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Forum "Uni-Analysis-Induktion" - Vollst. Induktion: Produkt
Vollst. Induktion: Produkt < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Vollst. Induktion: Produkt: Korrektur Zwischenstand
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:45 Mi 26.01.2011
Autor: el_grecco

Aufgabe
Die folgende Aussage soll mit Induktion bewiesen werden:

[mm] $\forall [/mm] n [mm] \in \IN_{0}\forall [/mm] x [mm] \not= 1\produkt_{k=0}^{n}(1+x^{2^{k}})=\bruch{1-x^{2n+1}}{1-x}$ [/mm]

Hallo,

es wäre sehr nett, wenn jemand meinen bisherigen Lösungsstand korrigieren könnte. Das am Ende wirkt auf mich nicht so, als würde es richtig sein, ich finde andererseits aber auch keine Fehler...


Induktionsanfang n=0:
[mm] $\produkt_{k=0}^{1}(1+x^{2^{k}})=(1+x^{2^{0}})=(1+x)=1=\bruch{1-x}{1-x}=\bruch{1-x^{2*0+1}}{1-x}$ [/mm]

Induktionsschritt $n [mm] \to [/mm] n+1$

Induktionsvoraussetzung:

Für ein $n [mm] \in \IN_{0}$ [/mm] gelte: [mm] $\produkt_{k=0}^{n}(1+x^{2^{k}})=\bruch{1-x^{2n+1}}{1-x}$ [/mm]

Zu zeigen:
$ [mm] \produkt_{k=0}^{n+1}(1+x^{2^{k}})=\bruch{1-x^{2(n+1)+1}}{1-x}=\bruch{1-x^{2n+3}}{1-x}$ [/mm]

Dann folgt:
$ [mm] \produkt_{k=0}^{n+1}=\left[\produkt_{k=0}^{n}(1+x^{2^{k}})\right]+(1+x^{2^{n+1}})$ [/mm]

[mm] $=\bruch{1-x^{2n+1}}{1-x}+(1+x^{2^{(n+1)+1}})$ [/mm]

[mm] $=\bruch{1-x^{2n+1}}{1-x}+(1+x^{2^{n+2}})$ [/mm]


Vielen Dank!

Gruß
el_grecco


        
Bezug
Vollst. Induktion: Produkt: keine Summe sondern Produkt
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:46 Mi 26.01.2011
Autor: Loddar

Hallo el_grecco!


Zum einen vermisse ich hier noch den letzten Schritt, der auf das gewünschte (will heißen: zu zeigende) Ergebnis führt.

Zum anderen scheinst Du hier das Produktzeichen (nicht Summenzeichen) falsch zu verstehen.

Es gilt:

[mm]\produkt_{k=0}^{n+1}1+x^{2^k} \ = \ \left[\produkt_{k=0}^{n}(1+x^{2^{k}})\right] \ \red{\times} \ (1+x^{2^{n+1}})[/mm]

Gruß
Loddar

Bezug
                
Bezug
Vollst. Induktion: Produkt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:16 Do 27.01.2011
Autor: el_grecco

Aufgabe
Die folgende Aussage soll mit Induktion bewiesen werden:

$ [mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN_{0}\forall [/mm] x [mm] \not= 1\produkt_{k=0}^{n}(1+x^{2^{k}})=\bruch{1-x^{2n+1}}{1-x} [/mm] $

Hallo Loddar,

danke für Deine Antwort. Leider hänge ich am Ende trotz der Berichtigung fest.


Induktionsanfang n=0:
$ [mm] \produkt_{k=0}^{1}(1+x^{2^{k}})=(1+x^{2^{0}})=(1+x)=1=\bruch{1-x}{1-x}=\bruch{1-x^{2\cdot{}0+1}}{1-x} [/mm] $

Induktionsschritt $ n [mm] \to [/mm] n+1 $

Induktionsvoraussetzung:

Für ein $ n [mm] \in \IN_{0} [/mm] $ gelte: $ [mm] \produkt_{k=0}^{n}(1+x^{2^{k}})=\bruch{1-x^{2n+1}}{1-x} [/mm] $

Zu zeigen:
$ [mm] \produkt_{k=0}^{n+1}(1+x^{2^{k}})=\bruch{1-x^{2(n+1)+1}}{1-x}=\bruch{1-x^{2n+3}}{1-x} [/mm] $

Dann folgt:
$ [mm] \produkt_{k=0}^{n+1}=\left[\produkt_{k=0}^{n}(1+x^{2^{k}})\right]*(1+x^{2^{n+1}}) [/mm] $

$ [mm] =\bruch{1-x^{2n+1}}{1-x}*(1+x^{2^{(n+1)+1}}) [/mm] $

$ [mm] =\bruch{1-x^{2n+1}}{1-x}*(1+x^{2^{n+2}}) [/mm] $

$ [mm] =\bruch{1+x^{2^{n+2}}-x^{2n+1}-x^{2n+1}*x^{2^{n+2}}}{1-x}$ [/mm]


Ich sehe zwar, dass im Zähler (mit Ausnahme der 1) das x überall die Basis bildet, aber ich sehe nicht, wie ich derart vereinfachen kann, dass ich schlussendlich auf den zu zeigenden Bruch [mm] $\bruch{1-x^{2n+3}}{1-x}$ [/mm] komme.

