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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:22 Sa 04.10.2008 | | Autor: | LiliMa |
| Aufgabe | Für alle n [mm] \in \IN [/mm] gilt: [mm] 4n\le n^{2}+4
[/mm]
Beweisen Sie die Ungleichung durch vollständige Induktion |
Hi,
soweit bin ich gekommen:
Induktionsanfang:
[mm] 4*1\le5
[/mm]
[mm] Induktionsschritt:4n+4*(n+1)\le(n+1)^{2}+4
[/mm]
[mm] 4n+4*(n+1)\le n^{2}+4n+8
[/mm]
Entweder ich habe das nicht richtig gemacht, oder die Behauptung stimmt nicht.
Gruss und Danke
Lili
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:32 Sa 04.10.2008 | | Autor: | pelzig |
> Für alle n [mm]\in \IN[/mm] gilt: [mm]4n\le n^{2}+4[/mm]
> Beweisen Sie die
> Ungleichung durch vollständige Induktion
> Hi,
>
> soweit bin ich gekommen:
> Induktionsanfang:
> [mm]4*1\le5[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm]Induktionsschritt:4n+4*(n+1)\le(n+1)^{2}+4[/mm]
Nein, im Induktionsschritt musst du zeigen dass [mm] $4(n+1)\le (n+1)^2+4$ [/mm] ist und darfst dafür nur verwenden, dass [mm] $4n\le n^2+4$ [/mm] ist.
> [mm]4n+4*(n+1)\le n^{2}+4n+8[/mm]
>
> Entweder ich habe das nicht richtig gemacht, oder die
> Behauptung stimmt nicht.
>
> Gruss und Danke
> Lili
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:49 Sa 04.10.2008 | | Autor: | LiliMa |
Hi und vielen Dank.
Könntest du mir noch zeigen wies dann weiter geht.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:01 Sa 04.10.2008 | | Autor: | pelzig |
> Könntest du mir noch zeigen wies dann weiter geht.
Selber denken macht schlau. Womit hast du Probleme?
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:04 Sa 04.10.2008 | | Autor: | LiliMa |
Ich meine auch wenn ich beachte was du gesagt hast, muss ich doch trotzdem auf der rechten Seite [mm] n^{2}+4+4*(n+1) [/mm] rechnen und damit komme ich ja nicht auf [mm] (n+1)^{2}+4
[/mm]
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Hallo LilaMa,
> Ich meine auch wenn ich beachte was du gesagt hast, muss
> ich doch trotzdem auf der rechten Seite [mm]n^{2}+4+4*(n+1)[/mm] ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Wie das?
> rechnen und damit komme ich ja nicht auf [mm](n+1)^{2}+4[/mm]
Du hast doch nach IV [mm] $\red{4n\le n^2+4}$ [/mm]
Im Induktionsschritt musst du zeigen, dass dann gefälligst auch [mm] $4\blue{(n+1)}\le \blue{(n+1)^2}+4$ [/mm] ist.
Also schreibe die linke Seite hin und versuche so abzuschätzen, dass du auf die rechte Seite kommst:
[mm] $4(n+1)=\red{4n}+4\overset{\text{nach IV}}{\le}\red{n^2+4}+4$
[/mm]
Jetzt versuche mal, das weiter nach oben abzuschätzen, also zu vergrößern, so dass du am Ende auf [mm] $...\le (n^2+2n+1)+4=(n+1)^2+4$ [/mm] kommst ...
Zum Vergrößern kannst du irgendwas Positives addieren, schaue, was du brauchst und addiere es entsprechend drauf 
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:32 Sa 04.10.2008 | | Autor: | LiliMa |
Sorry. Ich komm mir zwar langsam blöd vor aber leider verstehe ich von hier:
> Du hast doch nach IV [mm]\red{4n\le n^2+4}[/mm]
>
> Im Induktionsschritt musst du zeigen, dass dann gefälligst
> auch [mm]4\blue{(n+1)}\le \blue{(n+1)^2}+4[/mm] ist.
>
> Also schreibe die linke Seite hin und versuche so
> abzuschätzen, dass du auf die rechte Seite kommst:
>
> [mm]4(n+1)=\red{4n}+4\overset{\text{nach IV}}{\le}\red{n^2+4}+4[/mm]
>
> Jetzt versuche mal, das weiter nach oben abzuschätzen, also
> zu vergrößern, so dass du am Ende auf [mm]...\le (n^2+2n+1)+4=(n+1)^2+4[/mm]
> kommst ...
>
> Zum Vergrößern kannst du irgendwas Positives addieren,
> schaue, was du brauchst und addiere es entsprechend drauf
>
bis hier, nur Bahnhof.
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Hallo nochmal,
hmm, vllt. wäre es ganz sinnvoll, wenn du mal genauer erklärst, was dir unklar ist!
Das Prinzip der Induktion kennst du?
IA war klar!
Im Induktionsschritt von [mm] $n\to [/mm] n+1$ musst du doch zeigen, dass die Beh. unter der Voraussetzung, dass sie für ein beliebiges, aber festes n gilt (=Induktionsvoraussetzung IV) gefälligst auch für n+1 gilt
Du gehst also von der Annahme aus, dass die Beh. für ein beliebiges, aber festes n gilt, dass also gilt: [mm] $4n\le n^2+4$
[/mm]
Das ist deine IV, die du als gültig annimmst.
Nun musst du zeigen, dass die Beh. auch für n+1 gilt!
Setze also für alle n mal n+1 ein, dann steht da: [mm] $4(n+1)\le (n+1)^2+4$
[/mm]
Die Gültigkeit dieser Ungleichung musst du zeigen und darfst dabei die IV verwenden, von deren Gültigkeit du ausgehst
zu zeigen: [mm] $4(n+1)\le (n+1)^2+4$
[/mm]
Es ist $4(n+1)=4n+4$
Hier kommt die IV ins Spiel: du weißt, dass [mm] $4n\le n^2+4$ [/mm] gilt, das kannst du benutzen, also
[mm] $4n+4\le (n^2+4)+4$
[/mm]
[mm] $=n^2+8$
[/mm]
Wo willst du hin?
Zu [mm] $(n+1)^2+4$, [/mm] also versuche mal zu begründen, warum gilt:
[mm] $n^2+8\le n^2+2n+5$ [/mm] ...
Damit wärest du fertig, denn du hättest als Kette (ohne Zwischenschritte) gezeigt; [mm] $4(n+1)\le (n^2+2n+5)=(n+1)^2+4$
[/mm]
Also genau das, was zu zeigen war.
Begründe also die Abschätzung ein paar Zeilen höher, dann hast du's
LG
schachuzipus
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