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| Aufgabe | [mm] \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{i(i+1)} = 1- \frac{1}{n+1}[/mm]<br>
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Ich bin auf einem guten Weg,
habe nur ein Problem mit einem Bruch - wie schaffe ich es aus:
[mm] \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{i(i+1)} + \frac{1}{(n+1)(n+2)}[/mm]
die Eins nach vorne zu ziehen zu:
[mm] \sum_{i=1}^{n+1} [/mm]= [mm]1- \frac{1}{n+1}+ \frac{1}{(n+1)(n+2)}[/mm]
ich brauche nur Hilfe bei der Umformung - vielen Danke 
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:28 So 22.03.2015 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> [mm]\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{i(i+1)} = 1- \frac{1}{n+1}[/mm]<br>
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> Ich bin auf einem guten Weg,
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> habe nur ein Problem mit einem Bruch - wie schaffe ich es
> aus:
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> [mm]\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{i(i+1)} + \frac{1}{(n+1)(n+2)}[/mm]
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> die Eins nach vorne zu ziehen zu:
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> [mm]\sum_{i=1}^{n+1} [/mm]= [mm]1- \frac{1}{n+1}+ \frac{1}{(n+1)(n+2)}[/mm]
>
> ich brauche nur Hilfe bei der Umformung - vielen Danke
Du hast ja:
[mm] \sum_{i=1}^{n+1}\frac{1}{i(i+1)}
[/mm]
[mm] =\left(\sum_{i=1}^{n+1}\frac{1}{i(i+1)}\right)+\frac{1}{(n+1)(n+2)}
[/mm]
[mm] =1-\frac{1}{n+1}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}
[/mm]
Erweitere nun [mm] \frac{1}{n+1} [/mm] mit n+2 und fasse die letzten Brüche zusammen, das ist nur ein bisschen Bruchrechnung.
Am Ende musst du auf
[mm] 1-\frac{1}{n+2}=1-\frac{1}{(n+1)+1} [/mm] kommen
Marius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:36 So 22.03.2015 | | Autor: | headbanger |
danke :) vor lauter zahlen die rechnung nimmer gesehen ;)
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@die Acht: Das Thema ist hier einfach die vollst. Induktion...
noch eine kleine Frage -
dass ich den Bruch dann mit (n+2) erweitern muss um die Brüche addieren zu können ist mir jetzt klar - aber ein Problem habe ich.
ich verstehe nicht, wieso im zusammengefassten Bruch das Minus im Zählersteht... [mm]1 - \frac{(n+2) - 1}{(n+1)(n+2)}[/mm] also laut Lösung aber die soll ja in meinen Kopf (er soll es verstehen, nicht nur zur Kenntnis nehmen )
dieser Bruch entsteht aus:
[mm]1 - \frac{(1}{(n+1)} + \frac{1}{(n+1)(n+2)}[/mm] da ist doch ein Plus dazwischen... -.-
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:14 Mo 23.03.2015 | | Autor: | leduart |
Hallo
wegen des - vor dem Bruchstrich!
Gruss leduart
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<br>heißt dass wenn ich zwei Brüche addiere, von denen vor einem ein Minus steht ist automatisch der Zähler auch negativ? ich lasse doch das Minus davor stehen?
danke für die Antworten!
