Vollständige Induktion < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:34 Mi 17.01.2018 | | Autor: | LeFlair |
| Aufgabe | Zeigen Sie:
[mm] \summe_{i=0}^{n} \pmat{ i + k-1 \\ k - 1 } [/mm] = [mm] \pmat{ n + k \\ k } [/mm] k,n [mm] \in \IN [/mm] |
i) Induktionsanfang:
[mm] \summe_{i=0}^{0} \pmat{0 + k-1 \\ k - 1 } [/mm] = [mm] \pmat{ 0 + k \\ k }
[/mm]
ist das richtig das für k keine 0 eingesetzt wird?
=
(0+k-1)! / [(0+k-1)!-(k-1)!] [mm] \* [/mm] (k-1)! = (0+k)! / [(0+k)!-k!] [mm] \* [/mm] k!
Ist das bis hier ohne Denkfehler? Ich trau mich nicht weiter zu machen, da ich das Gefühl habe Ich geh die Sache falsch an
Lieben Gruß
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
> Zeigen Sie:
> [mm]\summe_{i=0}^{n} \pmat{ i + k-1 \\ k - 1 }[/mm] = [mm]\pmat{ n + k \\ k }[/mm]
> k,n [mm]\in \IN[/mm]
> i) Induktionsanfang:
>
> [mm]\summe_{i=0}^{0} \pmat{0 + k-1 \\ k - 1 }[/mm] = [mm]\pmat{ 0 + k \\ k }[/mm]
>
Das ist ein wenig knapp, aber richtig. Die Langversion wäre:
[mm] \sum_{i=0}^{0}{i+k-1 \choose k-1}={0+k-1 \choose k-1}={k-1 \choose k-1}=1={k \choose k}={0+k \choose k}\qquad\square [/mm]
> ist das richtig das für k keine 0 eingesetzt wird?
Ja. Die Laufvariable ist ja i, und es gibt hier nur einen Summanden, nämlich den für i=0.
> =
> (0+k-1)! / [(0+k-1)!-(k-1)!] [mm]\*[/mm] (k-1)! = (0+k)! /
> [(0+k)!-k!] [mm]\*[/mm] k!
Das hier kann man nicht verstehen, aber ich denke, es war ein Holzweg.
> Ist das bis hier ohne Denkfehler?
Der Induktionsanfang mit n=0 war schon die richtige Idee.
> Ich trau mich nicht
> weiter zu machen, da ich das Gefühl habe Ich geh die Sache
> falsch an
Nun, da hilft alles nix. Jetzt fängt der Spaß ja erst an! 
Für den Induktionsschluss n->n+1 musst du jetzt als obere Grenze für den Summationsindex n+1 setzen. Das ist erst einmal nicht schwierig, denn da setzt du rechts für n ebenfalls n+1 ein. Um jetzt die Induktionsvoraussetzung (also die zu beweisende Summe) ins Spiel zu bringen, musst du die Identität
[mm]{n \choose k}+{n \choose k+1}={n+1 \choose k+1}[/mm]
geschickt anwenden, damit am Ende bewiesen ist, dass
[mm] \sum_{i=0}^{n+1}{i+k-1 \choose k-1}=\sum_{i=0}^{n}{i+k-1 \choose k-1}+{n+1+k-1 \choose k-1}=\sum_{i=0}^{n}{i+k-1 \choose k-1}+{n+k \choose k-1} [/mm]
gilt.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:00 Do 18.01.2018 | | Autor: | LeFlair |
| Aufgabe | | [mm] \pmat{ 0 + k -1 \\ k - 1 } [/mm] |
nur zum Verständnis, im nächsten Schritt haben sie bereits [mm] \vektor{k-1 \\ k-1}
[/mm]
stehen.
Theoretisch könnte ich doch Folgenden Zwischenschritt noch machen!? :
Bruch:
Zähler : 1 + k! -1
Nenner: [mm] k!-1\*(1+k!-1-k!+1)
[/mm]
welches dann zu k! / k! führt, was gleich 1 ist!?
oder wieder ein Holzweg?
Gruß LeFlair> Hallo,
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Hallo,
> nur zum Verständnis, im
> nächsten Schritt haben sie bereits [mm]\vektor{k-1 \\ k-1}[/mm]
>
> stehen.
> Theoretisch könnte ich doch Folgenden Zwischenschritt noch
> machen!? :
> Bruch:
> Zähler : 1 + k! -1
> Nenner: [mm]k!-1\*(1+k!-1-k!+1)[/mm]
> welches dann zu k! / k! führt, was gleich 1 ist!?
> oder wieder ein Holzweg?
auch hier erschließt sich mir nicht wirklich, was du machst.
Der 'Holzweg' besteht schon darin, dass du offensichtlich der Meinung bist, die Definition des Binomialkoeffizienten
[mm]{n \choose k}= \frac{n!}{k!*(n-k)!}[/mm]
zu benötigen. Für den Induktionsanfang benötigt man diese Definition nicht. Und für den weiteren Beweis, also für den Induktionsschluss auch nicht (wenn die von mir oben angebene Identität schon eingeführt bzw. bewiesen ist, wovon an dieser Stelle ausgegangen werden kann).
