Vollständige Induktion < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:18 So 23.07.2006 | | Autor: | M.Rex |
> Entspricht sozugen der Frage  !
> Hallo Leute!!!
> ...und einen wunderschönen Gruß aus dem vieeeeeel zu
> heißen Paderborner - Land...
>
> So, nu aber zu dieser Sache.... die starke Langeweile in
> den Ferien beheben soll![[prost]](/images/smileys/prost.gif "[prost]") !
> Ich denke viele kennen die "Mathematik-Seiten" von Herrn
> Brünner!
> Auf
> ![[]](/images/popup.gif) dieser
> (ein bisschen runterscrollen...![[buchlesen]](/images/smileys/buchlesen.gif "[buchlesen]") )Seite von ihm
> geht es um einen Beweis durch vollständige Induktion.
> Eigentlich ganz nett und in gewohnter Perfektion![[anbet]](/images/smileys/anbet.gif "[anbet]") ;
> naja, vielleicht ein bisschen übertrieben.... .
> Auf jeden Fall endet Herr Brünners Beweis für die
> Summenformel so:
> "...Damit impliziert die Richtigkeit von
> [mm]S(n)[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise
> auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung
> gefunden (siehe rote Markierung)
>
> die Richtigkeit von \blue{[mm]S(n+1)[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}"
> müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil
> ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> }, womit die Aussage für alle natürlichen Zahlen [mm]n\ge1[/mm]
> bewiesen ist."
> Die blaue Schrift habe ich der Erkenntlichkeit wegen
> edditiert.
>
> Und jetzt: Würde es nicht mehr Sinn in dieser Reihenfolge
> machen?
> "...Damit impliziert die Richtigkeit von [mm]\red{S(n+1)}[/mm] die
> Richtigkeit von [mm]\red{S(n)}[/mm], womit die Aussage für alle
> natürlichen Zahlen [mm]n\ge1[/mm] bewiesen ist."
>
> Habe ich Recht oder Herr Brünner![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]") ?
>
Hallo aus Bielefeld in die nähere Umgebung
Zut mir leid, aber Herr Brünner hat Recht.
Der Induktionsbeweis zeigt allgemein.
Wenn eine Aussage (Formel) für eine natürliche Zahl n (es geht übrigens auch mit bestimmten anderen Mengen, sog. Indexmengen) richtig ist, ist sie auch für seinen Nachfolger n+1 richtig.
Jetzt zeist du also, dass die Aussage für ein N richtig ist.
Im nächsten Schritt nimmst du an, dass die Formel für ein n gelte und zeigst dann, dass sie dann auch für n+1 gelten muss.
Jetzt, da du für einen Startwert N die Aussage gezeigt hast, gilt sie auch für N+1, damit auch für (N+1)+1 = N+2 undsoweiter....
>
> Mit den besten (Hoch-Sommer-) Grüßen
>
> Goldener Schnitt
Gruss aus Bielefeld
Marius
Ach ja: Schau, wenn du einen Eintrag im Forum schreibst, ob evtl. Fehler auftauchen, du hast oben irgendwo eine Klammer vergessen.
An Besten, einmal die Vorschau aufrufen, bevor du endgültig postest.
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| Aufgabe | | (Bezieht sich abermals exakt auf die Frage!) |
Hallo Marius!..und natürlich allen anderen auch einen schönen Tag!
Entschuldige erstmal, das ich erst soo spät antworte; ich hab´s verpennt![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]") !
So, jetzt aber zu einer Antwort: Das klingt ja dann doch ganz logisch:
Wenn man die Aussage schon für [mm]n_0[/mm] bewiesen hat und [mm]S(n+1)[/mm] korrekt ist, so implemenziert das wirklich die Korrektheit der Aussage.
Aber jetzt mal eine neue Frage!
Die Gewissheit, dass diese Beweistechnik wirklich ohne "Wenn oder Aber" korrekt ist, scheint, so meine ich herausgefunden zu haben, direkt auf einem der Axiome zu basieren.
