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Forum "Uni-Analysis-Induktion" - Vollständige Induktion
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Vollständige Induktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:40 Mi 21.01.2009
Autor: Lisa-19

Aufgabe
Für n [mm] \in [/mm] IN mit [mm] n\ge [/mm] 4 ist n! > [mm] 2^n [/mm]

I-Anfang: Für n=4 gilt:
4! > [mm] 2^4 [/mm]
24 > 16  wahre Aussage

I-Schritt:
I-Voraussetzung: Für ein beliebiges n [mm] \in [/mm] IN mit n [mm] \ge [/mm] 4 gilt:
n! > [mm] 2^n [/mm]

I-Behauptung: Für den Nachfolger n+1 gilt:
(n+1)! > 2^(n+1)

I-Beweis:
Ich habe leider überhaupt keine Ahnung, was ich an (n+1)! verändern kann.
ich würde die I-Behauptung dann so betrachten: 2^(n+1)< n!
und dann beim Beweis:
2^(n+1)= [mm] 2^n [/mm] * 2 < n! *2
Jetzt weiß ich nicht wie ich weiter machen soll. Kann mir jemand helfen?

        
Bezug
Vollständige Induktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:49 Mi 21.01.2009
Autor: MathePower

Hallo Lisa-19,

> Für n [mm]\in[/mm] IN mit [mm]n\ge[/mm] 4 ist n! > [mm]2^n[/mm]
>  I-Anfang: Für n=4 gilt:
>  4! > [mm]2^4[/mm]

>  24 > 16  wahre Aussage

>  
> I-Schritt:
>  I-Voraussetzung: Für ein beliebiges n [mm]\in[/mm] IN mit n [mm]\ge[/mm] 4
> gilt:
>  n! > [mm]2^n[/mm]

>  
> I-Behauptung: Für den Nachfolger n+1 gilt:
>  (n+1)! > 2^(n+1)

>  
> I-Beweis:
>  Ich habe leider überhaupt keine Ahnung, was ich an (n+1)!
> verändern kann.
>  ich würde die I-Behauptung dann so betrachten: 2^(n+1)<
> n!
>  und dann beim Beweis:
>  2^(n+1)= [mm]2^n[/mm] * 2 < n! *2

Jetzt mußt Du nur noch zeigen, für welche n gilt:

[mm]2n! < \left(n+1\right)![/mm]


>  Jetzt weiß ich nicht wie ich weiter machen soll. Kann mir
> jemand helfen?


Gruß
MathePower

Bezug
                
Bezug
Vollständige Induktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:59 Mi 21.01.2009
Autor: smarty

Hallo MathePower,

> Hallo Lisa-19,
>  
> > Für n [mm]\in[/mm] IN mit [mm]n\ge[/mm] 4 ist n! > [mm]2^n[/mm]
>  >  I-Anfang: Für n=4 gilt:
>  >  4! > [mm]2^4[/mm]

>  >  24 > 16  wahre Aussage

>  >  
> > I-Schritt:
>  >  I-Voraussetzung: Für ein beliebiges n [mm]\in[/mm] IN mit n [mm]\ge[/mm]
> 4
> > gilt:
>  >  n! > [mm]2^n[/mm]

>  >  
> > I-Behauptung: Für den Nachfolger n+1 gilt:
>  >  (n+1)! > 2^(n+1)

>  >  
> > I-Beweis:
>  >  Ich habe leider überhaupt keine Ahnung, was ich an
> (n+1)!
> > verändern kann.
>  >  ich würde die I-Behauptung dann so betrachten: 2^(n+1)<
> > n!
>  >  und dann beim Beweis:
>  >  2^(n+1)= [mm]2^n[/mm] * 2 < n! *2
>  
> Jetzt mußt Du nur noch zeigen, für welche n gilt:
>  
> [mm]2n! < \left(n+1\right)![/mm]

das wurde doch schon im Induktionsanfang gezeigt. Ich finde sie sollte lieber da weiter machen, wo sie aufgehört hat.

2n!<....<....<....<(n+1)n!=(n+1)!


Viele Grüße
Smarty

Bezug
                
Bezug
Vollständige Induktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:05 Mi 21.01.2009
Autor: Lisa-19

ich hab noch was rausgefunden:
(n+1)! = (n+1)*n*(n-1)*(n-2)*...*(2*1)=(n+1)*n! > [mm] (n+1)*2^n [/mm] wegen [mm] n\ge4 [/mm] ist [mm] (n+1)*2^n> 2*2^n [/mm]
Ist das richtig?

Bezug
                        
Bezug
Vollständige Induktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:09 Mi 21.01.2009
Autor: smarty

Hallo Lisa,


> ich hab noch was rausgefunden:
>  (n+1)! = (n+1)*n*(n-1)*(n-2)*...*(2*1)=(n+1)*n! >

> [mm](n+1)*2^n[/mm] wegen [mm]n\ge4[/mm] ist [mm](n+1)*2^n> 2*2^n[/mm]
>  Ist das
> richtig?

genau das hatte ich gemeint [ok]


Grüße
Smarty



Bezug
                                
Bezug
Vollständige Induktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:13 Mi 21.01.2009
Autor: Lisa-19

Vielen Dank :)

Bezug
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