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| Aufgabe | Beweise mit vollständiger Induktion:
[mm] \summe_{k=1}^{m}\bruch{1}{k(k+1)}=\bruch{m}{m+1} [/mm] |
Hi,
leider komme ich mit obiger Aufgabe nicht zurecht.
IA: m=1 | [mm] \bruch{1}{2}=\bruch{1}{2}
[/mm]
-> soweit also korrekt
m-> m+1 zz für Nachfolgerformel
[mm] \summe_{k=1}^{m+1}\bruch{1}{k(k+1)}\bruch{1}{m+1(m+2)}=\bruch{m+1}{m+2}
[/mm]
Dann käme ich nach einsetzen auf [mm] \bruch{m+1}{m+2}+\bruch{1}{m+1(m+2)}
[/mm]
Allerdings vermute ich, ich habe mich hier iwo total verhaspelt, weil mir auch kein vernünftiger weiterer weg einfällt.
Im vorraus besten Dank.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo TheUnnamed,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
> m-> m+1 zz für Nachfolgerformel
>
> [mm]\summe_{k=1}^{m+1}\bruch{1}{k(k+1)}\bruch{1}{m+1(m+2)}=\bruch{m+1}{m+2}[/mm]
Hier verstehe ich nicht, was Du machst. Fehlt hier irgendein (Rechen-)Zeichen? Zumindest aber Klammern ...
Es gilt:
[mm] $\summe_{k=1}^{m+1}\bruch{1}{k*(k+1)} [/mm] \ = \ [mm] \summe_{k=1}^{m}\bruch{1}{k*(k+1)}+\summe_{k=m+1}^{m+1}\bruch{1}{k*(k+1)} [/mm] \ = \ [mm] \summe_{k=1}^{m}\bruch{1}{k*(k+1)}+\bruch{1}{(m+1)*(m+2)} [/mm] \ = \ ...$
Nun für den vorderen Term die Induktionsvoraussetzung anwenden.
Gruß vom
Roadrunner
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Hi, erstmal danke,
also:
[mm] \summe_{k=1}^{m+1}\bruch{1}{k (k+1)}+\bruch{1}{(m+1)(m+2)}
[/mm]
Stimmt, ich hatte doppelt m+1 gesetzt; das [mm] \bruch{m+1}{m+2}, [/mm] ist nonsense, brauche ich ja gar nicht.
Also wenn ich jetzt weitergehe
[mm] \summe_{k=1}^{m+1}\bruch{1}{k (k+1)}+\bruch{1}{(m+1)(m+2)}
[/mm]
[mm] ->\bruch{m}{m+1} [/mm] für die Summenformel einsetzen
[mm] \bruch{m}{m+1}+\bruch{1}{(m+1)(m+2)}
[/mm]
Allerdings weis ich jetzt einfach nicht, was ich weiter machen soll, theoretisch hätte ich jetzt evtl. gedacht, auf den selben Nenner bringen?? Paar Tipps wären super.
Btw. mal die Frage, weißt du zufällig, eine gute Quelle wo diese ganze Induktionsgeschichte gut erklärt ist?
Thx
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Hallo The Unnamed,
> Hi, erstmal danke,
> also:
> [mm]\summe_{k=1}^{m+1}\bruch{1}{k (k+1)}+\bruch{1}{(m+1)(m+2)}[/mm]
>
> Stimmt, ich hatte doppelt m+1 gesetzt; das
> [mm]\bruch{m+1}{m+2},[/mm] ist nonsense, brauche ich ja gar nicht.
>
> Also wenn ich jetzt weitergehe
> [mm]\summe_{k=1}^{m+1}\bruch{1}{k (k+1)}+\bruch{1}{(m+1)(m+2)}[/mm]
>
> [mm]->\bruch{m}{m+1}[/mm] für die Summenformel einsetzen
> [mm]\bruch{m}{m+1}+\bruch{1}{(m+1)(m+2)}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Allerdings weis ich jetzt einfach nicht, was ich weiter
> machen soll, theoretisch hätte ich jetzt evtl. gedacht,
> auf den selben Nenner bringen??
Ja natürlich, man addiert doch Brüche, indem man gleichnamig macht!
