Vollst. Induktion logisch? < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo alle!
Die Frage betrifft die Vollständige Induktion die eigentlich jeder
immer mit dem "Umfallen von Dominosteinen" zu veranschaulichen
versucht.
Ich muss gestehen ich verstehe es nicht auf einer "Verständnis-Ebene".
Sind alle diejenigen die Vollständige Induktion können auf dieses
Wissen gekommen weil sie es einfach zigmal geübt haben
(so wie Auto fahren) also ist es EXPLIZITES Wissen
oder gibt es jemanden hier der das IMPLIZIT-mäßig erklären kann?
Teilweiser Auszug des Wikipedia-Eintrages:
Als explizit gelten Wissensinhalte, über die ein Subjekt bewusst verfügen und die es gegebenenfalls auch sprachlich ausdrücken kann.
Implizite Inhalte dagegen zeichnen sich dadurch aus, dass sie nicht auf eine solche Weise verfügbar sind.
Beispiel:
Ärzte können häufig mit großer Zuverlässigkeit Diagnosen stellen oder Wissenschaftler Experimente analysieren, ohne explizit alle Regeln angeben zu können, nach denen sie bei Diagnose oder Analyse vorgehen.
http://de.wikipedia.org/wiki/Wissen#Explizites_und_implizites_Wissen
Danke für eure Antworten! Es würd mir echt sehr weiterhelfen in meinem Studium. Vieles versteh ich, aber das ist anscheinend zu hoch-logisch.
Möchte es meinen Schülern auch mal besser erklären können als mit "Übt's es einfach".
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:46 So 27.07.2014 | | Autor: | YuSul |
Vielleicht bin ich ja der einzige dem es so geht, aber irgendwie verstehe ich deine Frage nicht wirklich.
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Hallo,
also ich habe es damals mit sehr viel üben gelernt.
Habe es um die gefühlte 100 mal gemacht und dann merkt man eigentlich, dass es eigentlich immer fast dasselbe schema ist.
man braucht ein IA IV IS usw.
http://www.youtube.com/watch?v=MD7U_vYaX58
hier ist ein Link ich finde der hat es gut erklärt bei dem habe ich es mir auch mal angeschaut.
Ansonsten wie gesagt guck dir einige Beispiele an und versuch mal soweit wie möglich es alleine zu machen, damit du selbst halt weiß, woran du stolperst.
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:02 So 27.07.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
was das Beweisprinzip ist, und warum man durch vollständige Induktion etwas beweisen kann hast du verstanden? Das würde eigentlich die Verständnisebene sein!
Geht es um die Umformungen, die man dabei geschickter oder ungeschickter machen kann?
Die lernt man wie früher mal das kleine 1 mal 1, oder schriftliches dividieren usw. Wenn man mit Formeln gut umgehen kann schneller, sonst langsamer. Was oft vorkommt, etwa Summenformeln beweisen verwendet immer dieselbe methode, nur die dann folgenden Umformungen kann man geschickter machen und lernt das mit üben, wie alle Techniken. Aber das hat eigentlich nichts mit Verständnis zu tun.
Vielleicht formulierst du deine frage noch genauer, Technik beherrschen oder Prinzip verstehen.
Gruß leduart
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Hey leduart,
nein, eigentlich genau warum man mit der vollständigen Induktion etwas beweisen kann ist mir unverständlich.
Dominosteine, schön und gut.
Vielleicht fehlt mir das Verständnis für dieses -> Naja, is doch logisch, man schupft den ersten um, alle anderen fallen auch um.
Ironie:
Und DAS "meine Damen und Herren" ist das Prinzip der vollständigen Induktion, Grundbasis und Grundfeste des Beweisverfahrens moderner Mathematik.
/Ironie
Für mich ist das wie:
Fahrschüler, bleiben sie bei der Tafel da IMMER stehen!
Aber warum, Herr Fahrlehrer?
Weil ich es ihnen sage und ich das so weiß!
Wir bleiben bei solchen Tafeln immer stehen, Fahrschüler!
Und irgendwann später erfährt man dann halt das das eine Stop-Tafel ist.
Schön und gut das es klappt und das mein Mathe Prof. sagt "womit bewiesen wäre". 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:51 So 27.07.2014 | | Autor: | chrisno |
Bevor die vollständige Induktion benutzt wird, ist es im Prinzip notwendig, genau zu klären, was mit den natürlichen Zahlen gemeint ist. Da gibt es nun etliche Stufen, die man hoch steigen kann.
