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| Aufgabe | b)
Für jedes [mm] n\ge1 [/mm] gilt [mm] \summe_{k=1}^{n} [/mm] (k*k!)=(n+1)!-1
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Folgende Regeln sind mir bekannt:
4! = 1*2*3*4 = 24
(n+1)! kann umgeschrieben werden in (n+1)*n! und die immer weiter mit -1 z.b.: (n+1)! = (n+1)*n*(n-1)*(n-2)...(n-x)!
Dann gäbe es noch den Bezug zu den Binominalkoeffizienten: [mm] \vektor{n \\ k}=\bruch{n!}{(n-k)!k!}
[/mm]
Induktionsanfang:
[mm] \summe_{k=1}^{n} [/mm] 1*1! = (1+1)!-1
1=2-1
1=1
Beweisen, da linke Seite ist gleich der rechten Seite!
Induktionsschritt: (n+1)
[mm] \summe_{k=1}^{n+1} [/mm] (k*k!)=(n+1)!-1
(n+1)(n+1)!+(n+1)!-1 = (n+2)!-1
Soweit bin ich nun gekommen, jedoch bereiten mir hierbei die Fakultäten ein Problem, da ich nicht zu 100% weiß wie ich diese sinnvoll ausmultiplizieren könnte!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:02 Mo 12.10.2009 | | Autor: | abakus |
> b)
> Für jedes [mm]n\ge1[/mm] gilt [mm]\summe_{k=1}^{n}[/mm] (k*k!)=(n+1)!-1
>
> Folgende Regeln sind mir bekannt:
>
> 4! = 1*2*3*4 = 24
>
> (n+1)! kann umgeschrieben werden in (n+1)*n! und die immer
> weiter mit -1 z.b.: (n+1)! = (n+1)*n*(n-1)*(n-2)...(n-x)!
>
> Dann gäbe es noch den Bezug zu den Binominalkoeffizienten:
> [mm]\vektor{n \\ k}=\bruch{n!}{(n-k)!k!}[/mm]
>
>
> Induktionsanfang:
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n}[/mm] 1*1! = (1+1)!-1
> 1=2-1
> 1=1
>
> Beweisen, da linke Seite ist gleich der rechten Seite!
>
> Induktionsschritt: (n+1)
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n+1}[/mm] (k*k!)=(n+1)!-1
> (n+1)(n+1)!+(n+1)!-1 = (n+2)!-1
Hallo,
die als richtig anzunehmende Induktiosvoraussetzung lautet.
[mm]\summe_{k=1}^{n}[/mm] (k*k!)=(n+1)!-1
Die Induktionsbehauptung ist somit
[mm]\summe_{k=1}^{n+1}[/mm] (k*k!)=(n+2)!-1
Nun ist [mm]\summe_{k=1}^{n+1}[/mm] (k*k!) ja nichts weiter als [mm]\summe_{k=1}^{n}[/mm] (k*k!) + (n+1)*(n+1)!
Du kannst also die Induktionsvoraussetzung hernehmen, auf beiden Seiten den neu hinzukommenden Summanden addieren und zeigen, dass sich die so entstehende rechte Seite der Gleichung zu (n+2)!-1 umformen lässt.
Gruß Abakus
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> Soweit bin ich nun gekommen, jedoch bereiten mir hierbei
> die Fakultäten ein Problem, da ich nicht zu 100% weiß wie
> ich diese sinnvoll ausmultiplizieren könnte!
>
>
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Hi abakus,
danke für deine Antwort!
Genau darin liegt ja mein Problem, die Multiplikationen kann ich ohne weiteres zusammenfassen! (Wie ich bei den Rechenregeln angegeben habe!)
Jedoch die Summe der Fakultäten, diese kann ich zwar zusammenfassen z.B. so:
(n+1)*2*(n+1)!-1 = (n+2)!-1
oder auch die Multiplikation so:
(n+2)!+(n+1)!-1 = (n+2)!-1
jedoch weiter komme ich hierbei nicht!
Ich kann hierbei ja nicht einfach die Fakultät "ignorieren" und reinmultiplizieren!
Ich meine dies geht nicht, da eine Fakultät ja so aussieht: 4! = 1*2*3*4 = 24
und wenn ich nun 2(2+1)! hätte wären das 2*(1*2+1)! => 2*3! => 2*(1*2*3) => 2*6 => 12
Wenn ich nun aber (2*2+2*1)! rechne erhalte ich (4+2)! => 6! [mm] \not=2*3! [/mm]
Darum ist diese Rechnung hier folgerichtig falsch!
(n+1)*(2n+2)!-1 = (n+2)!-1
[mm] (2n^{2}+4n+2)!-1 [/mm] = (n+2)!-1
jedoch weiß ich nicht wie ich jetzt die Umformung vornehmen muß!
bzw. weiter vornehmen muß!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:01 Mo 12.10.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hi abakus,
> danke für deine Antwort!
