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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:22 Di 09.11.2004 | | Autor: | sittich |
Hallo!
Ich habe ein Problem. Ich schlage mich hier mit einer Aufgabe rum aber ich weiß nicht wie ich sie lösen soll..
Die Aufgabe lautet:
Beweisen sie per vollständiger Induktion:
a) falls p [mm] \ge [/mm] 2, eine natürliche Zahl ist, so gilt [mm] p^{n} [/mm] > n für alle n [mm] \in \IN
[/mm]
b) falls p [mm] \ge [/mm] 3, eine natürliche Zahl ist, so gilt [mm] p^{n} [/mm] > [mm] n^{2} [/mm] für alle n [mm] \in \IN
[/mm]
für n=1 gilt das ja. aber was dann? ich komme mit dem Induktionsschritt nicht weiter. wenn ich n=n+1 einsetze weiß ich nicht was ich weiter machen soll... :(
Wär echt nett wenn ihr mir helfen könntet. Vielen Dank!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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du hast ja dann [mm] p^{n+1} [/mm] und kommst damit wohl nicht weiter. Ich würde es wahrscheinlich mal mit logarithmieren versuchen, damit du den Exponenten nach unten bekommst, aber ob dir das hilft, weiss ich nicht.
Was anderes fällt mir spontan zur ersten nicht ein.
mfg Conny
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:28 Di 09.11.2004 | | Autor: | taura |
Hi sittich!
Also, wenn du n = n + 1 setzt bekommst du für [mm] p^n \to p^{n+1}. [/mm] Das kannst du schreiben als [mm]p^n * p[/mm], und darauf die Verankerung anwenden. Versuchs doch mal, vielleicht reicht dir der Hinweis.
LG Biggi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:23 Di 09.11.2004 | | Autor: | zwerg |
An Sittich!
Nutze den Hinweis von taura und dann:
a)
pn >= 2n = n+n+1-1 = (n+1) + (n-1) > (n+1) [mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN
[/mm]
b)
[mm] pn^{2} [/mm] >= [mm] 3n^{2} =(n+1)^{2} [/mm] + [mm] (n-1)^{2} [/mm] + [mm] n^{2} [/mm] > [mm] (n+1)^{2} \forall [/mm] n [mm] \in \IN
[/mm]
das wärs schon auf zur nächsten Aufgabe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:57 Fr 12.11.2004 | | Autor: | zwerg |
Moin Sittich!
Ich werd dir den ganzen Kram für a) mal hinschreiben bei b) funktioniert das ganze dann analog.
a)
a) falls p [mm] \ge [/mm] 2, eine natürliche Zahl ist, so gilt [mm] p^{n} [/mm] > n für alle n [mm] \in \IN
[/mm]
(IV)
[mm] p^{n} [/mm] > n
(IBW)
[mm] p^{n+1} =pp^{n} [/mm] >(IV)>pn [mm] \ge [/mm] 2n [wegen p [mm] \ge [/mm] 2]
2n=n+n+1-1=(n+1)+(n-1)>(n+1) wegen n [mm] \in \IN
[/mm]
wie gesagt bei b) analog nutze aus das [mm] p^{n+1} =p^{n} [/mm] * p
und das nach Vorausetzung p [mm] \ge [/mm] 3
MfG zwerg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:39 Sa 13.11.2004 | | Autor: | sittich |
Hi zwerg!
also so richtig schlau werd ich daraus noch nich :(
[mm] p^{n+1} =pp^{n} [/mm] >(IV)>pn [mm] \ge [/mm] 2n [wegen p [mm] \ge [/mm] 2]
diese zeile kapier ich irgendwie nich. ich versteh nich was du machst und wieso?
und zu dieser zeile:
2n=n+n+1-1=(n+1)+(n-1)>(n+1)
wenn n=1 ist stände da ja:
2>2
??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:17 So 14.11.2004 | | Autor: | zwerg |
Moin sittich!
Hier nochmal eine kleine Erklärung:
Schritte der Vollständigen Induktion:
a) zeige das deine zu beweisense Gleichung für eine Zahl bspweise 1 gilt
b) (IV)Induktionsvoraussetzung
wir nehmen an das die Gleichung dann auch für eine beliebige
aber festbestimmte Zahl z.B. n gilt
Es ist dabei nur die Existenz einer solchen Zahl von Nöten und dies haben wir ja schon in a gezeigt
c) die Gleichung gilt als bewiesen, wenn wir zeigen können, das die Gleichung auch für die auf n folgende Zahl n+1 gilt
also zu deiner Aufgabe a):
a) zeigst du selber
b) somit gilt (IV) [mm] p^{n} [/mm] > n
c) [mm] p^{n+1} [/mm] = [mm] p*p^{n} [/mm] hier setzen wir die induktionsvoraussetzung ein
[mm] p^{n+1} [/mm] = [mm] p*p^{n} [/mm] >p*n da p>2 ist p*n [mm] \ge [/mm] 2n also
[mm] p^{n+1} [/mm] = [mm] pp^{n} [/mm] >pn [mm] \ge [/mm] 2n
hier nun gilt 2n= n+n und zu jeder Gleichung kannst du Null addieren ohne die Aussage zu beeinflussen 0=1-1 richtig? Dein letzter Einwand ist durchaus richtig. wir schreiben also anstatt > [mm] \ge [/mm] also die gesamte Aussage nochmal
[mm] p^{n+1} =pp^{n} [/mm] >pn [mm] \ge [/mm] 2n = n+n+1-1= (n+1)+(n-1) [mm] \ge [/mm] (n+1)
wir können indem wir einige Schritte nicht mit aufschreiben sagen (nur für dich damit du siehst das wir gezeigt haben was wir zeigen wollten:
[mm] p^{n+1} =pp^{n} [/mm] > (n+1)
also gilt diene Gleichung für alle n [mm] \in \IN
[/mm]
gruß zwerg
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