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Hallo,
es ist
$ 1 - [mm] \frac{1}{(n+1)} [/mm] + [mm] \frac{1}{(n+1)(n+2)} [/mm] $
=$ 1 - [mm] \frac{1*(n+2)}{(n+1)(n+2)} [/mm] + [mm] \frac{1}{(n+1)(n+2)} [/mm] $
=$ 1 + [mm] \frac{-1*(n+2)}{(n+1)(n+2)} [/mm] + [mm] \frac{1}{(n+1)(n+2)} [/mm] $
=$ 1 + [mm] \frac{-(n+2)+1}{(n+1)(n+2)} [/mm] $
=$ 1 + [mm] \frac{-[(n+2)-1]}{(n+1)(n+2)} [/mm] $
=$ 1 - [mm] \frac{(n+2)-1}{(n+1)(n+2)} [/mm] $
LG Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:59 Di 24.03.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
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> es ist
>
> [mm]1 - \frac{1}{(n+1)} + \frac{1}{(n+1)(n+2)}[/mm]
>
> =[mm] 1 - \frac{1*(n+2)}{(n+1)(n+2)} + \frac{1}{(n+1)(n+2)}[/mm]
>
> =[mm] 1 + \frac{-1*(n+2)}{(n+1)(n+2)} + \frac{1}{(n+1)(n+2)}[/mm]
>
> =[mm] 1 + \frac{-(n+2)+1}{(n+1)(n+2)}[/mm]
>
> =[mm] 1 + \frac{-[(n+2)-1]}{(n+1)(n+2)}[/mm]
>
> =[mm] 1 - \frac{(n+2)-1}{(n+1)(n+2)}[/mm]
@headbanger:
[mm] $...=1-\frac{\red{(n+1)}}{\red{(n+1)}(n+2)}=...$
[/mm]
Nebenbei: [mm] $-\frac{a}{b}=\frac{-a}{b}$ [/mm] oder auch [mm] $-\frac{a}{b}=\frac{a}{-b}$
[/mm]
Ist bspw. etwa [mm] $a=x+y\,$
[/mm]
[mm] $-\frac{a}{b}=\frac{-a}{b}=\frac{-(x+y)}{b}=\frac{-x-y}{b}$
[/mm]
oder ist bspw. etwa [mm] $b=r+s\,$
[/mm]
[mm] $-\frac{a}{b}=\frac{a}{-b}=\frac{a}{-(r+s)}=\frac{a}{-r-s}$
[/mm]
Denke halt dran: Bspw. ist mit [mm] $u=3+7=10\,$ [/mm] dann
[mm] $-\blue{u}=-\blue{(3+7)}=-10=-3-7$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:52 Di 24.03.2015 | | Autor: | headbanger |
vielen dank für eure mühe!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:21 So 22.03.2015 | | Autor: | DieAcht |
Hallo headbanger!
Musst du die Aufgabe unbedingt mit vollständiger Induktion lösen?
Mit Partialbruchzerlegung ist die Aufgabe nämlich schnell gelöst.
(Stichwort: Teleskopsumme.)
Gruß
DieAcht
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:48 Di 24.03.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [mm]\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{i(i+1)} = 1- \frac{1}{n+1}[/mm]
die Aufgabe ist ja gelöst, ich zeige Dir aber dennoch einen Weg, den man
auch gehen kann - quasi Induktion mal etwas anders aufgeschrieben.
[mm] $\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{i(i+1)} [/mm] = 1- [mm] \frac{1}{n+1}$
[/mm]
Dass die Gleichung für [mm] $n=0\,$ [/mm] (oder [mm] $n=1\,$) [/mm] wahr ist, ist klar.
Induktionsschritt: Wir nehmen an
I.A. [mm] $\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{i(i+1)} [/mm] = 1- [mm] \frac{1}{n+1}$ [/mm] gilt für (ein) $n [mm] \in \IN_0$ [/mm] (oder [mm] $n\,$).
[/mm]
Wo wollen wir hin?
[mm] $\sum_{i=1}^{n+1} \frac{1}{i(i+1)} \stackrel{!}{=} [/mm] 1- [mm] \frac{1}{(n+1)+1}$
[/mm]
Wir formen die Gleichung, zu der wir hinwollen, unter Verwendung der I.A.
äquivalent um:
[mm] $\sum_{i=1}^{n+1} \frac{1}{i(i+1)} [/mm] = 1- [mm] \frac{1}{(n+1)+1}$
[/mm]
[mm] $\iff$ $\left(\sum_{i=1}^n \frac{1}{i(i+1)}\right)+\frac{1}{(n+1)(n+2)}=1-\frac{1}{n+2}$
[/mm]
[mm] $\stackrel{\text{I.A.}}{\iff}$ $1-\frac{1}{n+1}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}=1-\frac{1}{n+2}$
[/mm]
Der Induktionsbeweis ist also fertig, wenn man oben die [mm] $\Leftarrow$'s [/mm] benutzt und zudem
noch
[mm] $1-\frac{1}{n+1}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}=1-\frac{1}{n+2}$
[/mm]
bewiesen bekommt. Ich rechne es nun nicht vor, sondern ich sage Dir: Im
Kopf kann man nachrechnen, dass rechterhand $(n+1)/(n+2)$ steht; und linkerhand
steht [mm] $(n*(n+2)+1)/((n+1)*(n+2))\,$. [/mm] Da sieht man beim letzten Bruch die erste binomische
Formel im Zähler und stellt fest, dass das das Gleiche ist!
(Es gibt auch andere Rechenwege: So kann man auch weiterrechnen und bei
$... [mm] \iff \frac{1}{n+2}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}=\frac{1}{n+1}$
[/mm]
die letzte Gleichheit begründen!)
Gruß,
Marcel
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