Vollständige Induktion < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:39 Fr 10.07.2009 | | Autor: | equity |
| Aufgabe | Beweisen sie durch vollständige Induktion die Aussage
[mm] \summe_{k=0}^{n-1}(2*k+1)=n^2 [/mm] für alle [mm] n\in \IN\setminus\left\{0\right\} [/mm] |
Hallo,
das Prinzip der Vollständigen Induktion an sich habe ich ja verstanden, aber an einer bestimmten Stelle verstehe ich zum Beispiel bei dieser Aufgabe nicht, wie man darauf kommt.
Also:
IA: n=1
[mm] \summe_{k=0}^{1-1}(2*k+1)=1^2=(2*0+1)
[/mm]
IV.: Die Behauptung sei wahr für ein beliebiges, aber festes [mm] n\in \IN\setminus\left\{0\right\}.
[/mm]
IS.: [mm] n\to [/mm] n+1
[mm] \summe_{k=0}^{(n+1)-1}(2*k+1)=\summe_{k=0}^{n-1}(2*k+1)+(2*n+1)= [/mm] IV [mm] n^2+2*n+1=(n+1)^2
[/mm]
[mm] \Box
[/mm]
Ich verstehe bei dem Induktionsschritt nicht, wie man auf das hier kommt:
[mm] \summe_{k=0}^{(n+1)-1}(2*k+1)=\summe_{k=0}^{n-1}(2*k+1)+(2*n+1)
[/mm]
Besonders wie man auf die Grenzen im Summenzeichen kommt. Kann mir das jemand bitte erklären?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:48 Fr 10.07.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo equity!
[mm] $$\summe_{k=0}^{(n+1)-1}(2*k+1)$$
[/mm]
$$= \ [mm] \summe_{k=0}^{n}(2*k+1)$$
[/mm]
$$= \ [mm] \summe_{k=0}^{n-1}(2*k+1)+\summe_{k=n}^{n}(2*k+1)$$
[/mm]
$$= \ [mm] \summe_{k=0}^{n-1}(2*k+1)+(2*n+1)$$
[/mm]
Nun klar(er)?!
Gruß
Loddar
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