Bin für jeden Tipp sehr dankbar.

Gruß
el_grecco


Bezug
                        
Bezug
Vollst. Induktion: Produkt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:11 Do 27.01.2011
Autor: schachuzipus

Hallo el_grecco,


> Die folgende Aussage soll mit Induktion bewiesen werden:
>  
> [mm]\forall n \in \IN_{0}\forall x \not= 1\produkt_{k=0}^{n}(1+x^{2^{k}})=\bruch{1-x^{2n+1}}{1-x}[/mm] [notok]

So stimmt doch schon der Induktionsanfang nicht.

Schaue mal bei dir ganz oben, da steht [mm](1+x)=1[/mm] ...

Rechterhand muss stehen [mm]\ldots=\frac{1-x^{2^{\red{n+1}}}}{1-x}[/mm]

>  
> Hallo Loddar,
>  
> danke für Deine Antwort. Leider hänge ich am Ende trotz
> der Berichtigung fest.
>  
>
> Induktionsanfang n=0:
>  
> [mm]\produkt_{k=0}^{1}(1+x^{2^{k}})=(1+x^{2^{0}})=(1+x)=1=\bruch{1-x}{1-x}=\bruch{1-x^{2\cdot{}0+1}}{1-x}[/mm] [notok]

$(1+x)=1$ ?????????

>  
> Induktionsschritt [mm]n \to n+1[/mm]
>  
> Induktionsvoraussetzung:
>  
> Für ein [mm]n \in \IN_{0}[/mm] gelte:
> [mm]\produkt_{k=0}^{n}(1+x^{2^{k}})=\bruch{1-x^{2n+1}}{1-x}[/mm]
>  
> Zu zeigen:
>  
> [mm]\produkt_{k=0}^{n+1}(1+x^{2^{k}})=\bruch{1-x^{2(n+1)+1}}{1-x}=\bruch{1-x^{2n+3}}{1-x}[/mm]


Eben nicht, rechterhand muss rauskommen [mm]\frac{1-x^{2^{n+2}}}{1-x}[/mm]

Schaue nochmal genau auf die Aufgabenstellung.

In dieser "korrigierten" Version klappt der IA und auch der Induktionsschritt ganz leicht!

> Dann folgt:
>  
> [mm]\produkt_{k=0}^{n+1}=\left[\produkt_{k=0}^{n}(1+x^{2^{k}})\right]*(1+x^{2^{n+1}})[/mm]
>  
> [mm]=\bruch{1-x^{2n+1}}{1-x}*(1+x^{2^{(n+1)+1}})[/mm]
>  
> [mm]=\bruch{1-x^{2n+1}}{1-x}*(1+x^{2^{n+2}})[/mm]
>  
> [mm]=\bruch{1+x^{2^{n+2}}-x^{2n+1}-x^{2n+1}*x^{2^{n+2}}}{1-x}[/mm]
>  
>
> Ich sehe zwar, dass im Zähler (mit Ausnahme der 1) das x
> überall die Basis bildet, aber ich sehe nicht, wie ich
> derart vereinfachen kann, dass ich schlussendlich auf den
> zu zeigenden Bruch [mm]\bruch{1-x^{2n+3}}{1-x}[/mm] komme.
>  
> Bin für jeden Tipp sehr dankbar.
>  
> Gruß
>  el_grecco

Ein Exponentennwirrwar par excellence ist das hier ... ;-)



Gruß

schachuzipus  




Bezug
                                
Bezug
Vollst. Induktion: Produkt: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:05 Do 27.01.2011
Autor: el_grecco

Aufgabe
Die folgende Aussage soll mit Induktion bewiesen werden:

$ [mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN_{0}\forall [/mm] x [mm] \not= 1\produkt_{k=0}^{n}(1+x^{2^{k}})=\bruch{1-x^{2^{n+1}}}{1-x} [/mm] $

Hallo schachuzipus,

da ist mir ein gewaltiges Missgeschick unterlaufen und es tut mir echt Leid. Ich glaube es ist schon eine halbe Ewigkeit her, dass ich mich bei der Aufgabenstellung vertippt habe. [peinlich]

Es wäre sehr nett, wenn jemand meine endgültige Lösung unten korrigieren könnte.