Ich fange mal unten an, ohne Anspruch darauf, dass ich wirklich die niedrigste Stufe nenne.
Die 1 ist eine natürliche Zahl. Jede weitere natürliche Zahl entsteht durch Addition einer weiteren 1.
Folgerung: wenn ich zu einer natürlichen Zahl 1 addiere, dann erhalte ich eine neue natürliche Zahl.
Damit ist schon, auf diesem Niveau, die vollständige Induktion da. Wenn ich weiß, dass etwas für die 1 gilt und weiterhin, dass es auch gilt, wenn es für den Vorgänger einer Zahl schon gilt, dann gilt s damit für alle natürlichen Zahlen. Die vollständig Induktion entspricht so direkt dem Aufbau der natürlichen Zahlen.
Nun hoffe ich, dass ich für diese primitive Darstellung hier nicht zu viel Schelte bekomme.
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Hallo,
> Hey leduart,
>
> nein, eigentlich genau warum man mit der vollständigen
> Induktion etwas beweisen kann ist mir unverständlich.
>
> Dominosteine, schön und gut.
>
>
> Vielleicht fehlt mir das Verständnis für dieses -> Naja,
> is doch logisch, man schupft den ersten um, alle anderen
> fallen auch um.
>
> Ironie:
> Und DAS "meine Damen und Herren" ist das Prinzip der
> vollständigen Induktion, Grundbasis und Grundfeste des
> Beweisverfahrens moderner Mathematik.
> /Ironie
Nur mal am Rande. Vollständige Induktion ist ein Beweisverfahren unter vielen. Es mag im ersten Semester extrem wichtig erscheinen, da man dort sehr viele solche Beweise macht, so zentral ist es aber nicht.
Die vollständige Induktion ist selbst nur ein Spezielfall der strukturellen Induktion: https://de.wikipedia.org/wiki/Strukturelle_Induktion .
Die vollständige Induktion ist eine Eigenschaft der natürlichen Zahlen, wie in den Peano-Axiomen gefordert.
Will man sie aus den "anschaulichen" natürlichen Zahlen herleiten so ergibt sich die vollst. Ind. daraus, dass jede natürliche Zahl (außer der Null) Nachfolger eine Zahl ist. (Das wiederrum veranschaulichen manche - nicht jeder und immer, ich z.B. fast nie - mit Dominosteinen.).
Die vollständige Ind. ist eine direkte Konsequenz des Aufbaus der natürlichen zahlen:
Eine kleinste Zahl:0 (entspricht dem Ind.anfang)
jede natürliche Zahl n hat (genau einen) Nachfolger: n+1 (Ind.schritt)
Meine Erfahrung zeigt allerdings, dass das Verständnis mancher Dinge nur durch ausgiebiges Beschäftigen damit zu steigern ist.
> Für mich ist das wie:
> Fahrschüler, bleiben sie bei der Tafel da IMMER stehen!
> Aber warum, Herr Fahrlehrer?
> Weil ich es ihnen sage und ich das so weiß!
> Wir bleiben bei solchen Tafeln immer stehen,
> Fahrschüler!
>
>
> Und irgendwann später erfährt man dann halt das das eine
> Stop-Tafel ist.
Vielleicht verstehe ich das Beispiel ja falsch, aber wo ist hier das Problem? Die Aussage des Fahrlehrers ist vollkommen richtig. Und was trägt es zum Verständnis der Regel (da wird immer gehalten) bei, dass die Tafel jetzt einen Namen hat? Das ändert doch nichts daran, dass dort immer gehalten werden muss? Welchen zusätzlichen Nutzen hat die Erkenntnis, dass die tafel eine Stop-Tafel ist?
>
> Schön und gut das es klappt und das mein Mathe Prof. sagt
> "womit bewiesen wäre".
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Hallo Jupiter und
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
gerade wenn du später Mathe unterrichten möchtest, ist
ein solches Thema für dich sicher wichtig. Wer als Lehrkraft
Inhalte oder Techniken (hier eine Beweistechnik) vermitteln
will, muss darüber unbedingt ausreichend "explizites Wissen"
besitzen. Andernfalls macht er sich früher oder später vor
den eigenen Schülern lächerlich.