So soll besonders eines der Piano-Axiome direkt dies begründen:
Ist [mm]T[/mm] eine Teilmenge der natürlichen Zahlen [mm]N[/mm] und liegt [mm]1[/mm] (eventuell auch [mm]0[/mm]) in dieser Menge und liegt jeder Nachfolger eines Elements [mm]n[/mm] dieser Menge [mm]n+1[/mm] auch in der Menge, so ist die Teilmenge [mm]T[/mm] sie identisch mit der Menge der natürlichen Zahlen [mm]N[/mm].
So jetzt versuche ich mal mit meinem Wissen über vollständige Induktion die Summenformel für natürlich Zahlen zu beweisen.
Beweisanfang![[hot]](/images/smileys/hot.gif "[hot]") !
[mm]1+2+3+4...+n=\left \bruch{n*(n+1)}{2} \right=A(n)[/mm] [mm]n\in\IN[/mm]
So, jetzt zeige ich die Aussgage für das kleinste [mm]n[/mm], [mm]n_0[/mm].
Gleichzeitig sein dann: [mm]k\ge n_0[/mm] [mm]k\in T[/mm] [mm]T\subseteq\IN[/mm]
[mm]A(n_0)=A(1)=\left \bruch{1*(2)}{2} \right=1[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Induktionsvorraussetzung ist korrekt und damit gegben.
Dabei folgt doch aus [mm]k\ge n_0[/mm], das [mm]T[/mm] [mm]1[/mm] enthält.
Nun werde ich zeigen, dass es zu diesem kleisten "[mm]k_0=n_0=1[/mm]" jeweils einen Nachfolger gibt, der korrekt, und das aus diesem folgt, dass es immer einen weiteren gibt, der korrekt ist.
Dazu muss [mm]A(k)+k+1=A(k+1)[/mm] wahr sein:
[mm]A(k+1)=\left \bruch{(k+1)*((k+1)+1)}{2} \right=\left \bruch{(k+1)*(k+2)}{2} \right=\left \bruch{k^2+2k+k+2}{2} \right=\left \bruch{k^2+3k+2}{2} \right[/mm]
[mm]A(k)+k+1=\left \bruch{k*(k+1)}{2} \right+k+1=\left \bruch{k^2+k}{2} \right+\left \bruch{2k+2}{2} \right=\left \bruch{k^2+2+2k+k}{2} \right=\left \bruch{k^2+3k+2}{2} \right[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Induktionsbehauptung ist korrekt und damit gegben.
Die Korrektheit der Aussage [mm]A(k+1)[/mm] und [mm]k_0=1[/mm] mit [mm]k\in T[/mm] implemimenziert nach einem der Piano-Axiome dann, das [mm]T=N[/mm], also das die Teilmenge identlisch mit der Menge der Natülrichen Zahlen ist, wonach dann die Richtigkeit von:
[mm]1+2+3+4...+n=\left \bruch{n*(n+1)}{2} \right=A(n)[/mm] mit [mm]n\in\IN[/mm] unmissverständlich gefolgert werden kann.
Beweisende!
So, jetzt meine Frage: Ist das so im großen und ganzen korrekt; ein kleiner Denkfelher und alles ist falsch?
Schon mal DANKE an euch, auch für die schon gegbene Antwort!
Ahhh...man kann ja das "Ablaufdatum" eines Artikels ändern....
Mit den besten Grüßen
Goldener Schnitt
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:16 Mi 26.07.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Hallo Marius!..und natürlich allen anderen auch einen
> schönen Tag!
>
> Entschuldige erstmal, das ich erst soo spät antworte; ich
> hab´s verpennt!
>
> So, jetzt aber zu einer Antwort: Das klingt ja dann doch
> ganz logisch:
> Wenn man die Aussage schon für [mm]n_0[/mm] bewiesen hat und [mm]S(n+1)[/mm]
> korrekt ist, so implemenziert das wirklich die Korrektheit
> der Aussage.
>
>
> Aber jetzt mal eine neue Frage!
> Die Gewissheit, dass diese Beweistechnik wirklich ohne
> "Wenn oder Aber" korrekt ist, scheint, so meine ich
> herausgefunden zu haben, direkt auf einem der Axiome zu
> basieren.
