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| Aufgabe | Zeigen Sie mit Hilfe einer Induktion, dass es ein Polynom [mm] $P_n$ [/mm] gibt, sodass
$ [mm] f^{(n)}(x) [/mm] = [mm] \frac{P_n(x)}{(1-x^2)^{2n}} [/mm] * [mm] exp(\frac{-1}{1-x^2})$
[/mm]
gilt für alle $x [mm] \in [/mm] (-1,1)$ und $n [mm] \in \mathbb{N}$. [/mm] Hier bedeutet [mm] $f^{(n)}$ [/mm] die n-te Ableitung von $f$.
Tipp: es ist nicht erforderlich, eine Formel für [mm] $P_n$ [/mm] anzugeben. |
Wenn ich bei dieser Aufgabe als Ergebnis
[mm] $f^{(n+1)}=\frac{P_n'}{(1-x^2)^{2n}} [/mm] * [mm] exp(\frac{-1}{1-x^2})$
[/mm]
erhalte, dann habe ich die Aufgabe doch gelöst - oder?
[mm] $P_n'$ [/mm] steht dabei für die Ableitung von [mm] $P_n$
[/mm]
Ich habe die Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:18 Fr 22.05.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. fehlt der Induktionsanfang.
2. schleisst man i.A von n auf n+1, d.h. du musst aus
$ [mm] f^{(n)}(x) [/mm] = [mm] \frac{P_n(x)}{(1-x^2)^{2n}} \cdot{} exp(\frac{-1}{1-x^2}) [/mm] $
zeigen:
$ [mm] f^{(n+1)}(x) [/mm] = [mm] \frac{P_{n+1}(x)}{(1-x^2)^{2*(n+1)}} \cdot{} exp(\frac{-1}{1-x^2}) [/mm] $
Bei dir steht nur n.
Gruss leduart
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hi
ja, den ind. anfang habe ich hier weggelassen - klar das der dazugehört.
ich dachte mir halt, [mm] $f^{n+1} [/mm] = [mm] (f^n)'$, [/mm] dann habe ich das berechnet und kam auf o.g. Ergebnis. werde das ganze nochmal durchgehen, und wenn ich heute noch dazu komme, mein rechnung evtl. posten.
aber danke schonmal 
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:33 Fr 22.05.2009 | | Autor: | M.Rex |
> hi
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> ja, den ind. anfang habe ich hier weggelassen - klar das
> der dazugehört.
Na dann ist ja das schonmal geklärt
>
> ich dachte mir halt, [mm]f^{n+1} = (f^n)'[/mm], dann habe ich das
> berechnet und kam auf o.g. Ergebnis. werde das ganze
> nochmal durchgehen, und wenn ich heute noch dazu komme,
> mein rechnung evtl. posten.
Die Idee ist korrekt.
Also: [mm] f^{(n+1)}(x)=\left(f^{(n)}\right)^{'}(x)\stackrel{mit I.V.}{=}\left(\frac{P_n(x)}{(1-x^2)^{2n}}exp(\frac{-1}{1-x^2})\right)^{'}=\ldots [/mm]
>
> aber danke schonmal
Marius
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also, es geht nach wie vor um obige aufgabe.
mein ergebnis bisher lautet:
[mm] $f^{n+1} [/mm] = [mm] (f^n)' [/mm] = [mm] \dots [/mm] = [mm] \frac{1}{(1-x^2)^{2(n+1)}} [/mm] * [mm] \exp(\frac{-1}{1-x^2}) [/mm] * [mm] [P_n'(x)*(1-x^2)^2 [/mm] + [mm] P_n(x)*4nx(1-x^2)-P_n(x)*2x]$
[/mm]
d.h. ich müsste jetzt noch den Term in den eckigen Klammern noch so umformen, dass ich am ende [mm] P_{n+1} [/mm] dastehen habe .
