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Forum "Uni-Analysis-Induktion" - Vollständige Induktion
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Vollständige Induktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:24 Do 12.10.2006
Autor: crash24

Aufgabe
Zeigen Sie mit vollständiger Induktion:


[mm]\forall n\in\IN : \summe_{k=1}^{n} k\left( k+1 \right) = \bruch{1}{3}n \left( n+1\right) \left( n+2 \right) [/mm]

Der Ablauf der vollständigen Induktion ist mir eigentlich ganz klar. Ich habe aber sehr große Probleme mit Termumformungen und mit dem Auflösen von Klammern. Daher komme ich beim Induktionsschluss teilweise nicht weiter.

Hier sind meine Ansätze:

Induktionsverankerung:  [mm] n=1[/mm]

[mm] \summe_{k=1}^{1} k\left( k+1 \right) = 2 = \bruch{1}{3}*1 \left( 1+1\right) \left( 1+2 \right) = 2 [/mm]

Für [mm]n=1[/mm] gilt die Aussage

Induktionsschritt:
                            
Induktionssannahme:
                            
Es gibt ein beliebiges [mm] n\in\IN [/mm] für das die Aussage wahr ist, d.h. das

[mm] \summe_{k=1}^{n} k\left( k+1 \right) = \bruch{1}{3}n \left( n+1\right) \left( n+2 \right) [/mm]

gilt.

Induktionssschluss:

z. zeigen:

[mm] \summe_{k=1}^{n+1} k\left( k+1 \right) = \bruch{1}{3}\left( n+1\right) \left(\left( n+1\right)+1\right) \left( \left( n+1\right)+2 \right) [/mm]

Betrachte:

[mm] \summe_{k=1}^{n+1} k\left( k+1 \right) = \summe_{k=1}^{n} k\left( k+1 \right) + \left( n+1\right) \left( \left( n+1\right)+2 \right) [/mm]

[mm] = \bruch{1}{3}n\left( n+1\right) \left( n+2\right) +\left( \left(n+1\right)\left( n+1\right)+ 2\right) [/mm]                         // [mm]\bruch{1}{3}[/mm] ausklammern

[mm] = \bruch{1}{3}\left(n\left( n+1\right) \left( n+2\right) +3\left( \left(n+1\right)\left( n+1\right)+ 2\right)\right) [/mm]

Leider komme ich jetzt nicht mehr so recht weiter.
Vielleicht kann mir ja jemand helfen.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Vollständige Induktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:58 Do 12.10.2006
Autor: Bastiane

Hallo!

Ich glaube, diese Aufgabe gibt es hier im Forum schon irgendwo. Gib doch mal in der Suche "vollständige Induktion" oder auch einfach nur "Induktion" ein. Da findest du ganz viel, und wenn du das mal alles durchguckst, findest du bestimmt auch deine Aufgabe. :-)

Viele Grüße und [gutenacht]
Bastiane
[cap]


Bezug
        
Bezug
Vollständige Induktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:34 Do 12.10.2006
Autor: Walty

Ich habe es als einfacher empfunden, die Zahlen gleich zusammenzuiehen. Deine Formeln mit mehreren klammern werden leicht unübersichtlich...



ausgehend von: (Induktionsannahme)
[mm]\summe_{k=1}^{n} k\left( k+1 \right) = \bruch{1}{3}n \left( n+1\right) \left( n+2 \right) [/mm]

ist (induktion)
[mm]\summe_{k=1}^{n+1} k\left( k+1 \right) = \bruch{1}{3}\left( n+1\right) \left(\left( n+1\right)+1\right) \left( \left( n+1\right)+2 \right)= \bruch{1}{3}\left( n+1\right) \left( n+2\right) \left( n+3 \right) [/mm]

es ist also
[mm]\summe_{k=1}^{n+1} k\left( k+1 \right) = \summe_{k=1}^{n} k\left( k+1 \right) + \left( n+1 \right)*\left(n+2\right) [/mm]
unte der Induktionsannahme kan man ersetzen:

[mm] \summe_{k=1}^{n+1} k\left( k+1 \right) [/mm] = [mm] \bruch{1}{3}n \left( n+1\right) \left( n+2 \right) [/mm] + [mm] \left( n+1 \right)*\left(n+2\right) [/mm]  [/mm]
hier wird das Ausklammern schon offensichtlicher ;-)
= [mm] \left( n+1\right) \left( n+2 \right) (\bruch{1}{3}n+1) [/mm]
= [mm] \bruch{1}{3}\left( n+1\right) \left( n+2 \right)(n+3) [/mm]

qed

hth Walty

Bezug
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