Mache also irgendetwas zwischen deiner 'knappen Version' und meiner 'Langversion'.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:22 Do 18.01.2018 | | Autor: | LeFlair |
> Der 'Holzweg' besteht schon darin, dass du offensichtlich
> der Meinung bist, die Definition des Binomialkoeffizienten
Ich denke genau das war mein Fehler!
Links:
[mm] \summe_{i=}^{n+1} \pmat{ i + k - 1 \\ k - 1 } [/mm] =
[mm] \summe_{i=0}^{n} \pmat{ i + k - 1 \\ k - 1 } [/mm] + [mm] \pmat{ n + 1 + k - 1 \\ k - 1 } [/mm] = [mm] \pmat{ n + k \\ k } [/mm] + [mm] \pmat{ n + k \\ k - 1 }
[/mm]
= [mm] \pmat{ n + 1 + k \\ k }
[/mm]
Rechts:
[mm] \pmat{ n + 1 + k \\ k } \Box
[/mm]
Richtig?
Ich Danke dir schonmal!
LG LeFlair
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:39 Do 18.01.2018 | | Autor: | sven1 |
Ich habe in verschiedenen Studiengänge [mm] $\IN$ [/mm] anders definiert gesehen, aber in der Regel sollte [mm] $\IN [/mm] := [mm] \{1, 2, \ldots \}$ [/mm] ab 1 erst anfangen. Daher schreiben die meisten [mm] $\IN_0 [/mm] := [mm] \{0, 1, ,2, \ldots \}$.
[/mm]
Dafür spricht außerdem noch, dass viele den Binomialkoeffizient ohne negative Zahlen definiert haben. Würde $k [mm] \in \IN_0$ [/mm] sein, dann könntest du einen negativen Binomialkoeffizient haben, möglicherweise habt ihr das nicht so definiert.
Dazu müsstest du in deinen Unterlagen mal nachschauen wie ihr [mm] $\IN$ [/mm] definiert habt.
Ich würde ab $1$ anfangen, also $k = 1$ oder $n=1$, je nachdem nach welcher Variablen du die Induktion durchführen möchtest.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:45 Do 18.01.2018 | | Autor: | Diophant |
Hallo sven1,
> Ich habe in verschiedenen Studiengänge [mm]\IN[/mm] anders
> definiert gesehen, aber in der Regel sollte [mm]\IN := \{1, 2, \ldots \}[/mm]
> ab 1 erst anfangen. Daher schreiben die meisten [mm]\IN_0 := \{0, 1, ,2, \ldots \}[/mm].
>
Nein, in der Mathematik wird das uneinheitlich gehandhabt, da gibt es auch innerhalb der Fachgebiete unterschiedliche Geschmäcker. In Algebra und Zahlentheorie bspw. würde ich dir Recht geben, aber im Zusammenhang mit Fakultät&Binomialkoeffizient ist es schon üblich, dass die Null zu den natürlichen zahlen gehört.
> Dafür spricht außerdem noch, dass viele den
> Binomialkoeffizient ohne negative Zahlen definiert haben.
> Würde [mm]k \in \IN_0[/mm] sein, dann könntest du einen negativen
> Binomialkoeffizient haben, möglicherweise habt ihr das
> nicht so definiert.
> Dazu müsstest du in deinen Unterlagen mal nachschauen wie
> ihr [mm]\IN[/mm] definiert habt.
>
Ja, da ist die Aufgabenstellung halt etwas verunglückt, da hätte man noch [mm] k\ge{1} [/mm] zusätzlich fordern müssen.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:53 Do 18.01.2018 | | Autor: | sven1 |
Achso, ich muss sagen, dass ich in meinem Bachelor und anschließend im Master in Mathematik fast nur in der Algebra/Zahlentheorie Zuhause war, deswegen war die Notation ohne die $0$ üblicher bzw. fast immer gebräuchlich. Ich habe jedoch auch Informatik studiert und da ist die Notation mit der $0$ üblicher. Mich hat es immer genervt, dass irgendwie kein gemeinsamer Konsens herrscht, aber persönlich finde ich die Notation ohne die $0$ auch schöner und praktischer.
Ich hatte die Mitteilung nur gemacht, damit er das zur Sicherheit nachprüft wie es bei ihnen definiert ist. :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:01 Do 18.01.2018 | | Autor: | Diophant |
Hallo nochmals,
danke für deinen Hinweis! Es hat sich ja herausgestellt, dass er berechtigt war.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:50 Do 18.01.2018 | | Autor: | LeFlair |
Unser Prof Definiert [mm] \IN [/mm] := [mm] \{1,2,3...\} [/mm] also ohne die 0.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:56 Do 18.01.2018 | | Autor: | sven1 |
Dann kannst du die Lösung beibehalten, nur sollte im Induktionsschritt das ganze bei $1$ anstelle von $0$ anfangen.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:59 Do 18.01.2018 | | Autor: | Diophant |
Hallo LeFlair,
> Unser Prof Definiert [mm]\IN[/mm] := [mm]\{1,2,3...\}[/mm] also ohne die 0.
Ok. Dann lag ich falsch und liefere hiermit den Induktionsanfang für n=1 noch nach:
[mm]\begin{aligned}
\sum_{i=0}^{1}{i+k-1 \choose k-1}&={k-1 \choose k-1}+{k \choose k-1}\\
&={k \choose k}+{k \choose k-1}\\
&={1+k \choose k}
\end{aligned} [/mm]
Gruß, Diophant
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