> So soll besonders eines der Piano-Axiome direkt dies
> begründen:
> Ist [mm]T[/mm] eine Teilmenge der natürlichen Zahlen [mm]N[/mm] und liegt [mm]1[/mm]
> (eventuell auch [mm]0[/mm]) in dieser Menge und liegt jeder
> Nachfolger eines Elements [mm]n[/mm] dieser Menge [mm]n+1[/mm] >auch in der
> Menge, so ist die Teilmenge [mm]T[/mm] sie identisch mit der Menge
> der natürlichen Zahlen [mm]N[/mm].
Yep, auf das Peano-Axiom bezieht sich die Idee des Ind.-Beweises.
>
> So jetzt versuche ich mal mit meinem Wissen über
> vollständige Induktion die Summenformel für natürlich
> Zahlen zu beweisen.
> Beweisanfang!
> [mm]1+2+3+4...+n=\left \bruch{n*(n+1)}{2} \right=A(n)[/mm] [mm]n\in\IN[/mm]
Yep, das ganze heisst dann Induktionsannahme
>
> So, jetzt zeige ich die Aussgage für das kleinste [mm]n[/mm], [mm]n_0[/mm].
> Gleichzeitig sein dann: [mm]k\ge n_0[/mm] [mm]k\in T[/mm]
>
> [mm]A(n_0)=A(1)=\left \bruch{1*(2)}{2} \right=1[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm]
> Induktionsvorraussetzung ist korrekt und damit gegben.
Korrekt
>
> Dabei folgt doch aus [mm]k\ge n_0[/mm], das [mm]T[/mm] [mm]1[/mm] enthält.
> Nun werde ich zeigen, dass es zu diesem kleisten "[mm]k_0=1[/mm]"
> jeweils einen Nachfolger gibt, der korrekt, und das aus
> diesem folgt, dass es immer einen weiteren gibt, der
> korrekt ist.
> Dazu muss [mm]A(k)+k+1=A(k+1)[/mm] wahr sein:
Auch korrekt, das ganze heisst übrigens Induktionsschritt
> [mm]A(k+1)=\left \bruch{(k+1)*((k+1)+1)}{2} \right=\left \bruch{(k+1)*(k+2)}{2} \right=\left \bruch{k^2+2k+k+2}{2} \right=\left \bruch{k^2+3k+2}{2} \right[/mm]
>
> [mm]A(k)+k+1=\left \bruch{k*(k+1)}{2} \right+k+1=\left \bruch{k^2+k}{2} \right+\left \bruch{2k+1}{2} \right=\left \bruch{k^2+1+2k+k}{2} \right=\left \bruch{k^2+3k+2}{2} \right[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] Induktionsbehauptung ist korrekt und damit
> gegben.
Yep, schöner wäre eine Gleichungskette, aber das ist auch nur der Form wegen.
>
> Die Korrektheit der Aussage [mm]A(k+1)[/mm] und [mm]k_0=1[/mm] mit [mm]k\in T[/mm]
> implemimenziert nach einem der Piano-Axiome dann, das [mm]T=N[/mm],
> also das die Teilmenge identlisch mit der Menge der
> Natülrichen Zahlen ist, wonach dann die Richtigkeit von:
>
> [mm]1+2+3+4...+n=\left \bruch{n*(n+1)}{2} \right=A(n)[/mm] mit
> [mm]n\in\IN[/mm] unmissverständlich gefolgert werden kann.
> Beweisende!
>
>
> So, jetzt meine Frage: Ist das so im großen und ganzen
> korrekt; ein kleiner Denkfelher und alles ist falsch?
>
Nix falsch,
> Schon mal DANKE an euch, auch für die schon gegbene
> Antwort!
> Ahhh...man kann ja das "Ablaufdatum" eines Artikels
> ändern....
>
> Mit den besten Grüßen
>
> Goldener Schnitt
Gruss
Marius
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Hallo Goldener_Schnitt,
Auch wenn Marius deinen Beweis schon abgenickt hat - ein kleiner Fehler hat sich dennoch eingeschlichen!
> (Bezieht sich abermals exakt auf die Frage!)
> Hallo Marius!..und natürlich allen anderen auch einen
> schönen Tag!