Das Prinzip der vollständigen Induktion beruht auf der
modellartigen Vorstellung, dass man alle natürlichen
Zahlen gewissermaßen "militärisch" geordnet "in Linie
zu einem Glied antreten" lassen kann. Die Eins steht am
Anfang, dann kommen schön der Reihe nach die 2, die 3,
und so weiter und so weiter. Diese Reihe hat einen Anfang,
aber allerdings kein Ende - trotzdem erreicht man in ihr,
allenfalls nach sehr langem Weiterschreiten, jede auch
noch so große natürliche Zahl. Trotz der Unendlichkeit der
Menge [mm] \IN [/mm] ist diese Vorstellung recht anschaulich. Diese
Vorstellung wird in der Beweismethode der vollständigen
Induktion zum Prinzip (oder "Axiom") gemacht:
Wenn eine Menge von Zahlen die Eins enthält und zudem
zu jeder beliebigen natürlichen Zahl k, die sie enthält,
auch deren Nachfolgezahl k+1 enthält, dann enthält die
Menge alle natürlichen Zahlen.
Bei einem Beweis, der nach dieser Methode geführt werden
soll, geht es jeweils um die Menge [mm] M_A [/mm] jener natürlichen
Zahlen n , für welche eine Aussageform A(n) erfüllt ist,
also:
$\ [mm] M_A\ [/mm] =\ [mm] \{\,n\in\IN\ |\ A(n)\ ist\ wahr\,\}$
[/mm]
Um zu zeigen, dass eine gewisse behauptete Aussageform
A(n) für alle natürlichen Zahlen n gültig ist, geht man
dann so vor:
1.) man weist nach, dass die Aussage A(1) gültig ist.
2.) man zeigt, dass aus der Gültigkeit von A(k) (für eine ,
aber im Prinzip ganz beliebige natürliche Zahl k) auch
die Gültigkeit der Aussage A(k+1) folgt.
3.) Sind die beiden Bestandteile (1.) und (2.) der Beweis-
führung ("Verankerung der Induktion" und "Induktionsschritt")
gelungen, so darf man nach dem Axiom der vollständigen
Induktion darauf schließen, dass [mm] $\IN\subset M_A$ [/mm] , was inhaltlich
bedeutet: [mm] $\underset{ n \in\IN}{\forall\,n}\ [/mm] \ A(n)$
Erfahrungsgemäß bereitet manchen Lernenden zunächst
Mühe, dass man im Rahmen eines solchen Beweises streng
unterscheiden muss zwischen der (Einzel-) Aussage A(n)
für eine einzelne natürliche Zahl n , also A(n)
und der (All-) Aussage [mm] $\underset{ n \in\IN}{\forall\,n}\ [/mm] \ A(n)$
(d.h.: A(n) ist für jede natürliche Zahl gültig) .
Nun weiß ich nicht, ob du wirklich noch Probleme hattest
mit diesen Grundzügen der Beweismethode. Ich hoffe aber,
mit meinen Erläuterungen doch etwas geholfen zu haben,
vielleicht auch für andere, die hier reingucken.
Falls es dir eher um die konkrete Durchführung von
Induktionsbeweisen geht, dann gibst du vielleicht am
besten zwei typische Beispiele an, an denen man die
Einzelheiten solcher Beweise betrachten kann.
Natürlich ist die Beweismethode sehr universell, und
deshalb gibt es bestimmt auch keine Patentmethode
für alle derartigen Beweise. Bekanntlich gibt es ja etwa
in der Zahlentheorie Beweise, über denen ganze Generationen
von Mathematikern gebrütet haben, bis einer den end-
gültig zündenden genialen Gedanken hatte, der zum
Ziel führte. Ein derartiger Beweis kann dann je nachdem
ein komplexes Beweisgebäude sein, das zur Niederschrift
viele Seiten erfordert, die auch nur von Fachspezialisten
wirklich im Detail verstanden werden.
LG , Al-Chw.
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Hallo Al-Chw.,
danke für das Willkommen und die Antwort!
Ich glaube auch nach deiner Antwort noch nicht den richtigen Background der VI verstanden zu haben.
