Vollständige Induktion < Induktion < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Man beweise, dass [mm] 9^{n}-1 [/mm] für alle n [mm] \in \IN [/mm] ,durch 8 teilbar ist. |
ich habe mir bei der Aufgabe überlegt, dass man beim Induktionsbeginn zeigen muss, dass die Aussage für den Anfangswert, n = 1 gelten muss.
[mm] 9^{1}-1=8 [/mm] 8/8=1 [mm] \mapsto [/mm] Annahme richtig.
Allerdings bereitet mir der Induktionsschluss Schwierigkeiten.
Man soll zeigen, dass die Annahme auch für alle (n+1) gilt.
Wie stelle ich jetzt eine Gleichung auf, mit der ich die Aussage bewiesen bekomme?
Bzw., wie sollte sowas aussehen?
Danke.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:39 Fr 02.05.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
Mach dir zwei Dinge klar :
1. Was heiß Teilbarkeit ?
2. Wovon kann ich ausgehe und wo will ich ankommen ?
[mm] "9^n-1 [/mm] ist durch 8 teilbar" bedeutet, dass es eine natürliche Zahl a gibt, so dass [mm] 9^n-1=8*a [/mm] ist.
Das weißt du und jetzt willst du nachweisen, dass [mm] 9^{n+1}-1 [/mm] auch durch 8 teilbar ist, also dass es eine natürliche Zahl b gibt, ...
Deine Aufgabe besteht also darin, den Term [mm] 9^{n+1}-1 [/mm] solange umzuformen, bis am Ende [mm] $=8\cdot{}b$ [/mm] dasteht mit einer natürlichen Zahl b.
Also legst du los :
[mm] 9^{n+1}-1=9*9^n-1=9*(8a+1)-1=...=8*(...)
[/mm]
Du schaffst es sicher, die Lücken auszufüllen.
Gruß Sax.
|
|
|
| |
|
Also war meine Annahme falsch, dass man schreiben muss:
[mm] \bruch{(9^{n}-1)}{8} [/mm] = ... zu schreiben. Daher auch meine Verzweiflung darüber, was ich hinter das "=" schreiben muss.
Aber eine Frage bleibt mir noch: Beim Induktionsschluss, sprich, an dem Punkt, wo ich die Annahme für (n+1) beweisen muss.
Muss ich schlicht für jeden "n" "(n+1)" einsetzen?
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Also war meine Annahme falsch, dass man schreiben muss:
> [mm]\bruch{(9^{n}-1)}{8}[/mm] = ... zu schreiben. Daher auch meine
> Verzweiflung darüber, was ich hinter das "=" schreiben
> muss.
>
> Aber eine Frage bleibt mir noch: Beim Induktionsschluss,
> sprich, an dem Punkt, wo ich die Annahme für (n+1)
> beweisen muss.
> Muss ich schlicht für jeden "n" "(n+1)" einsetzen?
So einfach ist es nicht, denn man möchte das ja erst zeigen. Da kommt es auch ein wenig darauf an, wie das Problem gelagert ist. Schlussendlich muss man immer zeigen, dass die Behauptung für n+1 gilt, und in diesem Beweis muss verwendet werden, dass sie eben für n gilt. Meine Version sieht hier so aus:
[mm] 9^{n+1}-1=9*9^n-1=(8+1)*9^n-1=8*9^n+9^n-1
[/mm]
Die beiden letzten Summanden sind die Induktionsvoraussetzung, der vordere enthält den Faktor 8, voila.
Ich habe hioer also den fraglichen Term einfach für n+1 aufgestellt, ein wenig umgeformt, so dass es klar ersichtlich wird, dass die Induktionsvoraussetzung jetzt verwendet wird, um zu zeigen, dass A(n+1) gilt.
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:56 Fr 02.05.2014 | | Autor: | Haloelite |
Ich werde es mir mal in aller Ruhe ansehen.
Danke für die Mühen. =)
Gruß
|
|
|
| |
|
Hallo,
ist denn hier explizit danach gefragt die Aussage mittels vollst. Ind. zu zeigen?
Es gibt viel schönere Beweise, z.B. über Modulo-Rechnung oder den binomischen Lehrsatz...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:33 Sa 03.05.2014 | | Autor: | Haloelite |
Ja, es ist gemeint "mittels vollständiger Induktion", aber was wäre denn der Unterschied zu den vorherigen Antworten?
Gruß
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:35 Sa 03.05.2014 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
> Ja, es ist gemeint "mittels vollständiger Induktion", aber
> was wäre denn der Unterschied zu den vorherigen
> Antworten?
ein Beispiel, wie es anders gehen kann, steht doch weiter unten in der Antwort von FRED. 
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:36 Sa 03.05.2014 | | Autor: | Haloelite |
Ehm okay, danke.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:09 Fr 02.05.2014 | | Autor: | fred97 |
Endliche geometrische Reihe:
[mm] \bruch{q^n-1}{q-1}=\summe_{i=1}^{n-1}q^i [/mm] (q [mm] \ne [/mm] 1)
FRED
|
|
|
|
