Vierergruppe, Isomorphismus < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:38 Fr 06.05.2005 | | Autor: | michael7 |
Hallo,
es soll gezeigt werden, dass jede Gruppe mit 4 Elementen entweder isomorph zur Kleinschen Vierergruppe
[mm]
\begin{tabular}{c|cccc}
\circ & e & a & b & c\\
\hline
e&e&a&b&c\\
a&a&e&c&b\\
b&b&c&e&a\\
c&c&b&a&e
\end{tabular}
[/mm]
oder zur zyklischen Gruppe
[mm]
\begin{tabular}{c|cccc}
\circ & e & a & b & c\\
\hline
e&e&a&b&c\\
a&a&b&c&e\\
b&b&c&e&a\\
c&c&e&a&b
\end{tabular}
[/mm]
ist. Nun habe ich mal testweise versucht noch eine weitere Gruppentafel aufzustellen:
[mm]
\begin{tabular}{c|cccc}
\circ & e & a & b & c\\
\hline
e&e&a&b&c\\
a&a&c&e&b\\
b&b&e&c&a\\
c&c&b&a&e
\end{tabular}
[/mm]
Hierbei gilt:
[mm]
e=\pmat{1&2&3&4\\1&2&3&4}, a=\pmat{1&2&3&4\\2&4&1&3}, b=\pmat{1&2&3&4\\3&1&4&2}, c=\pmat{1&2&3&4\\4&3&2&1}
[/mm]
Wenn ich nichts uebersehen habe, dann ist das eine Gruppe, weil assoziativ, neutrales Element e, Inverse. Stimmt das soweit? Falls ja, dann sehe ich aber nicht warum sie isomorph zu einer der beiden obigen Gruppen ist. Muesste ich dann (informell gesprochen) nicht bestimmte Buchstaben so durch andere ersetzen koennen, dass die Gruppentafel genau so wie eine der obigen Tafeln aussieht? Das geht doch aber nicht, da eine ganz andere Struktur vorliegt. Wo liegt mein Denkfehler?
Tschuess, Michael
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:57 Sa 07.05.2005 | | Autor: | Paulus |
Lieber Michael
> Hallo,
>
> es soll gezeigt werden, dass jede Gruppe mit 4 Elementen
> entweder isomorph zur Kleinschen Vierergruppe
>
> [mm]
\begin{tabular}{c|cccc}
\circ & e & a & b & c\\
\hline
e&e&a&b&c\\
a&a&e&c&b\\
b&b&c&e&a\\
c&c&b&a&e
\end{tabular}
[/mm]
>
> oder zur zyklischen Gruppe
>
> [mm]
\begin{tabular}{c|cccc}
\circ & e & a & b & c\\
\hline
e&e&a&b&c\\
a&a&b&c&e\\
b&b&c&e&a\\
c&c&e&a&b
\end{tabular}
[/mm]
>
> ist. Nun habe ich mal testweise versucht noch eine weitere
> Gruppentafel aufzustellen:
>
> [mm]
\begin{tabular}{c|cccc}
\circ & e & a & b & c\\
\hline
e&e&a&b&c\\
a&a&c&e&b\\
b&b&e&c&a\\
c&c&b&a&e
\end{tabular}
[/mm]
>
> Hierbei gilt:
>
> [mm]
e=\pmat{1&2&3&4\\1&2&3&4}, a=\pmat{1&2&3&4\\2&4&1&3}, b=\pmat{1&2&3&4\\3&1&4&2}, c=\pmat{1&2&3&4\\4&3&2&1}
[/mm]
>
> Wenn ich nichts uebersehen habe, dann ist das eine Gruppe,
> weil assoziativ, neutrales Element e, Inverse. Stimmt das
> soweit? Falls ja, dann sehe ich aber nicht warum sie
> isomorph zu einer der beiden obigen Gruppen ist. Muesste
> ich dann (informell gesprochen) nicht bestimmte Buchstaben
> so durch andere ersetzen koennen, dass die Gruppentafel
> genau so wie eine der obigen Tafeln aussieht? Das geht doch
> aber nicht, da eine ganz andere Struktur vorliegt. Wo liegt
> mein Denkfehler?