>
> Genau darin liegt ja mein Problem, die Multiplikationen
> kann ich ohne weiteres zusammenfassen! (Wie ich bei den
> Rechenregeln angegeben habe!)
> Jedoch die Summe der Fakultäten, diese kann ich zwar
> zusammenfassen z.B. so:
>
> (n+1)*2*(n+1)!-1 = (n+2)!-1
Wo kommt denn die 2 links her ?
Es ist nach ind. Vor:
[mm] $\summe_{k=1}^{n+1}k*k! [/mm] = (n+1)!-1+(n+1)!(n+1) = (n+1)![1+n+1]-1 = (n+1)!(n+2) -1 = (n+2)!-1$
FRED
>
> oder auch die Multiplikation so:
>
> (n+2)!+(n+1)!-1 = (n+2)!-1
>
> jedoch weiter komme ich hierbei nicht!
>
>
> Ich kann hierbei ja nicht einfach die Fakultät
> "ignorieren" und reinmultiplizieren!
>
> Ich meine dies geht nicht, da eine Fakultät ja so
> aussieht: 4! = 1*2*3*4 = 24
>
> und wenn ich nun 2(2+1)! hätte wären das 2*(1*2+1)! =>
> 2*3! => 2*(1*2*3) => 2*6 => 12
> Wenn ich nun aber (2*2+2*1)! rechne erhalte ich (4+2)! =>
> 6! [mm]\not=2*3![/mm]
>
> Darum ist diese Rechnung hier folgerichtig falsch!
> (n+1)*(2n+2)!-1 = (n+2)!-1
>
> [mm](2n^{2}+4n+2)!-1[/mm] = (n+2)!-1
>
>
> jedoch weiß ich nicht wie ich jetzt die Umformung
> vornehmen muß!
> bzw. weiter vornehmen muß!
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> Es ist nach ind. Vor:
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n+1}k*k! = (n+1)!-1+(n+1)!(n+1) = (n+1)![1+n+1]-1 = (n+1)!(n+2) -1 = (n+2)!-1[/mm]
>
> FRED
>
hi fred,
bis hier ist es mir klar: [mm] \summe_{k=1}^{n+1}k*k! [/mm] = (n+1)!-1+(n+1)!(n+1)
jedoch wie kommst du hier auf: (n+1)![1+n+1]-1 ?
Die nächsten Schritte wären dann wieder klar!
(n+1)!(n+2) -1 = (n+2)!-1
Nur der mittlere Schritt, den kann ich mir nicht herleiten!
(n+1)![1+n+1]-1
Wo bzw. wie erhältst du den Term ?
Was genau wandelst du dort wie um ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:28 Mo 12.10.2009 | | Autor: | fred97 |
> > Es ist nach ind. Vor:
> >
> > [mm]\summe_{k=1}^{n+1}k*k! = (n+1)!-1+(n+1)!(n+1) = (n+1)![1+n+1]-1 = (n+1)!(n+2) -1 = (n+2)!-1[/mm]
>
> >
> > FRED
> >
>
> hi fred,
>
> bis hier ist es mir klar: [mm]\summe_{k=1}^{n+1}k*k![/mm] =
> (n+1)!-1+(n+1)!(n+1)
> jedoch wie kommst du hier auf: (n+1)![1+n+1]-1 ?
(n+1)!-1+(n+1)!(n+1) = (n+1)!+(n+1)!(n+1) -1
Die beiden ersten Summanden recht kann man zusammenfassen zu ... , wenn man (n+1)! ausklammert ?
FRED
> Die nächsten Schritte wären dann wieder klar!
> (n+1)!(n+2) -1 = (n+2)!-1
>
> Nur der mittlere Schritt, den kann ich mir nicht
> herleiten!
>
> (n+1)![1+n+1]-1
>
> Wo bzw. wie erhältst du den Term ?
> Was genau wandelst du dort wie um ?
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Vielen Dank, die Ausklammerung habe ich gestern übersehen!
War zu fixiert auf die Fakultäten, um diese irgendwie zu "beseitigen" ;)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:17 Mo 12.10.2009 | | Autor: | ms2008de |
Hallo,
Zu deinem ersten Versuch eben nur ein kurzer Hinweis:
Wenn du versucht nachzuweisen, dass auf beiden Seiten das selbe herauskommt, dann folgerst du aus etwas Wahrem etwas Wahres, was eig. nicht einem formal korrekten Beweis entspricht.
Du musst von der einen Seite, die andere folgern können.
Viele Grüße
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Du meinst damit das "Gleicheitszeichen" in der Mitte oder ?
Also auf dem Papier verwende ich anstelle dem = ein != wobei das ! über dem = steht um das "Es gilt zu beweisen" darzustellen!
(Zumindest unser Matheprof macht dies so! ;))
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