> Paar Tipps wären super.
Mache das mal, der Zähler wird sich schön zusammenfassen lassen ...
>
> Btw. mal die Frage, weißt du zufällig, eine gute Quelle
> wo diese ganze Induktionsgeschichte gut erklärt ist?
Google doch mal, da gibt's tausende Seiten ...
>
> Thx
Gruß
schachuzipus
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Also theoretisch, müsste ich ja, dann mit (m+2) multiplizieren, dass ich diesen Ausruck aus dem nenner bekomme?
[mm] \bruch{m}{m+1}+\bruch{1}{(m+1)} [/mm] *(m+2)
Dann würde sich m+1 wegkürzen und ich hätte m+2 übrig, was wohl auch nonsense wäre?
Oder wie kriege ich die (m+2) sonst aus dem Nenner? Weil theoretisch bringt es mir ja so nichts? Sry ich glaube ich stehe gerade ziemlich heftig auf dem Schlauch...
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Hallo!
Nun rechne doch mal ganz in Ruhe und konzentriert die beiden Brüche zusammen (wie in der 8. Klasse):
[mm] $\bruch{m}{m+1}+\bruch{1}{(m+1)*(m+2)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{m*(m+2)}{(m+1)*(m+2)}+\bruch{1}{(m+1)*(m+2)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{m*(m+2)+1}{(m+1)*(m+2)} [/mm] \ = \ ...$
Nun im Zähler die Klammer ausmultiplizieren und (hoffentlich) die binomische Formel erkennen.
Gruß vom
Roadrunner
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Also:
[mm] \bruch{m}{m+1}+\bruch{1}{(m+1)\cdot{}(m+2)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{m\cdot{}(m+2)}{(m+1)\cdot{}(m+2)}+\bruch{1}{(m+1)\cdot{}(m+2)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{m\cdot{}(m+2)+1}{(m+1)\cdot{}(m+2)} [/mm] \ = [mm] \bruch{m^{2}+2m+1}{(m+1)\cdot{}(m+2)} [/mm] = [mm] \bruch{(m+1)^{2}}{(m+1)\cdot{}(m+2)} [/mm]
dann kürzt sich das quadrat mit der m+1 vom Nenner und ich müsste:
[mm] \bruch{(m+1)}{(m+2)} [/mm] erhalten?
Womit dann theo die Induktion fertig wäre?
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Hallo nochmal,
> Also:
>
>
> [mm]\bruch{m}{m+1}+\bruch{1}{(m+1)\cdot{}(m+2)}[/mm] \ = \
> [mm]\bruch{m\cdot{}(m+2)}{(m+1)\cdot{}(m+2)}+\bruch{1}{(m+1)\cdot{}(m+2)}[/mm]
> \ = \ [mm]\bruch{m\cdot{}(m+2)+1}{(m+1)\cdot{}(m+2)}[/mm] \ =
> [mm]\bruch{m^{2}+2m+1}{(m+1)\cdot{}(m+2)}[/mm] =
> [mm]\bruch{(m+1)^{2}}{(m+1)\cdot{}(m+2)}[/mm]
>
> dann kürzt sich das quadrat mit der m+1 vom Nenner und ich
> müsste:
>
> [mm]\bruch{(m+1)}{(m+2)}[/mm] erhalten?
Ganz genau!
>
> Womit dann theo die Induktion fertig wäre?
Auch praktisch! Ist dir klar, wieso du damit fertig bist?
Gruß
schachuzipus
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Merci,
Nun ich würde, sagen, ich bin fertig, da ich damit bewiesen haben sollte, dass die Formel auch für N+1 gilt, oder?
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Hallo nochmal,
> Merci,
> Nun ich würde, sagen, ich bin fertig, da ich damit
> bewiesen haben sollte, dass die Formel auch für N+1 gilt,
> oder?
Ja, insgesamt hast du gezeigt, dass die Beh. für $n=1$ gilt und dass sie bei Gültigkeit für beliebiges [mm] $n\in\IN$ [/mm] auch für den Nachfolger $n+1$ gilt.
Damit gilt sie für alle natürlichen Zahlen.
Gruß
schachuzipus
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