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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:56 Di 20.05.2014 | | Autor: | Hybris |
| Aufgabe | | [mm] \summe_{k=1}^{n}k^4=\bruch{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30} [/mm] |
Schönen guten Tag an alle!
Anstatt das Wetter zu genießen, übe ich weiter fleißig das Verfahren der vollständigen Induktion. Bei dieser Aufgabe komme ich leider nicht auf das erwartete Ergebnis.
Eventuell sieht jemand meinen Fehler:
Induktionsbehauptung: siehe oben.
Induktionsanfang: n=1 für die linke Seite gilt: [mm] 1^4=1 [/mm]
für die rechte Seite gilt: [mm] \bruch{1(1+1)(1+2)(3*1^2+3*1-1)}{30}=1
[/mm]
Induktionsvoraussetzung:
[mm] \summe_{k=1}^{n}k^4=\bruch{n(n+1)(n+2)(3n^2+3n-1)}{30}
[/mm]
Dies gilt für ein beliebiges aber ein festes n.
Induktionsschritt: n------>n+1
[mm] \summe_{k=1}^{n+1}k^4= \summe_{k=1}^{n} k^4+ \summe_{k=n+1}^{n+1} k^4
[/mm]
nun soll gezeigt werden, dass [mm] \bruch{n(n+1)(n+2)(3n^2+3n-1)}{30} [/mm] + [mm] (n+1)^4 [/mm] = [mm] \bruch{(n+1)(n+2)(2n+3)(3(n+1)^2 + 3n +2}{30}
[/mm]
Ist es soweit in ordnung?
Gruß Serg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:04 Di 20.05.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Serg,
> [mm]\summe_{k=1}^{n}k^4=\bruch{n(n+1)(n+2)(3n^2+3n-1)}{30}[/mm]
> Schönen guten Tag an alle!
>
> Anstatt das Wetter zu genießen, übe ich weiter fleißig
> das Verfahren der vollständigen Induktion. Bei dieser
> Aufgabe komme ich leider nicht auf das erwartete Ergebnis.
>
> Eventuell sieht jemand meinen Fehler:
>
> Induktionsbehauptung: siehe oben.
>
> Induktionsanfang: n=1 für die linke Seite gilt: [mm]1^4=1[/mm]
> für die rechte Seite gilt:
> [mm]\bruch{1(1+1)(1+2)(3*1^2+3*1-1)}{30}=1[/mm]
>
> Induktionsvoraussetzung:
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n}k^4=\bruch{n(n+1)(n+2)(3n^2+3n-1)}{30}[/mm]
> Dies gilt für ein beliebiges aber ein festes n.
>
>
>
> Induktionsschritt: n------>n+1
> [mm]\summe_{k=1}^{n+1}k^4= \summe_{k=1}^{n} k^4+ \summe_{k=n+1}^{n+1} k^4[/mm]
>
> nun soll gezeigt werden, dass
> [mm]\bruch{n(n+1)(n+2)(3n^2+3n-1)}{30}[/mm] + [mm](n+1)^4[/mm] =
> [mm]\bruch{(n+1)(n+2)(2n+3)(3(n+1)^2 + 3n +2}{30}[/mm]
Die rechte Seite stimmt nicht. Überall musst du dort n mit n+1 ersetzen.
> Ist es soweit in ordnung?
Sonst alles soweit in Ordnung, aber du hast noch nicht richtig angefangen. 
Gruß
DieAcht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:10 Di 20.05.2014 | | Autor: | Hybris |
Halli Dieacht.
Danke für deine Teilnahme :)
auf der rechten Seite habe ich schon paar kleinigkeiten zusammengefasst. Sonst würde es folgendermaßen aussehen:
[mm] \bruch{(n+1)(n+1+1)(2(n+1)+1)(3(n+1)^2+3(n+1)-1)}{30}=\bruch{(n+1)(n+2)(2n+3)(3(n+1)^2+3n+2}{30}
[/mm]
also das was ich zeigen muss.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:15 Di 20.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> Halli Dieacht.
> Danke für deine Teilnahme :)
>
> auf der rechten Seite habe ich schon paar kleinigkeiten
> zusammengefasst. Sonst würde es folgendermaßen aussehen:
>
> [mm]\bruch{(n+1)(n+1+1)(2(n+1)+1)(3(n+1)^2+3(n+1)-1)}{30}=\bruch{(n+1)(n+2)(2n+3)(3(n+1)^2+3n+2}{30}[/mm]
Ja so sieht die rechte Seite für n+1 aus.