Induktionsanfang n=0:
$ [mm] \produkt_{k=0}^{0}(1+x^{2^{k}})=(1+x^{2^{0}})=(1+x)=\bruch{1-x^{2}}{1-x}=\bruch{1-x^{2^{1}}}{1-x}=\bruch{1-x^{2^{0+1}}}{1-x} [/mm] $

Induktionsschritt $ n [mm] \to [/mm] n+1 $

Induktionsvoraussetzung:

Für ein $ n [mm] \in \IN_{0} [/mm] $ gelte: $ [mm] \produkt_{k=0}^{n}(1+x^{2^{k}})=\bruch{1-x^{2^{n+1}}}{1-x} [/mm] $

Zu zeigen:
$ [mm] \produkt_{k=0}^{n+1}(1+x^{2^{k}})=\bruch{1-x^{2^{(n+1)+1}}}{1-x}=\bruch{1-x^{2^{n+2}}}{1-x} [/mm] $

Dann folgt:
$ [mm] \produkt_{k=0}^{n+1}=\left[\produkt_{k=0}^{n}(1+x^{2^{k}})\right]*(1+x^{2^{(n+1)+1}}) [/mm] $

$ [mm] =\bruch{1-x^{2^{n+1}}}{1-x}*(1+x^{2^{n+2}}) [/mm] $

[mm] $=\bruch{1+x^{2^{n+2}}-x^{2^{n+1}}-x^{2^{n+1}}*x^{2^{n+2}}}{1-x} [/mm] $

- Ab hier bin ich mir mit dem Zusammenfassen unsicher -

[mm] $=\bruch{1+x^{2^{n+2}}-x^{2^{n+1}}-x^{2^{n+3}}}{1-x} [/mm] $

[mm] $=\bruch{1+x^{2^{n+2}}-x^{2^{n+4}}}{1-x} [/mm] $

[mm] $=\bruch{1-x^{2^{n+2}}}{1-x} [/mm] $


Vielen Dank!

Gruß
el_grecco


Bezug
                                        
Bezug
Vollst. Induktion: Produkt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:51 Do 27.01.2011
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,


> Die folgende Aussage soll mit Induktion bewiesen werden:
>  
> [mm]\forall n \in \IN_{0}\forall x \not= 1\produkt_{k=0}^{n}(1+x^{2^{k}})=\bruch{1-x^{2^{n+1}}}{1-x}[/mm]
>  
> Hallo schachuzipus,
>  
> da ist mir ein gewaltiges Missgeschick unterlaufen und es
> tut mir echt Leid. Ich glaube es ist schon eine halbe
> Ewigkeit her, dass ich mich bei der Aufgabenstellung
> vertippt habe. [peinlich]

Passiert schonmal, gerade bei den vielen Brüchen und verschachtelten Exponenten

>  
> Es wäre sehr nett, wenn jemand meine endgültige Lösung
> unten korrigieren könnte.
>  
>
> Induktionsanfang n=0:
>  
> [mm]\produkt_{k=0}^{0}(1+x^{2^{k}})=(1+x^{2^{0}})=(1+x)=\bruch{1-x^{2}}{1-x}=\bruch{1-x^{2^{1}}}{1-x}=\bruch{1-x^{2^{0+1}}}{1-x}[/mm] [ok]
>  
> Induktionsschritt [mm]n \to n+1[/mm]
>  
> Induktionsvoraussetzung:
>  
> Für ein [mm]n \in \IN_{0}[/mm] gelte:
> [mm]\produkt_{k=0}^{n}(1+x^{2^{k}})=\bruch{1-x^{2^{n+1}}}{1-x}[/mm]
>  
> Zu zeigen:
>  
> [mm]\produkt_{k=0}^{n+1}(1+x^{2^{k}})=\bruch{1-x^{2^{(n+1)+1}}}{1-x}=\bruch{1-x^{2^{n+2}}}{1-x}[/mm] [ok]
>  
> Dann folgt:

Es gilt:

>  
> [mm]\produkt_{k=0}^{n+1}\red{(1+x^{2^{k}})}=\left[\produkt_{k=0}^{n}(1+x^{2^{k}})\right]*(1+x^{2^{\blue{(n+1)+1}}})[/mm]


den roten Term haste vergessen (oben auch schon) ...

Der blaue Exponent ist falsch, da steht doch der Faktor für [mm]k=n+1[/mm] aus dem Produkt da linkerhand, also [mm]\ldots\cdot{}\left(1+x^{2^{n+1}}\right)[/mm]




>  
> [mm]=\bruch{1-x^{2^{n+1}}}{1-x}*(1+x^{2^{n+2}})[/mm]


>  
> [mm]=\bruch{1+x^{2^{n+2}}-x^{2^{n+1}}-x^{2^{n+1}}*x^{2^{n+2}}}{1-x}[/mm]

Mit dem richtigen "hinteren" Exponenten fällt einiges raus ...

>  
> - Ab hier bin ich mir mit dem Zusammenfassen unsicher -
>  
> [mm]=\bruch{1+x^{2^{n+2}}-x^{2^{n+1}}-x^{2^{n+3}}}{1-x}[/mm]
>  
> [mm]=\bruch{1+x^{2^{n+2}}-x^{2^{n+4}}}{1-x}[/mm]
>  
> [mm]=\bruch{1-x^{2^{n+2}}}{1-x}[/mm]

Das ist geschummelt ;-)

>  
>
> Vielen Dank!
>  
> Gruß
>  el_grecco
>  

Gruß

schachuzipus


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