>
> Entschuldige erstmal, das ich erst soo spät antworte; ich
> hab´s verpennt!
>
> So, jetzt aber zu einer Antwort: Das klingt ja dann doch
> ganz logisch:
> Wenn man die Aussage schon für [mm]n_0[/mm] bewiesen hat und [mm]S(n+1)[/mm]
> korrekt ist, so implemenziert das wirklich die Korrektheit
> der Aussage.
>
>
> So jetzt versuche ich mal mit meinem Wissen über
> vollständige Induktion die Summenformel für natürlich
> Zahlen zu beweisen.
> Beweisanfang!
> [mm]1+2+3+4...+n=\left \bruch{n*(n+1)}{2} \right=A(n)[/mm] [mm]n\in\IN[/mm]
>
> So, jetzt zeige ich die Aussgage für das kleinste [mm]n[/mm], [mm]n_0[/mm].
> Gleichzeitig sein dann: [mm]k\ge n_0[/mm] [mm]k\in T[/mm]
>
> [mm]A(n_0)=A(1)=\left \bruch{1*(2)}{2} \right=1[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm]
> Induktionsvorraussetzung ist korrekt und damit gegben.
>
> Dabei folgt doch aus [mm]k\ge n_0[/mm], das [mm]T[/mm] [mm]1[/mm] enthält.
> Nun werde ich zeigen, dass es zu diesem kleisten "[mm]k_0=1[/mm]"
> jeweils einen Nachfolger gibt, der korrekt, und das aus
> diesem folgt, dass es immer einen weiteren gibt, der
> korrekt ist.
> Dazu muss [mm]A(k)+k+1=A(k+1)[/mm] wahr sein:
> [mm]A(k+1)=\left \bruch{(k+1)*((k+1)+1)}{2} \right=\left \bruch{(k+1)*(k+2)}{2} \right=\left \bruch{k^2+2k+k+2}{2} \right=\left \bruch{k^2+3k+2}{2} \right[/mm]
>
> [mm]A(k)+k+1=\left \bruch{k*(k+1)}{2} \right+k+1=\left \bruch{k^2+k}{2} \right+\left \bruch{2k+1}{2} \right=\left \bruch{k^2+1+2k+k}{2} \right=\left \bruch{k^2+3k+2}{2} \right[/mm]
richtig:
[mm]A(k)+k+1=\left \bruch{k*(k+1)}{2} \right+k+1=\left \bruch{k^2+k}{2} \right+\left \bruch{2k+\green{2}}{2} \right=\left \bruch{k^2+\green{2}+2k+k}{2} \right=\left \bruch{k^2+3k+2}{2} \right[/mm]
Man ist bei diesen Herleitungen so auf das Ende fixiert, dass das leicht mal passieren kann.
Aber die Grundidee war schon richtig. ![[super]](/images/smileys/super.gif "[super]")
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] Induktionsbehauptung ist korrekt und damit
> gegeben.
>
> Die Korrektheit der Aussage [mm]A(k+1)[/mm] und [mm]k_0=1[/mm] mit [mm]k\in T[/mm]
> implemimenziert nach einem der Piano-Axiome dann, das [mm]T=N[/mm],
> also das die Teilmenge identlisch mit der Menge der
> Natülrichen Zahlen ist, wonach dann die Richtigkeit von:
>
> [mm]1+2+3+4...+n=\left \bruch{n*(n+1)}{2} \right=A(n)[/mm] mit
> [mm]n\in\IN[/mm] unmissverständlich gefolgert werden kann.
> Beweisende!
>
>
> So, jetzt meine Frage: Ist das so im großen und ganzen
> korrekt; ein kleiner Denkfelher und alles ist falsch?
>
Gruß informix
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Hallo informix!!!!
...und einen schönen Dank für dei Antwort bzw. die Korrektur und einen schönen Tag!!
So, jo, da hatte sich ein Fehler eingeschlichen; besonders kam es daher, das ich die Rechnung nur "im" dem Formeleditor gemacht habe.
Scheinbar korrekt, habe es aber irgendwie nicht umesetzen können.
Habe den Fehler auch korrigiert!
...DANKE noch mal!
Mit den besten Grüßen
Goldener Schnitt
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