Vollständige Induktion < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:56 Do 18.09.2008 | | Autor: | LiliMa |
| Aufgabe | (*)
[mm] \bruch{1}{1*3}+\bruch{1}{3*5}+\bruch{1}{5*7}+...+\bruch{1}{(2n-1)*(2n+1)}=\bruch{n}{2n+1} [/mm] |
Hi und guten Abend,
bei dieser Aufgabe bin ich soweit gekommen:
Induktionsanfang:
[mm] \bruch{1}{1*3}=\bruch{1}{2*1+1}=\bruch{1}{3}
[/mm]
Jetzt habe ich ein Problem mit dem Induktionsschritt. Ich muss ja jetzt im Induktionsschritt zunächst zeigen, dass wenn (*) gilt, auch (*) um einen Schritt erhöht gilt. Dazu muss ich auf der rechte Seite von (*) n durch (n+1) ersetzen. Mir ist jetzt nicht klar, wie ich auf das komme, was ich auf der linken Seite schreiben muss und warum man das auf der linken Seite überhaupt schreibt. Ist das vlt. weil es sich um eine Gleichung handelt und deswegen auf beiden Seiten das gleiche gemacht werden muss?
Also in der Lösung steht das so:
[mm] \bruch{1}{1*3}+...+\bruch{1}{(2n-1)*(2n+1)}+\bruch{1}{(2n+1)*(2n+3)}=\bruch{n+1}{2n+3}
[/mm]
Hier ist mir nicht klar, wie man auf [mm] \bruch{1}{(2n+1)*(2n+3)} [/mm] kommt.
Wenn ich das jetzt begriffen hätte, dann würde ich doch weiter schreiben:
[mm] \bruch{1}{(2n+1)*(2n+3)}=\bruch{n}{2n+1}+\bruch{1}{(2n+1)*(2n+3)} [/mm]
Das nächste Problem ist, dass ich nicht weis, wie ich das ganze umformen soll.
Viele Grüsse und danke schonmal für eure Hilfe.
Lill
|
|
| |
|
Hallo LiliMa,
> (*)
>
> [mm]\bruch{1}{1*3}+\bruch{1}{3*5}+\bruch{1}{5*7}+...+\bruch{1}{(2n-1)*(2n+1)}=\bruch{n}{2n+1}[/mm]
> Hi und guten Abend,
>
> bei dieser Aufgabe bin ich soweit gekommen:
>
> Induktionsanfang:
>
> [mm]\bruch{1}{1*3}=\bruch{1}{2*1+1}=\bruch{1}{3}[/mm]
>
> Jetzt habe ich ein Problem mit dem Induktionsschritt. Ich
> muss ja jetzt im Induktionsschritt zunächst zeigen, dass
> wenn (*) gilt, auch (*) um einen Schritt erhöht gilt. Dazu
> muss ich auf der rechte Seite von (*) n durch (n+1)
> ersetzen. Mir ist jetzt nicht klar, wie ich auf das komme,
> was ich auf der linken Seite schreiben muss und warum man
> das auf der linken Seite überhaupt schreibt. Ist das vlt.
> weil es sich um eine Gleichung handelt und deswegen auf
> beiden Seiten das gleiche gemacht werden muss?
>
> Also in der Lösung steht das so:
>
> [mm]\bruch{1}{1*3}+...+\bruch{1}{(2n-1)*(2n+1)}+\bruch{1}{(2n+1)*(2n+3)}=\bruch{n+1}{2n+3}[/mm]
>
>
> Hier ist mir nicht klar, wie man auf
> [mm]\bruch{1}{(2n+1)*(2n+3)}[/mm] kommt.