Allerdings hast Du die Aufgabenstellung falsch abgeschrieben ! Du schreibst oben:
$ [mm] \summe_{k=1}^{n}k^4=\bruch{n(n+1)(n+2)(3n^2+3n-1)}{30} [/mm] $
Richtig lautet das aber so:
$ [mm] \summe_{k=1}^{n}k^4=\bruch{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30} [/mm] $
FRED
>
> also das was ich zeigen muss.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:22 Di 20.05.2014 | | Autor: | Hybris |
Danke! Entschuldigung bei so vielen Sonderzeichen komme ich leicht durcheinander.
meine Lösung zu dieser Aufgabe poste ich gleich.
Gruß Serg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:57 Di 20.05.2014 | | Autor: | Hybris |
Hallo Leute. Hier meine Fortsetzung zum
[mm] \bruch{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30} [/mm] + [mm] (n+1)^4= \bruch{(n+1)(n+2)(2n+3)(3(n+1)^2+3n+2)}{30}
[/mm]
Bei meiner Rechnung versuche ich unten gleich den Induktionsschritt hinzuschreiben und mich dann jeweils von oben und unten in die Mitte der Gleichung ranzutasten.
daraus folgt also:
zurück zum Induktionsschritt: = [mm] \bruch{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30} [/mm] + [mm] (n+1)^4
[/mm]
[mm] =\bruch{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)+30*(n+1)^4}{30}
[/mm]
[mm] =\bruch{(n+1)n(2n+1)(3n^2+3n-1)+30((n+1)^2(n^2+2n+1))}{30}
[/mm]
[mm] =\bruch{(n+1)(2n+n)(3n^2+3n-1)+30((n+1)^2(n^2+2n+1)}{30}
[/mm]
=
[mm] =\bruch{33n^4+138n^3+190n^2+119n+30}{30}
[/mm]
[mm] =\bruch{33n^4+99n^3+55n^2+39n^3+117n^2+65n+18n^2+54n+30}{30}
[/mm]
[mm] =\bruch{(11n^2+13n+6)(3n^2+9n+5)}{30}
[/mm]
[mm] =\bruch{(2n^2+3n^2+4n^2+6n+2n^2+3n+4n+6)((3n^2+6n+3)+3n+2)}{30}
[/mm]
[mm] =\bruch{(n^2+2n+n+2)(2n+3)(3(n^2+2n+1)+3n+3n+2)}{30}
[/mm]
[mm] =\bruch{(n+1)(n+2)(2n+3)(3(n+1)^2+3n+2)}{30}
[/mm]
Bevor ich weitermache, was sagt ihr dazu Leute?
Gruß Serg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:24 Di 20.05.2014 | | Autor: | DieAcht |
Mit dem ersten Schritt erreichen wir jeweils zwei Brüche, die
den gleichen Nenner besitzen. Aus diesem Grund genügt die Be-
trachtung der Zähler, sodass wir weniger schreiben müssen.
Zu zeigen ist demnach
[mm] n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)+30(n+1)^4=\ldots=(n+1)(n+2)(2n+3)(3(n+1)^2+3n+2).
[/mm]
Das du ein Fehler gemacht hast sollte dir sofort am Grad
des Polynom auffallen. Du hast ein Polynom vierten Grades,
aber eigentlich sollte ein Polynom fünften Grades rauskom-
men (Wieso?). Wir machen es mal anders: Ich gebe dir das
Polynom vor und du rechnest nochmal in Ruhe. Am Ende kannst
du natürlich zur Verfeinerung alles schöner aufschreiben.
[mm] 6n^5+45n^4+130n^3+180n^2+119n+30.
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:33 Mi 21.05.2014 | | Autor: | Hybris |
Schönen guten und sonnigen Tag :)
Danke Dieacht, nach 10 vollgeschriebenen Blättern stimmt die Aussag überein. Wahnsinn, die ganze Zeit das Problem in einer einzigen Variablen gewesen, was ich mitgeschleppt habe........
Vielen lieben Dank für eure Unterstützung!
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