Dein Denkfehler liegt wohl darin, dass du nicht siehst, dass es geht! 
Du stellst fest, dass in der Kleinschen Gruppe jedes Element mit sich selber verknüpft, das neutrale Element ergibt. In deiner konstruierten Gruppe ist das nicht der Fall, somit kann sie nur noch zur zyklischen Gruppe isomorph sein. Ich behaupte, wenn man in deiner Gruppe die Elemente b und c vertauscht, dann hast du genau diese Isomorphie.
Um das zu überprüfen, schreibe ich einfach mal aus der zyklischen Gruppe die Multiplikationen in der linken Spalte hin, rechts daneben die Multiplikationen aus deiner konstruierten Gruppe, wobei ich die Reihenfolge beim Auflisten verändere:
$e*e=e [mm] \, \, \, [/mm] e*e=e$
$e*a=a [mm] \, \, \, [/mm] e*a=a$
$e*b=b [mm] \, \, \, [/mm] e*c=c$
$e*c=c [mm] \, \, \, [/mm] e*b=b$
$a*e=a [mm] \, \, \, [/mm] a*e=a$
$a*a=b [mm] \, \, \, [/mm] a*a=c$
$a*b=c [mm] \, \, \, [/mm] a*c=b$
$a*c=e [mm] \, \, \, [/mm] a*b=e$
$b*e=b [mm] \, \, \, [/mm] c*e=c$
$b*a=c [mm] \, \, \, [/mm] c*a=b$
$b*b=e [mm] \, \, \, [/mm] c*c=e$
$b*c=a [mm] \, \, \, [/mm] c*b=a$
$c*e=c [mm] \, \, \, [/mm] b*e=b$
$c*a=e [mm] \, \, \, [/mm] b*a=e$
$c*b=a [mm] \, \, \, [/mm] b*c=a$
$c*c=b [mm] \, \, \, [/mm] b*b=c$
So, wenn du diese Verknüpfungen vergleichst, dann stellst du wirklich fest, dass einfach in der 2. Kolonne das c die Funktion von b aus der ersten Kolonne übernommen hat, und das c die Funktion von b! 
Du hättest natürlich in deiner Gruppentafel auch einfach b und c austauschen dürfen, und dann aber auch die 3. mit der 4. Zeile sowie die 3. mit der 4. Spalte vertauschen können.
das sähe dann so aus:
Ursprüngliche Tafel:
[mm]
\begin{tabular}{c|cccc}
\circ & e & a & b & c\\
\hline
e&e&a&b&c\\
a&a&c&e&b\\
b&b&e&c&a\\
c&c&b&a&e
\end{tabular}
[/mm]
b durch c ersetzen, und umgekehrt:
[mm]
\begin{tabular}{c|cccc}
\circ & e & a & c & b\\
\hline
e&e&a&c&b\\
a&a&b&e&c\\
c&c&e&b&a\\
b&b&c&a&e
\end{tabular}
[/mm]
Und jetzt die beiden letzten Zeilen vertauschen:
[mm]
\begin{tabular}{c|cccc}
\circ & e & a & c & b\\
\hline
e&e&a&c&b\\
a&a&b&e&c\\
b&b&c&a&e\\
c&c&e&b&a
\end{tabular}
[/mm]
Und noch die hinteren 2 Spalten vertauschen:
[mm]
\begin{tabular}{c|cccc}
\circ & e & a & b& c\\
\hline
e&e&a&b&c\\
a&a&b&c&e\\
b&b&c&e&a\\
c&c&e&a&b
\end{tabular}
[/mm]
Na, wenn die nicht aussieht wie deine Gruppentafel der Zyklischen Gruppe...
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:57 So 08.05.2005 | | Autor: | michael7 |
Hallo Paul,
vielen Dank fuer Deine ausfuehrliche Antwort! Jetzt seh sogar ich es.
Michael
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