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| Aufgabe | | Beweisen Sie mit vollständiger Induktion, dass für jede ungerade Zahl n, die Zahl [mm] n^{2}-1 [/mm] durch 8 teilbar ist. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habe hierfür den Induktionsanfang festgelegt auf n = 1.
Also:
IA: Für n = 1 gilt [mm] \bruch{1^{2}-1}{8} [/mm] = 0 .
Induktionsvorraussetzung: [mm] \forall [/mm] ungerade n gilt [mm] \bruch{n^{2}-1}{8}
[/mm]
Da nur ungerade Zahlen interssant sind, habe ich für die Induktionsbehauptung n+2 gewählt.
IB: Für n + 2 = [mm] \bruch{(n+2)^{2}-1}{8}
[/mm]
Induktionsschritt:
[mm] \bruch{n^{2}-1}{8} [/mm] + (n+2)
= [mm] \bruch{n^{2}-1+8(n+2)}{8}
[/mm]
= [mm] \bruch{n^{2}+8n+16-1}{8}
[/mm]
= [mm] \bruch{(n+4)^{2}-1}{8}
[/mm]
Ab diesem Punkt komme ich nicht mehr weiter. Ich sehe nicht, wie ich nun weiter vorgehen könnte, um die Aussage zu beweisen. Das heißt also entweder die Aussage ist falsch (wo ich aber bezweifle, dass ich in der ersten Aufgabe dieser Art eine falsche Behauptung bekomme), ich habe einen Fehler gemacht oder habe keine Idee mehr wie es weiter geht.
Daher wende ich mich hier ans Forum, ob mir jemand hier weiterhelfen kann. Ob es halt auch für ihn eine falsche Aussage ist, oder er mir den Fehler oder einen Tipp geben kann.
Dankeschön.
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Hallo,
> Beweisen Sie mit vollständiger Induktion, dass für jede
> ungerade Zahl n, die Zahl [mm]n^{2}-1[/mm] durch 8 teilbar ist.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Ich habe hierfür den Induktionsanfang festgelegt auf n =
> 1.
> Also:
>
> IA: Für n = 1 gilt [mm]\bruch{1^{2}-1}{8}[/mm] = 0 .
>
> Induktionsvorraussetzung: [mm]\forall[/mm] ungerade n gilt
> [mm]\bruch{n^{2}-1}{8}[/mm]
Das ist keine Aussage, schreib doch besser mal [mm] n^{2}-1= [/mm] 8k, k [mm] \in \IN [/mm] soll gelten für ein n [mm] \ge [/mm] 1
>
> Da nur ungerade Zahlen interssant sind, habe ich für die
> Induktionsbehauptung n+2 gewählt.
Gut
> IB: Für n + 2 = [mm]\bruch{(n+2)^{2}-1}{8}[/mm]
>
> Induktionsschritt:
> [mm]\bruch{n^{2}-1}{8}[/mm] + (n+2)
Was du an der Stelle gemacht hast weiß ich ich nicht, versuche zu zeigen, dass [mm] (n+2)^{2}-1 [/mm] =8k´, am besten löst du zunächst mal nach der binomischen Formel auf, dann solltest du schnell weiter kommen.
Viele Grüße
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Hey, danke schonmal für deine Hilfe.
Allerdings scheine ich echt zu blöd zu sein, um auf eine Lösung zu kommen.
Hier mal, was ich versucht habe für den Induktionsschritt (leider nicht viel):
[mm] n^{2}-1 [/mm] + n + 2 = 8k
[mm] n^{2} [/mm] + n + 1 = 8k
Das sieht jetzt zwar nach einer binomischen Formel aus, aber irgendwie kann ich die nicht sinnvoll einsetzen. Was hab ich also diesmal schon wieder falsch gemacht?
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Hallo,
im Induktionsschritt willst Du ja zeigen, daß, sofern [mm] n^2-1 [/mm] für ungerades n durch 8 teilbar ist, dies auch für [mm] (n+2)^2-1 [/mm] der Fall ist.
Beginne mit [mm] (n+2)^2-1 [/mm] = und forme dies unter Verwendung der Induktionsvoraussetzung so lange um, bis Du am Ende ...= 8*(nat. Zahl) dastehen hast:
[mm] (n+2)^2-1 [/mm] = ...=...=...=...=...=8*(...)
Mach mal!
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Du kannst ja jede ungerade Zahl schreiben als 2n+1.
Damit kannst Du die Behauptung umformulieren:
Es ist (2n+1)^-1 teilbar durch 8 für jedes [mm] n\in \IN.
[/mm]
Wenn Du das so formulierst, kannst Du später im Induktionsschritt nämlich n wirklich durch n+1 ersetzen, denn so geht ja eine richtige vollständige Induktion.
Angela
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Hallo Angela,
du bist ja auch schon wieder früh auf in dieser
extra langen Nacht ...
> Du kannst ja jede ungerade Zahl schreiben als 2n+1.
besser: 2n-1
(damit mit [mm] n\in\IN [/mm] die Eins nicht unter den Tisch fällt)
Gruß  Al
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> Hallo Angela,
>
> du bist ja auch schon wieder früh auf in dieser
> extra langen Nacht ...
Ja, das ist immer die Morgenkonferenz mit dem lieben Katerchen. (Er zerreißt die Papiere auf dem Schreibtisch, wenn man nicht teilnimmt.)
Gruß v. Angela
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Ich kriegs irgendwie absolut nicht hin...
