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| Aufgabe | | Beweisen Sie durch vollständige Induktion den Satz, dass in einem konvexen n-Eck (n [mm] \ge [/mm] 3) die Winkelsumme (n-2)*180° beträgt. Dabei heißt ein n-Eck konvex, wenn sämtliche Innenwinkel kleiner als 180° sind. |
Hallo,
die Induktion wäre wahrscheinlich nicht das Problem, aber ich weiß nicht, was für eine Gleichung ich hier aufstellen soll. Hat jemand eine Idee ?
Vielen Dank im voraus.
LG, Martinius
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:42 Do 18.10.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Martinius!
Hier wendet man keine Gleichungen / Ungleichungen wie bei den sonstigen vollständigen Induktionen an. Mache Dir eine Skizze und dann mache Dir klar, in wieviel Dreiecke man ein konvexes n-Eck unterteilen kann.
Gruß
Loddar
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Hallo Loddar,
das hatte ich schon gemacht (für regelmäßige n-Ecke).
Aber die Formel die ich erhielt, war nur eine andere Formulierung von derjenigen, die in der Aufgabe stand:
Die Winkelsumme im n-Eck ist gleich der Summe der außen liegenden Dreieckswinkel, also
[mm] $n*(180°-\bruch{360°}{n}) [/mm] = (n-2)*180°$
LG, Martinius
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:52 Do 18.10.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Martinius!
Naja, auf wesentlich mehr wird das auch nicht hinauslaufen ...
Aber Du kannst ja jedes konvexe n-Eck zerlegen in ein (n-1)-Eck mit einem angehängten Dreieck. Damit kannst Du sowohl für das (n-1)-Eck die Induktionsvoraussetzung sowie für das Dreieck die Induktionsverankerung (Induktionsanfang) anwenden.
Gruß
Loddar
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Hallo Loddar,
vielen Dank für deine Erkärung. Man gewinnt hier immer neue Einsichten.
Ginge dann:
I.A. n = 3 W.S = (3-2) * 180° ist erfüllt
I.S W.S(n+1) = (n-1) * 180°
Da man von jedem n-Eck ein Dreieck abspalten kann gilt
I.A. W.S.(n) = (n-1) * 180° -180°
= (n-2) * 180°
Oder muss man die Reihenfolge I.V - I.S. einhalten ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:00 Fr 19.10.2007 | | Autor: | koepper |
Hallo Martinius,
> Ginge dann:
>
> I.A. n = 3 W.S = (3-2) * 180° ist erfüllt
das müßte man eigentlich auch noch zeigen.
Deine weiteren Ausführungen finde ich etwas zu stenographisch.
Die logische Folgerungskette sollte klarer werden.
Also etwa in der Art:
Für ein bestimmtes $n [mm] \in \IN$ [/mm] gelte, daß jedes konv. n-Eck eine Innenwinkelsumme von (n-2) * 180 hat.
Wir betrachten nun ein konv. n+1-Eck und zerlegen dieses in ein konv. n-Eck und ein Dreieck.
Die Winkelsumme des n+1-Ecks ist dann offenbar die Summe der Innenwinkel des n-Ecks und des 3-Ecks,
also WS(n+1) = (n-2) * 180 + 180 = (n + 1 - 2) * 180. qed.
Mathematik besteht nicht notwendigerweise darin, alles nur in Formeln auszudrücken.
Manche Dinge lassen sich verbal viel klarer darlegen, ohne dabei Präzision zu verlieren.
Gruß und Gute N8
Will
> I.S W.S(n+1) = (n-1) * 180°
>
> Da man von jedem n-Eck ein Dreieck abspalten kann gilt
>
> I.A. W.S.(n) = (n-1) * 180° -180°
>
> = (n-2) * 180°
>
>
> Oder muss man die Reihenfolge I.V - I.S. einhalten ?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:19 Fr 19.10.2007 | | Autor: | Martinius |
Hallo koepper,
danke fürs Nachsehen und für die Ermahnung.
Aber ich versuche ja nur meine verschütteten Schulkenntnisse für eine Nachilfeschülerin zu reaktivieren. Als einem Nichtmathematiker möge man mir meine mangelnden sprachlichen Darstellungsfähigkeiten in Sachen Logik nachsehen.
LG und gute N8,
Martinius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:25 Fr 19.10.2007 | | Autor: | koepper |
Hallo Martinius,
> danke fürs Nachsehen und für die Ermahnung.
gern geschehen. Betrachte es nicht als Ermahnung, sondern einfach als Tipp.
> Aber ich versuche ja nur meine verschütteten
> Schulkenntnisse für eine Nachilfeschülerin zu reaktivieren.
Ich bin sicher, die würde eine einfache verbale Darstellung auch einem Formelgeflecht vorziehen 
> Als einem Nichtmathematiker möge man mir meine mangelnden
> sprachlichen Darstellungsfähigkeiten in Sachen Logik
> nachsehen.
Ich glaube kaum, daß dir da irgendwelche Fähigkeiten fehlen.
Ich glaube eher, daß es ein weitverbreitetes Vorurteil ist,
daß Mathematik immer in unverständlichen Formeln ausgedrückt werden müßte.
Natürlich ist es manchmal notwendig zu formalisieren, um die mächtigen Werkzeuge der Mathematik auf ein Problem anwenden zu können. Aber dort, wo es nicht notwendig ist, sollte man - so denke ich - Wert darauf legen, sich einfach und klar (und dabei immer noch präzise) auszudrücken. Und da wir Menschen "in Worten" denken, liegen uns verbale Formulierungen näher als Formeln. Das habe ich selbst (zT nicht ganz schmerzfrei) von einem Prof lernen müssen und ich bin heute froh drum.
Liebe Grüße
Will
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