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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:04 Fr 10.11.2017 | | Autor: | Flowbro |
| Aufgabe | a
Sei m ∈N beliebig. Finden Sie eine geschlossen Darstellung für [mm] \summe_{j=1}^{n} [/mm] j(j + 1)(j + 2)...(j + m−1). Beweisen Sie Ihre Vermutung!
b
Sei (K,+,·,<) ein geordneter Körper. Für x,y ∈K gilt 4xy ≤ (x + [mm] y)^2 [/mm] |
brauch noch hilfe bei rest von meinen aufgaben
bei a find ich irgendwie einfach keine darstellung (wenn man die hat kann man die ja mit v. induktion beweisen) und bei b hab ich den induktionanfang, weiß aber nich wie es weiter geht da man ja eigentlich dann n+1 einsetzt was aber nich da ist
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> a
> Sei m ∈N beliebig. Finden Sie eine geschlossen
> Darstellung für [mm]\summe_{j=1}^{n}[/mm] j(j + 1)(j + 2)...(j +
> m−1). Beweisen Sie Ihre Vermutung!
> b
> Sei (K,+,·,<) ein geordneter Körper. Für x,y ∈K gilt
> 4xy ≤ (x + [mm]y)^2[/mm]
> brauch noch hilfe bei rest von meinen aufgaben
> bei a find ich irgendwie einfach keine darstellung (wenn
> man die hat kann man die ja mit v. induktion beweisen) und
> bei b hab ich den induktionanfang, weiß aber nich wie es
> weiter geht da man ja eigentlich dann n+1 einsetzt was
> aber nich da ist
Hallo,
poste in Zukunft Aufgaben, die nicht zusammengehören, lieber in verschiedene Threads.
a.
[mm] \summe_{j=1}^{n} [/mm] j(j + 1)(j + 2)...(j + [mm] m−1)=\bruch{(m+n)!}{(m+1)(n-1)!}
[/mm]
b.
Das ist nichts für Induktion.
Rechne vor, daß für alle x,y gilt [mm] (x+y)^2-4xy\ge [/mm] 0.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:48 Sa 11.11.2017 | | Autor: | Tobikall |
oh ja die b geht ja super easy dann mit termumformungen :).
könntest du mir noch bei der a etwas erläutern wie du auf das ergebnis kommst und wie genau dabei der beweisansatz lautet, das wäre sehr nett :)))
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> könntest du mir noch bei der a etwas erläutern wie du
> auf das ergebnis kommst
Eingebung. Vom Engel geflüstert. Zur Sicherheit nochmal meinen Kater gefragt -
es ist völlig egal! Entscheidend ist, daß man seine Vermutung beweist.
[Naja, auch wenn es mich in einem schlechten Licht dastehen läßt:
ich habe ein Mathematikprogramm für mich arbeiten lassen...]
> und wie genau dabei der
> beweisansatz lautet, das wäre sehr nett :)))
Sei [mm] m\in \IN [/mm] beliebig.
Behauptung:
für alle [mm] n\in \IN [/mm] gilt
[mm] \summe_{j=1}^nj*(j+1)(j+2)*...*(j+m-1)=\bruch{(m+n)!}{(m+1)(n-1)!} [/mm]
Induktionsanfang:
für n=1 hat man
[mm] \summe_{j=1}^1j*(j+1)(j+2)*...*(j+m-1)=1*2*3*...*m=m!
[/mm]
und
[mm] \bruch{(m+1)!}{(m+1)(1-1)!}=...
[/mm]
Die Behauptung stimmt also für n=1.
Induktionsvoraussetzung:
für ein [mm] n\in \IN [/mm] ist
[mm] \summe_{j=1}^nj*(j+1)(j+2)*...*(j+m-1)=\bruch{(m+n)!}{(m+1)(n-1)!} [/mm]
Induktionsschluß:
hier ist nun vorzurechnen, daß die Behauptung unter der gemacten Voraussetzung auch für die nächste natürliche Zahl, also für n+1, gilt,
daß also
[mm] \summe_{j=1}^{n+1}j*(j+1)(j+2)*...*(j+m-1)=\bruch{(m+n+1)!}{(m+1)(n!} [/mm] .
[mm] \summe_{j=1}^{n+1}j*(j+1)(j+2)*...*(j+m-1)
[/mm]
[mm] =(\summe_{j=1}^n...)+...
[/mm]
=... ... ... ... ...
[mm] =\bruch{(m+n+1)!}{(m+1)(n!}
[/mm]
LG Angela
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