Ich bin, da ich vorher auch leudart's Antwort schon gelesen habe, irgendwie gerade davon überzeugt das es so ist:
Wenn man sich mit dem Hammer auf den Daumen haut -> Es tut weh!
Wenn man zu beweisen hat und man die VI benutzt und alles nach Regel macht kommt am Schluss etwas raus das entweder zum "Womit bewiesen wäre" oder "Na geeeeeh" Ausruf führt.
Wobei, wenn man dann fragt: Warum ist es den bewiesen?
Einfach nur als Antwort kommt: Weil es weh tut!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:01 So 27.07.2014 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hallo Jupiter,
da deine Antworten bisher leider so gar nicht auf die Beiträge passen, die dir versuchen das ein wenig anders zu erklären, noch einmal so simpel wie möglich:
Man zeigt:
1.) Eine Aussage gilt für n=1
2.) Wenn eine Aussage für n gilt, so auch für n+1
Daraus folgt sofort:
Die Aussage gilt für 1, und nach 2.) dann auch für 1+1=2
Die Aussage gilt nun also für 2, dann nach 2.) aber auch für 2+1 = 3
Die Aussage gilt nun also für 3, dann nach 2.) aber auch für 3+1 = 4
.
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.
Nenne mir doch jetzt mal eine natürliche Zahl, für die die Aussage nicht mehr gilt.
Gruß,
Gono.
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> Hallo Al-Chw.,
>
> danke für das Willkommen und die Antwort!
>
>
> Ich glaube auch nach deiner Antwort noch nicht den
> richtigen Background der VI verstanden zu haben.
>
>
> Ich bin, da ich vorher auch leudart's Antwort schon gelesen
> habe, irgendwie gerade davon überzeugt das es so ist:
>
> Wenn man sich mit dem Hammer auf den Daumen haut -> Es tut
> weh!
>
> Wenn man zu beweisen hat und man die VI benutzt und alles
> nach Regel macht kommt am Schluss etwas raus das entweder
> zum "Womit bewiesen wäre" oder "Na geeeeeh" Ausruf
> führt.
>
> Wobei, wenn man dann fragt: Warum ist es den bewiesen?
> Einfach nur als Antwort kommt: Weil es weh tut!
Hallo,
leider bewirkst du mit diesen Zeilen nicht, dass ich jetzt
etwas besser als vorher wüsste, wo denn dein Problem
mit der Beweismethode wirklich liegt. Ich könnte mir da
verschiedene Fälle vorstellen:
1.) Du kannst mit dem Bild der unendlich langen Reihe
von Dominosteinen, die mit 1,2,3,4, .... nummeriert
sind, nichts anfangen.
2.) Du zweifelst am Prinzip "Wenn der erste Domino-
stein fällt und mit jedem Dominostein auch der nächste,
so fallen alle Steine"
3.) Du hast Schwierigkeiten bei der Übertragung dieser
bildlichen Vorstellungen auf die etwas abstraktere
Situation mit Aussageformen und Aussagen, in denen
ein "n" (natürliche Zahl) als Variable vorkommt.
4.) Du verwickelst dich in den Rechnungen, die bei
einem konkreten Beweis durchgeführt werden, und
verlierst dabei den Gesamtüberblick darüber, was damit
nun für den Beweis geleistet wird.
Ich kann nur sagen: Es liegt an dir, uns klar zu machen,
wo genau du Hilfe brauchen würdest, wenn du solche von
uns erwartest.
Um es konkret zu machen: Bring doch als Beispiel einen
konkreten Induktionsbeweis, so wie du ihn selber notiert,
aber noch nicht recht verstanden hast. Daran können wir
vielleicht dein Problem dingfest machen.
Gute Nacht !
Al-Chw.
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Ich gebe dir einmal zwei Zahlen vor: 0,1, und sage dir, wie du zur nächsten Zahl kommst:
Verdopple die letzte Zahl der Folge und ziehe die vorletzte ab. Addiere schließlich 2.
Kannst du nach der vorgegebenen Regel die Reihe 0,1,?,?,?,? nach und nach fortsetzen, die Regel immer auf die letzten beiden gerade berechneten Glieder anwendend? Fällt dir hinsichtlich der Zahlen, die man erhält, etwas auf?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:59 Mo 28.07.2014 | | Autor: | fred97 |
Um das Beweisverfahren "Vollständige Induktion" zu verstehen, kommt man nicht drumrum, sich um die Definition der natürlichen Zahlen zu kümmern.
