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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:12 Do 28.10.2004 | | Autor: | SERIF |
Hallo zusammen. Ich habe hier eine Aufgabe, die ich mit vollständiger Induktion beweisen muss.
Ich habe schon Angefangen, aber ich komme nicht weiter. Kann bitte jemand mir helfen danke?
Aufgabe : Beweisen Sie mit vollständiger Induktion. Für alle n [mm] \in \IN
[/mm]
[mm] \summe_{k=1}^{n} (-1)^{k-1} [/mm] * k² = [mm] (-1)^{n-1} [/mm] * n(n+1) /2
Induktionanfang n =1 Stimmt.
Induktionsschritt n [mm] \to [/mm] n+1 daraus folgt:
[mm] \summe_{k=1}^{n+1} (-1)^{k-1} [/mm] * k² dann
= [mm] \summe_{k=1}^{n} (-1)^{k-1} [/mm] * k² + [mm] (-1)^{n+1-1} *(n+1)^{2} [/mm] daraus folg auch
[mm] (-1)^{n-1} [/mm] *n(n+1)/2 + [mm] (-1)^{n}* (n+1)^{2} [/mm] so bis hier bin ich gekommen.(Wie kommt man von hier auf die Lösung), muss man irgenwas ausklammarn und so?. Das möchte ich gerne wissen. Ich kenne auch die Lösung. Es werden die n's durch (n+1) ersetz. also die lösung ist
[mm] (-1)^{n} [/mm] * n+1(n+1+1)/2
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:59 Do 28.10.2004 | | Autor: | AT-Colt |
Hallo Serif,
also ein großes Lob, bis hierhin stimmts noch und Du wirst Dir gleich vor die Stirn schlagen, dass Du den letzten Schritt nachgefragt hast ^^
Aber ich kenne das, wenn man lange vor einer Aufgabe sitzt, sieht man manche Sachen einfach nicht mehr...
Also, Du bist gekommen bis:
[mm] $(-1)^{n-1}*\bruch{n(n+1)}{2} [/mm] + [mm] (-1)^n*(n+1)^2$
[/mm]
Nun Klammern wir erstmal [mm] $(-1)^n$ [/mm] aus:
[mm] $(-1)^n*(-\bruch{n(n+1)}{2} [/mm] + [mm] \bruch{2(n+1)^2}{2})$
[/mm]
So, und von hier aus ist es ein Spaziergang:
[mm] $(-1)^n*\bruch{(n+1)*(-n+2(n+2))}{2} [/mm] = [mm] (-1)^n*(\bruch{(n+1)(n+2)}{2}$
[/mm]
Dies ist genau der Ausdruck, den Du für die vollständige Induktions brauchtest.
greetz
AT-Colt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:40 Fr 29.10.2004 | | Autor: | SERIF |
danke altcolt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:06 Fr 01.06.2007 | | Autor: | macio |
Hallo, ich kann leider Ihren Lösungsweg nicht ganz nachvollziehen. Und zwar Frage ich mich wie Sie in den einzelenen Schritten vorgegangen sind. Sie
> [mm](-1)^{n-1}*\bruch{n(n+1)}{2} + (-1)^n*(n+1)^2[/mm]
Wie haben Sie z.B. [mm](-1)^n[/mm] ausgeklammert?
> Nun Klammern wir erstmal [mm](-1)^n[/mm] aus:
>
> [mm](-1)^n*(-\bruch{n(n+1)}{2} + \bruch{2(n+1)^2}{2})[/mm]
Oder, warum ist nicht mehr [mm]\bruch{2(n+1)}{2}[/mm] zum Quadrat?
>
> So, und von hier aus ist es ein Spaziergang:
>
> [mm](-1)^n*\bruch{(n+1)*(-n+2(n+2))}{2} = (-1)^n*(\bruch{(n+1)(n+2)}{2}[/mm]
Bin für jede Antowort Dankbar.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:10 Fr 01.06.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo macio!
> Wie haben Sie z.B. [mm](-1)^n[/mm] ausgeklammert?
