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| Aufgabe | Zeigen Sie mit Hilfe vollständiger Induktion, dass
[mm] \produkt_{k=2}^{n}(1-1/k^2)=(n+1)/2n [/mm]
für alle [mm] n\in\IN [/mm] gilt. |
Hallo zusammmen,
ich hab jetzt die vollständige Induktion drauf, aber hänge bei der folgenden Aufgabe:
[mm] \produkt_{k=2}^{n}(1-1/k^2)=(n+1)/2n
[/mm]
Es soll für alle [mm] n\in\IN [/mm] gelten.
Wäre euch sehr verbunden, wenn ich eine vollständige Induktion als Antwort sehen würde.
Danke im Vorraus.
P.S.: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:06 Do 29.10.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
für n=2 steht da 1/2=3/4
da muss was falsch sein.
Aber auch sonst, zeig erst was du versucht hast, damit wir sehen, was du "drauf" hast. dann springen wir ein wo es hakt.
Wir rechnen fast nie einfach was vor.
Gruss leduart.
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also dann:
man soll die vollständige induktion durchführen für
[mm] \produkt_{k=2}^{n}(1-1/k^2)=(n+1)/(2*n)
[/mm]
für die [mm] n\in\IN [/mm] gilt.
beweis:
induktionsanfang:n=2
[mm] \produkt_{k=2}^{2}k=2 [/mm] und [mm] (1-1/2^2)=3/4
[/mm]
also gilt die Annahme A(3/4)
...
Ich glaub der Ansatz ist falsch, deswegen hänge ich hier :-(
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ich hab keine ahnung wie das weiter gehen soll:
ich rate mal:
in induktionsschritt: [mm] n\ton+1
[/mm]
Angenommen es gilt: A(n): [mm] \produkt_{k=2}^{n}(1-1/k^2)=(n+1)/(2n)
[/mm]
dann folgt: [mm] \produkt_{k=2}^{n+1}(1-1/k^2)=(n+1)/(2n)+(n+1)
[/mm]
ich weiß nicht mehr weiter...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:38 Do 29.10.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo monstre!
Bedenke, dass es sich hier um ein Produkt und nicht um eine Summe handelt.
Es gilt also:
[mm] $$\produkt_{k=2}^{n+1}\left(1-\bruch{1}{k^2}\right) [/mm] \ = \ [mm] \blue{\produkt_{k=2}^{n}\left(1-\bruch{1}{k^2}\right)}*\left(1-\bruch{1}{(n+1)^2}\right) [/mm] \ = \ [mm] \blue{\bruch{n+1}{2n}}*\left(1-\bruch{1}{(n+1)^2}\right) [/mm] \ = \ ...$$
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:54 Do 29.10.2009 | | Autor: | monstre123 |
non comprendo
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:09 Do 29.10.2009 | | Autor: | monstre123 |
naja die seite ist wohl doch nicht so eine großartige Hilfe wie sie mir empfohlen wurde :-(
Schade eigentlich drum
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:12 Do 29.10.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo monstre!
Tja, wirklich schade ... denn Leuten, die ihre Fragen konkret ausformulieren und erläutern, wo genau es hängt, und auch auf gegebene Antworten eingehen, ist es wirklich ein tolle Seite.
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:15 Do 29.10.2009 | | Autor: | glie |
Also der letzte Hinweis von Loddar, dass es sich um ein Produkt und keine Summe handelt, der war doch sehr hilfreich. Verfolge doch die von Loddar vorgegebene Rechnung weiter.
Was genau willst du denn zeigen?
Das solltest du dir immer erstmal aufschreiben um zu sehen wo du mit deiner Rechnung eigentlich "hinwillst".
Gruß Glie
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