1. Über die Peano-Axiome. Dann ist obiges Beweisverfahren eine Folgerung aus einem der Peano-Axiome , dem Induktionsaxiom.
2. Man führt zunächst die reellen Zahlen [mm] \IR [/mm] axiomatisch ein über
die Körperaxiome,
die Anordnungsaxiome
und
das Vollständigkeitsaxiom.
Statt des Vollständigkeitsaxioms kann man auch Dedekindsche Schnitte bemühen.
Wie auch immer, wir haben dann den Körper [mm] \IR [/mm] mit den Rechenregeln der Grundrechnungsarten, den Rechenregeln für Ungleichungen und wir wissen was Supremum und Infimum bedeutet.
Nun stellt sich die Frage, wie man auf dieser Grundlage die natürlichen Zahlen 1,2,3, ... einführen kann (die 1 kennen wir schon aus den Körperaxiomen als das neutrale Element bezüglich der Multiplikation)
Die Einführung (Definition) der Menge [mm] \IN [/mm] der natürlichen Zahlen ist "fies":
Zunächst nennen wir eine Teilmenge M von [mm] \IR [/mm] eine Induktionsmenge, wenn gilt:
$1 [mm] \in [/mm] M$
und
wenn aus $x [mm] \in [/mm] M$ stets folgt: $x+1 [mm] \in [/mm] M$.
Es gibt Induktionsmengen wie Sand am Meer: z.B. sind Induktionsmengen
[mm] \IR, \quad \{x \in \IR: x \ge 1\}, $\{1\} \cup \{x \in \IR: x \ge 2\}$,.... [/mm] .
Nun definieren wir:
[mm] \IN:= [/mm] Durchschnitt aller Induktionsmengen.
Nun kann man zeigen ( versuchs mal):
[mm] \IN [/mm] ist eine Induktionsmenge.
Damit ist [mm] \IN [/mm] die "kleinste" Induktionsmenge in folgendem Sinne:
$ [mm] \IN \subseteq [/mm] M$ für jede(!) Induktionsmenge $M$.
Daraus folgt sofort das "Prinzip der vollständigen Induktion":
Ist $M [mm] \subseteq \IN$ [/mm] und ist $M$ eine Induktionsmenge, so ist $M= [mm] \IN$.
[/mm]
Damit haben wir das, was Al weiter oben geschrieben hat:
"Wenn eine Menge von Zahlen die Eins enthält und zudem
zu jeder beliebigen natürlichen Zahl k, die sie enthält,
auch deren Nachfolgezahl k+1 enthält, dann enthält die
Menge alle natürlichen Zahlen."
Al schrieb weiter:
"Bei einem Beweis, der nach dieser Methode geführt werden
soll, geht es jeweils um die Menge $ [mm] M_A [/mm] $ jener natürlichen
Zahlen n , für welche eine Aussageform A(n) erfüllt ist,
also:
$ \ [mm] M_A\ [/mm] =\ [mm] \{\,n\in\IN\ |\ A(n)\ ist\ wahr\,\} [/mm] $
Um zu zeigen, dass eine gewisse behauptete Aussageform
A(n) für alle natürlichen Zahlen n gültig ist, geht man
dann so vor:
1.) man weist nach, dass die Aussage A(1) gültig ist.
2.) man zeigt, dass aus der Gültigkeit von A(k) (für eine ,
aber im Prinzip ganz beliebige natürliche Zahl k) auch
die Gültigkeit der Aussage A(k+1) folgt."
Nach obigem Prinzip folgt dann:
[mm] M_A=\IN.
[/mm]
FRED
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Nachdem ich mir nun alles durchgelesen hab erstmal ein Danke für all die Antworten, auch wenn einige etwas tadelnd waren :-D
Ich hab jetzt erstmal einige Tage was zu denken, vielleicht komme ich auf eine Formulierung wie ich nun einem Schüler das erklären werde und erklären kann das er einigermaßen motiviert ist, weiß auf was er da zusteuert und was es schlussendlich bedeutet einen mathematischen Beweis durch Vollständige Induktion zu erbringen. Und warum es bei manchen Ausdrücken schwierig ist.
Ich werd posten und dann euch urteilen lassen
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Hilberts Hotel