Es gilt doch: [mm] $(-1)^{n-1} [/mm] \ = \ [mm] (-1)^n*(-1)^{-1} [/mm] \ = \ [mm] (-1)^n*\bruch{1}{-1} [/mm] \ = \ [mm] \red{-} [/mm] \ [mm] (-1)^n$
[/mm]
Nun ausklammern ...
> > [mm](-1)^n*(-\bruch{n(n+1)}{2} + \bruch{2(n+1)^2}{2})[/mm]
>
> Oder, warum ist nicht mehr [mm]\bruch{2(n+1)}{2}[/mm] zum Quadrat?
Aber das steht doch im 2. Term als Quadrat [mm] $\bruch{2*(n+1)^{\red{2}}}{2}$ [/mm] da. Da wurde der Term zuvor lediglich mit $2_$ erweitert.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:55 Sa 02.06.2007 | | Autor: | macio |
Danke für die Antwort!
Ich wollte eigentlich wissen, wie er auf diesen Term gekommen ist:
[mm] (-1)^n\cdot{}\bruch{(n+1)\cdot{}(-n+2(n+2))}{2}[/mm]
Gruss macio
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Hallo macio,
da hat er von oben falsch abgeschrieben, in der Klammer muss [mm] \red{+1} [/mm] stehen
also:
[mm] $(-1)^n\cdot{}\left(-\frac{n(n+1)}{2}+\frac{2(n+1)^2}{2}\right)=(-1)^n\cdot{}\left(\frac{-n(n+1)+2(n+1)^2}{2}\right)$
[/mm]
Nun (n+1) ausklammern im Zähler:
[mm] $=(-1)^n\cdot{}\left(\frac{(n+1)\cdot{}[-n+2(n+1)]}{2}\right)=(-1)^n\cdot{}\left(\frac{(n+1)\cdot{}[-n+2n+2)]}{2}\right)(-1)^n\cdot{}\left(\frac{(n+1)(n+2)}{2}\right)$
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:07 Fr 01.06.2007 | | Autor: | macio |
Hallo, ich kann leider Ihren Lösungsweg nicht ganz nachvollziehen. Und zwar Frage ich mich wie Sie in den einzelenen Schritten vorgegangen sind. Sie
> [mm](-1)^{n-1}*\bruch{n(n+1)}{2} + (-1)^n*(n+1)^2[/mm]
Wie haben Sie z.B. [mm](-1)^n[/mm] ausgeklammert?
> Nun Klammern wir erstmal [mm](-1)^n[/mm] aus:
>
> [mm](-1)^n*(-\bruch{n(n+1)}{2} + \bruch{2(n+1)^2}{2})[/mm]
Oder, warum ist nicht mehr [mm]\bruch{2(n+2)}{2}[/mm] zum Quadrat?
>
> So, und von hier aus ist es ein Spaziergang:
>
> [mm](-1)^n*\bruch{(n+1)*(-n+2(n+2))}{2} = (-1)^n*(\bruch{(n+1)(n+2)}{2}[/mm]
Bin für jede Antowort Dankbar.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:12 Sa 02.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. wir duzen uns hier alle, egal wie alt, dumm oder gescheit wir sind.
2. Du hast offensichtlich Mühe mit Ausklammern. such aso IMMER ob in einer Klammer oder nem Ausdruck 2 gleiche Zahlen oder Ausdrücke stehen.
>
> Oder, warum ist nicht mehr [mm]\bruch{2(n+2)}{2}[/mm] zum In dem Ausdruck davor stand im Zähler:
[mm] (-n*(n+1)+2(n+1)^2) [/mm] also an beiden Stellen (n+1) das wird ausgeklammert: [mm] (-n*(n+1)+2(n+1)^2) [/mm] =(n+1)*(-2+2*(n+1))
jetzt klar?
Wenn du wieder mal nicht klar kommst, einfach umgekehrt vorgehen, also die 2 Klammern wieder multiplizieren.
Gruss leduart
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