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Hallo!
Wie haben eine Hausaufgabe auf und ich weiß nicht so recht wie ich beginnen soll.
Die Aufgabe lautet:
Zeigen Sie:
Sei [mm] b\in\IN\backslash [/mm] {1}, so existiert für jedes [mm] x\in\IN [/mm] ein [mm] n\in\IN_{0}, [/mm] so dass [mm] b^n\le x
Wir sollen das per VI beweisen, aber ich bin etwas verwirrt. Es reicht doch in diesem Fall nicht aus nur n zu ersetzen, oder? Kann mir jemand Anschwung geben?
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Hallo ohmeinkreuz,
für jeder Basis b>1 ist also wahr, dass jede natürliche Zahl zwischen zwei aufeinanderfolgenden Potenzen von b liegt oder einer solchen Potenz gleich ist.
Das Problem an der Aufgabe ist, dass Du das sowohl für jedes b zeigen musst, als auch für jedes x.
n ist daher hier eher nicht die Variable, die Du für die Induktion brauchst. Überhaupt scheint mir vollständige Induktion hier kein hilfreiches Verfahren zu sein.
Nimm an, b sei fest (beginne mit b=2). Wie bestimmst Du nun für ein beliebiges x das zugehörige n?
Was ändert sich, wenn b einen anderen Wert hat?
Fertig.
Ach, noch eine andere Idee:
Alternativ kannst Du, wieder bei festem b, doch n laufen lassen, ab n=0. Welche x erfüllen [mm] b^n\le x
Wahrscheinlich ist dieser Lösungsweg gemeint.
Grüße
reverend
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Hi! So. Sorry das ich nicht reagiert habe, nun bin ich wieder da und versuchs weiter...
> Ach, noch eine andere Idee:
> Alternativ kannst Du, wieder bei festem b, doch n laufen
> lassen, ab n=0. Welche x erfüllen [mm]b^n\le x
> damit alle x abgedeckt? Das geht doch per VI.
> Wahrscheinlich ist dieser Lösungsweg gemeint.
Ich glaube eher das diese Variante gemeint ist.
Also,
[mm] b^n \le x
IA: n=0
[mm] b^0 \le x
[mm] \Rightarrow 1\le [/mm] x <b
IV: Für ein beliebiges, aber festes n [mm] \in \IN_0 [/mm] gilt,
[mm] b^n \le x
IS: n= n+1
[mm] b^n^+^1 \le [/mm] x< [mm] b^{(n+1)+1}
[/mm]
.
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macht das Sinn?
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Hallo ohmeinkreuz,
das macht Sinn, wenn Du das Richtige damit zeigen willst, nämlich dass so alle [mm] x\in\IN [/mm] abgedeckt werden, und zwar eineindeutig.
Wenn [mm] x_{max}(n) [/mm] das größte x mit [mm] b^n\le x
So herum aufgezogen, ist die Aufgabe ziemlich trivial, weswegen ich auch nicht ganz einsehe, warum man sie mit VI lösen soll. Aber so ist das halt bei Übungsaufgaben...
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:43 Mo 20.04.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Wie haben eine Hausaufgabe auf und ich weiß nicht so recht
> wie ich beginnen soll.
>
> Die Aufgabe lautet:
> Zeigen Sie:
> Sei [mm]b\in\IN\backslash[/mm] {1}, so existiert für jedes [mm]x\in\IN[/mm]
> ein [mm]n\in\IN_{0},[/mm] so dass [mm]b^n\le x
>
> Wir sollen das per VI beweisen, aber ich bin etwas
> verwirrt. Es reicht doch in diesem Fall nicht aus nur n zu
> ersetzen, oder? Kann mir jemand Anschwung geben?
Hier sollst du $b$ festhalten und Induktion nach $x$ machen. Das geht am einfachsten und saubersten.
LG Felix
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