Also hier wie ichs nach dem Tipp versucht habe:
IA: Für n = 1 gilt (2 * 1 - [mm] 1)^2 [/mm] -1 / 8 = 0
IV: (2n - 1 [mm] )^2 [/mm] - 1 / 8 = K
IB: [mm] (2(n+1)-1)^2 [/mm] - 1 / 8 = (2n + [mm] 1)^2 [/mm] - 1 / 8 = [mm] 4n^2 [/mm] + 4n + 1 - 1 / 8
= [mm] 4n^2 [/mm] + 4n / 8
Jetzt wollte ich die Binomi zurückführen, aber irgendwie mache ich da wohl einen Fehler, denn dann geht es nicht auf.
= (2n + [mm] 1)^2 [/mm] / 8
IS: [mm] \bruch{(2n - 1)^2 - 1}{8} [/mm] + (n+1)
= (2n - [mm] 1)^2 [/mm] - 1 + 8n + 8 / 8
= [mm] 4n^2 [/mm] - 4n + 1 - 1 + 8n + 8 / 8
= [mm] 4n^2 [/mm] + 4n + 8 / 8
Und wieder komme ich nicht dazu IB im IS zu beweisen. Ich fühle mich so langsam echt blöd.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:54 So 25.10.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
irgendwie machst du was voellig falsch.
Offensichtlich hast du irgendwie bisher immer Induktion mit Summen gemacht.
Da, und nur da , addiert man oft einfach das neue Summenglied an die alte Summe.
Hier geht es um Teilbarkeit. n=1 hast du.
Du weisst: IndVors [mm] :(2n-1)^2-1=8k k\in\IN
[/mm]
du willst zeigen: [mm] (2(n+1)-1)^2-1=8m m\in\IN
[/mm]
also Beh: [mm] (2n+1)^2-1 [/mm] =8m
jetzt rechnen:
[mm] 4n^2+4n+1-1=4n^2-4n+8n+1-1=(2n-1)^2-1+8n
[/mm]
siehst du, dass das unter Benutzung der Indvors, durch 8 teilbar ist?
Du musst immer versuchen die Indvors, das einzige was du weisst in der formel zu sehen. Wenn du die Ergaenzung, die ich gemacht habe nicht siehst zieh einfach die Indvors von der Beh. ab. dann hast du auch die 8n
Du hast beim rechnen das Ziel die indvors zu benutzen aus den Augen verloren. Und ohne die gehts keine Induktion.
Gruss leduart
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Also irgendwie will das so gar nicht in meinen Kopf rein.
Ich hatte halt nur gezeigt bekommen, dass man eben die Induktionsvoraussetzung aufstellt und die Induktionsbehauptung.
Dann addiert man zu der Induktionsvorsausetzung n+1 dazu und versucht so auf die Induktionsbehauptung zu kommen, womit die Aussage bewiesen wurde.
Warum ist das denn hier nicht mehr richtig?
Aber auch den Induktionsschritt verstehe ich nun nicht. Wie muss ich denn da nun vorgehen?
Ich habe auch versucht herauszufinden, wo die 8n herkommen und sehe auch, dass bei IB - IV 8n herauskommt. Aber wieso ist 8n denn dann beim Induktionsschritt dabei??
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> Also irgendwie will das so gar nicht in meinen Kopf rein.
> Ich hatte halt nur gezeigt bekommen, dass man eben die
> Induktionsvoraussetzung aufstellt und die
> Induktionsbehauptung.
> Dann addiert man zu der Induktionsvorsausetzung n+1 dazu
> und versucht so auf die Induktionsbehauptung zu kommen,
> womit die Aussage bewiesen wurde.
> Warum ist das denn hier nicht mehr richtig?
Hallo,
offenbar hast Du die Induktion nur an sehr speziellen Beispielen geübt und das prinzip überahupt nicht verstanden.
Induktion geht so:
Du hast eine Aussage, welche zu beweisen ist für alle [mm] n\in \IN [/mm] (oder z.B. für alle nat. [mm] \ge [/mm] 5)
Man startet mit dem Induktionsanfang:
hier zeigt man, daß die Behauptung für die kleinste der zahlen gilt.
Dann nimmt man einfach an, daß die Behauptung für irgendein [mm] n\in \IN [/mm] gilt. (Hier muß man nichts arbeiten, einfach hinschreiben).
Im Induktionsschluß kommt die Arbeit:
Man zeigt hier mithilfe der Induktionsannahme, daß dann die Behauptung auch für die auf n folgende Zahl, also für n+1, gilt.
Die zu zeigende Aussage erhält man, wenn man in der Behauptung an jeder Stelle, an welcher n stand, das n durch n+1 ersetzt. (Ersetzen! Nix da mit Addieren.)
Ich zeige das jetzt mal grob:
Behauptung: Für alle [mm] n\in \IN [/mm] gibt es ein [mm] k\in \IN [/mm] mit [mm] (2n-1)^2-1=8k [/mm] .
Induktionsanfang: n=1
Es ist [mm] (2*1-1)^2-1=0=8*0.
[/mm]
Induktionsannahme:
Für ein [mm] n\in \IN [/mm] findet man ein [mm] k\in \IN [/mm] mit [mm] (2n-1)^2-1=8k
[/mm]
Induktionsschluß:
zu zeigen: dann gibt es ein k' mit [mm] (2(n+1)-1)^2-1=8k' [/mm]
Beweis:
[mm] (2(n+1)-1)^2-1=(2n+1)^2 [/mm] - 1= [mm] 4n^2+ [/mm] 4n +1-1= [mm] 4n^2-4n [/mm] +8n+1-1= [mm] ((2n-1)^2-1)+8n= [/mm] (Ind,Vor)+8n= ???
Gruß v. Angela
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