Ich frage mich, ob hier folgendes gilt:
[mm] $P_n(x) [/mm] * x = [mm] P_{n+1}(x)$, [/mm] denn wenn ich ein polynom mit x multipliziere, erhöht sich ja der Grad des Polynoms genau um 1.
Wenn dem so ist, müsste auch [mm] $P_n'(x) [/mm] * [mm] x^2 [/mm] = [mm] P_{n+1}$ [/mm] sein.
Sind meine Gedankengänge soweit erstmal richtig??
Denn wenn ich dann weiterrechne komme ich auf folgendes - Rechnung nur für die eckige Klammer:
[mm] $P_n'(x) [/mm] - [mm] 2*P_{n+1}(x) [/mm] + [mm] P_{n+3}(x) [/mm] + [mm] 4n*P_{n+1}(x) [/mm] - [mm] 4n*P_{n+3}(x)-2*P_{n+1}(x) [/mm] =$
$= [mm] P_n'(x) [/mm] + [mm] P_{n+3}(x)*(1-4n)+4*P_{n+1}(x) [/mm] *(n-1)$
und nu...? ![[help]](/images/smileys/help.gif "[help]")
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:59 Sa 23.05.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Die Ideen sind soweit korrekt.
Zeig doch dann mal die Rechnungen, die dich auf
[mm] P_n'(x) [/mm] + [mm] P_{n+3}(x)\cdot{}(1-4n)+4\cdot{}P_{n+1}(x) \cdot{}(n-1)
[/mm]
führen
Marius
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Naja, so viele Schritte waren da nicht dazwischen...
[mm] $P_n'(x)*(1-x^2)^2 [/mm] + [mm] P_n(x)*4nx(1-x^2)-P_n(x)*2x [/mm] =$
[mm] $=P_n'(x)*(1-2x^2+x^4)+P_n(x)*(4nx-4nx^3)-P_n(x) [/mm] * 2x = $
[mm] $=P_n'(x) [/mm] - [mm] 2*P_{n+1}(x) [/mm] + [mm] P_{n+3}(x) [/mm] + [mm] 4n*P_{n+1}(x) [/mm] - [mm] 4n*P_{n+3}(x)-2*P_{n+1}(x) [/mm] =$
$= [mm] P_n'(x) [/mm] + [mm] P_{n+3}(x)*(1-4n)+4*P_{n+1}(x) [/mm] *(n-1)$
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:34 Sa 23.05.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
hab ich was uebersehen, oder hast due die expfkt. nicht abgeleitet?
Gruss leduart
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es ging um mein "ergebnis" der aufgabe
[mm] $f^{n+1} [/mm] = [mm] (f^n)' [/mm] = [mm] \dots [/mm] = [mm] \frac{1}{(1-x^2)^{2(n+1)}} [/mm] * [mm] \exp(\frac{-1}{1-x^2}) [/mm] * [mm] [P_n'(x)*(1-x^2)^2 [/mm] + [mm] P_n(x)*4nx(1-x^2)-P_n(x)*2x]$
[/mm]
und wie ich den term in den eckigen klammern umformen kann, so dass ich am ende für die eckige klammer [mm] $P_{n+1}(x)$ [/mm] erhalte. darum enthalten die folgenden beiträge nur meine rechnungen für die eckige klammer.
erklärt das die "fehlende" e-funktion? oder überseh ich grad was?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:19 Sa 23.05.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ich hab die Aufgabe noch mal genau gelesen. es steht da nicht explizit, dass [mm] P_n [/mm] ein Polynom n.ten Grades ist. nur dass es ein Polynom ist und nen index n hat, weil es eben zur nten ableitung gehoert.
schon bei f'' hat man ken polynom 2 ten Grades mehr.
Dann bist du schon fertig, wenn du zeigst, dass bei dem gegebenen Nenner im Zaehler ein polynom steht, und das hast du ja.
(rechne sicherheitshalber auch f'' explizit aus, damit ich nicht nen fehler gemacht habe.)
(Deine Abl. waren korrekt)
Gruss leduart
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