]
>
> dann wäre
>
> 1. 6s+2v =4
> 2. 6s+10v =4
> 3. -10s-10v = -8 dann (2)-(3) u. s=1 in (2) eingesetzt ist
> v=(-1/5); s=1 u. v= (-1/5) in (1) eingesetzt = 28/5 und
> [mm]\not=[/mm] 4 , deshalb können alle Punkte nicht in einer Ebene
> liegen.
>
> Kann man das so Formulieren oder wie müsste das aussehen ?
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
>
> zu b)
>
> Normalenvektor, wäre das etwa
>
> [mm]\vektor{4 \\ 0 \\ 1 }*\vektor{6 \\ 6 \\ -10 }=[/mm] 0 ???
nein, der  Normalenvektor [mm] \vec{n} [/mm] ist orthogonal zu den beiden Richtungsvektoren der Ebene.
>
> Normalenvektor = [mm]\vec{a}* \vec{x}=[/mm] 0
> Normaleneinheitsvektor = [mm]\bruch{\vec{a}}{|\vec{a}|}[/mm]
>
> zu Normalenvektor
>
> was steht da für was, wie verwenden ...
> Sicher eine Gerade die durch A geht und [mm]\perp[/mm] zur Ebene
> ist, soweit habe ich es ja verstanden ...
>
> zu Normaleneinheitsvektor
> Wie man den Betrag [mm] |\vec{a}| [/mm] bildet weiss ich, aber wie,
> für was steht [mm] \vec{a} [/mm] über dem Bruchzeichen, was damit
> anfangen
Wenn du den Vektor [mm] \vec{a} [/mm] durch seinen Betrag teilst, entsteht ein Vektor gleicher Richtung, aber mit der Länge 1, daher "Einheitsvektor".
>
> P.s: Das ist eine LF Aufgabe, werde kein Mathe Lf wählen,
> lösen würde ich es aber trotzdem gern, weil es das
> verständnis verbessert ...
>
> Grüße
>
> masaat
Gruß informix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:22 Mo 11.12.2006 | | Autor: | masaat234 |
Hallo Loddar und Vielen Dank,
Ahhhhh, "Die Differenzvektoren als Grundlage".
und ich hab mich die ganze Zeit mit den Geradenleichungen herumgeplagt , versucht die irgendwie da einzusetzten, hatte mich glatt noch ein paar frustrierende Stunden kosten können,
Rechne es nachher mal nach und setzte das Ergebnis ins Forum, zur Sicherheit.
Grüße
masaat
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Hallo,
hab es nachgerechnet und
[mm] \bruch{-128}{\wurzel{96}*\wurzel{172}} \approx [/mm] -0,99612 =
[mm] 5\circ [/mm] 05´ Schnittwinkel ist dann [mm] 90\circ [/mm] - [mm] 5\circ [/mm] 05´ = 84 [mm] \circ [/mm] 95´ ist das jetzt so richtig ?
Grüße
masaat
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:23 Do 21.12.2006 | | Autor: | M.Rex |
Sieht gut aus, aber meiner Meinung nach reicht es, den Winkel in ° anzugeben.
Marius
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Hallo,
Ist den Aufgaben-Teil (d) so richtig ???
zu d)
AB+BC+CD
AB
[mm] \wurzel{(4-0)²+(0-4)²+(1-9)²} [/mm] +
BC
[mm] \wurzel{172}+
[/mm]
CD
[mm] \wurzel{32} [/mm] =
AB+BC+CD= [mm] \wurzel{300}
[/mm]
Oh man irgendwie glaub ich nicht dass das richtig ist, bzw. wie ich das hier richtig lösen soll oder gar mit der Hesse Formel ?
Grüße
masaat
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:28 Do 21.12.2006 | | Autor: | M.Rex |
Berechne mal [mm] |\overrightarrow{AB}|, |\overrightarrow{AC}|, |\overrightarrow{AD}|, |\overrightarrow{BD}|, |\overrightarrow{BC}|, |\overrightarrow{CD}|. [/mm] Damit kannst du dann alle Möglichen Verbindungslinien berechnen.
Du musst dir jetzt nur noch die kürzeste Herussuchen, die alle Punkt enthält.
Das schaft man mit drei Vektoren.
Ach ja: [mm] |\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{BA}|, [/mm] aber das sollte klar sein.
Marius
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Hallo,
wie löst man Aufgabe d richtig ?
Einfach nur die Differenzen bilden und addieren oder wie geht das ?
P.s:Habe Aufgabe b inzwischen gelöst.
Grüße
masaat
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:30 Do 21.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo masaat!
Ich würde alle möglichen Verbindungsvektoren (= Differenzvektoren) ermitteln und die entsprechenden Längen berechnen und vergleichen.
Erforderliche Vektoren:
[mm] $\overrightarrow{AB} [/mm] \ = \ [mm] \vec{b}-\vec{a}$
[/mm]
[mm] $\overrightarrow{AC} [/mm] \ = \ [mm] \vec{c}-\vec{a}$
[/mm]
[mm] $\overrightarrow{AD} [/mm] \ = \ [mm] \vec{d}-\vec{a}$
[/mm]
[mm] $\overrightarrow{BC} [/mm] \ = \ [mm] \vec{c}-\vec{b}$
[/mm]
[mm] $\overrightarrow{BD} [/mm] \ = \ [mm] \vec{d}-\vec{b}$
[/mm]
[mm] $\overrightarrow{CD} [/mm] \ = \ [mm] \vec{d}-\vec{c}$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:32 Do 21.12.2006 | | Autor: | M.Rex |
Zwei Helfer - Ein Gedanke, wie du
hier nachlesen kannst
Marius
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![[snoopysleep]](/images/smileys/snoopysleep.gif "[snoopysleep]"){kind=small}
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
Und mit diesen beiden Vektoren nun in die Winkelformel für Vektoren:
