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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:00 Sa 27.11.2004 | | Autor: | chil14r |
Hmm . Jetzt würd sich wahrscheinlich mancher denken, " Wie oft wird wohl noch eine Induktionsfrage im Matheraum zu finden sein?!" Deswegen will ich gleich sagen das ich früher nie Probleme mit dem Beweis der Induktion hatte, doch ein logischer Beweis in der Diskreten Mathematik innerhalb von Relationen und Paaren ist doch schon schwieriger wie ich finde..
Also los gehts:
Es gehtum die Teilerrelation
Es soll gezeigtwerden das 5 \ ( [mm] n^5 [/mm] - n) n [mm] \in [/mm] N (natürlicheZahlen)
I.A. n=0 5 ist Teiler von 0 wahre Aussage
I.B.
5 \ [mm] (n^5 [/mm] - n)
5 \ ( [mm] (n+1)^5 [/mm] - (n+1))
So ich stehe also vor dem problem zu zeigen das die untere gleichung durch umformen einen therm ergibt der der Induktionsvorraussetzung entspricht.
Danke für Hilfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:56 Sa 27.11.2004 | | Autor: | andreas |
hi
da hilft in der regel der binomische lehrsatz weiter:
[m] (a+b)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^kb^{n-k} [/m]
dabei musst du die terme im einzelen gar nicht auseinander nehmen. probiere es einfach mal.
falls es dich interessiert: auf diese art und weise kann man sogar für beliebiges $q [mm] \in \mathbb{N}$ [/mm] beweisen, dass gilt [m] q | n^q - n [/m] was im allgemeinen als "kleiner satz von fermat" bezeihnet wird.
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:57 So 28.11.2004 | | Autor: | chil14r |
Hallo! Danke für die schnelle Antwortleider binich nur Biologiestudent und habe nicht allzuviel Ahnung von Höherer MAthematik und ich glaube man kann
bei dieser Aufgabe auch ohne "MathematischeSätze" auskommen. Setz mich gleich nochmal ran....
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:43 So 28.11.2004 | | Autor: | andreas |
hi
ich befürchte ohne den binomischen lehrsatz kommst du hier nicht aus. du kannst ihn aber einfach mal konkrte für $n = 5$ ausrechnen und den dann anwenden, wenn dir das so unheimlich ist. im prinzip ist der nur die verallgemeinerung der 1. binomischen formel. hier mal ausgeschrieben, was der für kleine $n$ bedeutet:
[m] n = 2: \quad (a + b)^2= a^2 + 2ab + b^2 [/m]
[m] n = 3: \quad (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 [/m]
...
wobei bei jedem schritt einfach der faktor $(a+b)$ dranmultipliziert wird. du kannst es ja nochmal so probieren, wenn es irgendwie anders funktioniert lasse ich mich auch gerne eines besseren belehren!
grüße
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:55 Mo 29.11.2004 | | Autor: | chil14r |
Danke !Jetzt weiss ich endlich was dieser Ausdruck heist
Also
IA : für n=o 5 \ 0 w.A.
IV 5 \ [mm] (n^5 [/mm] - n)
IB 5 \ [mm] (n+1)^5 [/mm] - (n+1)
[mm] n^5 [/mm] +( 5 [mm] n^4 [/mm] +10 [mm] n^3 [/mm] + 10 [mm] n^3 [/mm] +5 [mm] n^4 [/mm] ) + 1 - n -1
5 \ (5 [mm] n^4 [/mm] +10 n^ 3 + 10 [mm] n^3 [/mm] + 5 [mm] n^4 [/mm] )
5 \ ( [mm] n^5 [/mm] - n) gilt nach Vorraussetzung [mm] \Box
[/mm]
Danke nochmal Andreas für deine Hilfe
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