Das ist der letzte Summand der Summe auf der linken Seite, die im Induktionsschritt steht, also der $(n+1)$te Summand
Die Induktionsvor. ist: Für beliebiges, aber festes [mm] $n\in\IN$ [/mm] gilt:
[mm] $\red{\frac{1}{1\cdot{}3}+\frac{1}{3\cdot{}5}+\frac{1}{5\cdot{}7}+ ... + \frac{1}{(2n-1)\cdot{}(2n+1)}=\frac{n}{2n+1}}$
[/mm]
oder kürzer: [mm] $\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{(2k-1)\cdot{}(2k+1)}=\frac{n}{2n+1}$
[/mm]
Im eigentlichen Induktionsschritt musst du dann zeigen, dass die Behauptung (unter der obigen Induktionsannahme) auch für n+1 gilt
Zu zeigen ist also [mm] $\frac{1}{1\cdot{}3}+\frac{1}{3\cdot{}5}+\frac{1}{5\cdot{}7}+ [/mm] ... + [mm] \frac{1}{(2n-1)\cdot{}(2n+1)}+\underbrace{\frac{1}{(2\blue{(n+1)}-1)\cdot{}(2\blue{(n+1)}+1)}}_{\text{der letzte Summand! siehe Lösung, vereinfache mal}}=\frac{\blue{n+1}}{2\blue{(n+1)}+1}$ [/mm] gilt
oder kürzer: [mm] $\sum\limits_{k=1}^{\blue{n+1}}\frac{1}{(2k-1)\cdot{}(2k+1)}=\frac{\blue{n+1}}{2\blue{(n+1)}+1} [/mm] \ = \ [mm] \frac{n+1}{2n+3}$
[/mm]
siehe Lösung!
Das ist also zu zeigen (unter der Annahme, dass die Beh. für n gilt, also unter der Induktionsannahme)
Das kannst du entweder durch Äquivalenzumformungen machen, oder - das würde ich empfehlen - du nimmst dir die linke Seite her und formst sie so um, dass du die Induktionsvor. anwenden kannst:
Linke Seite der zu zeigenden Beh:
[mm] $\frac{1}{1\cdot{}3}+\frac{1}{3\cdot{}5}+\frac{1}{5\cdot{}7}+ [/mm] ... + [mm] \frac{1}{(2n-1)\cdot{}(2n+1)}+\frac{1}{(2(n+1)-1)\cdot{}(2(n+1)+1)}$
[/mm]
[mm] $=\underbrace{\left[\red{\frac{1}{1\cdot{}3}+\frac{1}{3\cdot{}5}+\frac{1}{5\cdot{}7}+ ... + \frac{1}{(2n-1)\cdot{}(2n+1)}}\right]}_{\text{erkennst du's wieder? schaue auf die Ind.vor.}} [/mm] \ + \ [mm] \frac{1}{(2n+1)\cdot{}(2n+3)}$
[/mm]
Da habe ich den letzten Summanden mal separat hinten dran geschrieben und die ersten n Summanden eingeklammert.
Auf die Klammer kannst du nun die Induktionsvoraussetzung loslassen: s. oben
[mm] $=\left[\underbrace{\red{\frac{n}{2n+1}}}_{\text{gilt nach Ind.vor.}}\right] [/mm] \ + \ [mm] \frac{1}{(2n+1)\cdot{}(2n+3)}$
[/mm]
Hier mache nun mal die Brüche gleichnamig und klammere dann im Zähler $(n+1)$ aus ...
Dann solltest du mit ein paar kleineren Umformungen die rechte Seite der zu zeigenden Behauptung dastehen haben
>
>
> Wenn ich das jetzt begriffen hätte, dann würde ich doch
> weiter schreiben:
Ich hoffe, die Erklärungen helfen dir dabei 
>
> [mm]\bruch{1}{(2n+1)*(2n+3)}=\bruch{n}{2n+1}+\bruch{1}{(2n+1)*(2n+3)}[/mm]
Hier fehlen die ersten n Summanden auf der linken Seite!
>
>
> Das nächste Problem ist, dass ich nicht weis, wie ich das
> ganze umformen soll.
Erweitern und ausklammern: siehe oben
>
> Viele Grüsse und danke schonmal für eure Hilfe.
>
> Lill
>
LG
schachuzipus
|
|
|
|
