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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:14 Di 09.02.2010 | | Autor: | raida |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass für alle n [mm] \in [/mm] N gilt: (2n)! < [mm] (n!)^2 [/mm] *16 |
Hallo,
bin mir unsicher bei diesem Induktionsbeweis. Kommt mir irgendwie zu einfach vor, denke, dass ich irgendwie falsch gedacht habe, vlt. kann jemand sich das kurz anschauen:
I.A. ist klar
I.Vor.: (2n)! < [mm] (n!)^2 [/mm] *16
I. Beh.: n [mm] \to [/mm] n+1: (2(n+1))! < [mm] (n!)^2 [/mm] *16*(n+1)
//da ja auf der linken Seite um von Vor. nach Beh. zu kommen mit (n+1) multipliziert wird: folgt aus: [mm] \bruch{(2n+1)!}{2n!} [/mm] = [mm] \bruch{2!n!(n+1)}{2n!} [/mm] = (n+1)!
I.S.: (2(n+1))! < [mm] (n!)^2 [/mm] *16*(n+1)
2!n!(n+1) < [mm] (n!)^2 [/mm] *16*(n+1)
2!n! < [mm] (n!)^2 [/mm] *16
2 < n!*16
erfüllt für alle n [mm] \in [/mm] N
Vielen Dank.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:45 Di 09.02.2010 | | Autor: | abakus |
> Zeigen Sie, dass für alle n [mm]\in[/mm] N gilt: (2n)! < [mm](n!)^2[/mm]
> *16
> Hallo,
> bin mir unsicher bei diesem Induktionsbeweis. Kommt mir
> irgendwie zu einfach vor, denke, dass ich irgendwie falsch
> gedacht habe, vlt. kann jemand sich das kurz anschauen:
>
> I.A. ist klar
>
> I.Vor.: (2n)! < [mm](n!)^2[/mm] *16
> I. Beh.: n [mm]\to[/mm] n+1: (2(n+1))! < [mm](n!)^2[/mm] *16*(n+1)
>
> //da ja auf der linken Seite um von Vor. nach Beh. zu
> kommen mit (n+1) multipliziert wird:
Das stimmt nicht. 2(n+1)=2n+2.
Um von (2n)! auf (2n+2)! zu kommen, muss mit (2n+1) UND mit (2n+2) multiliziert werden.
Gruß Abakus
> folgt aus:
> [mm]\bruch{(2n+1)!}{2n!}[/mm] = [mm]\bruch{2!n!(n+1)}{2n!}[/mm] = (n+1)!
>
> I.S.: (2(n+1))! < [mm](n!)^2[/mm] *16*(n+1)
> 2!n!(n+1) < [mm](n!)^2[/mm] *16*(n+1)
> 2!n! < [mm](n!)^2[/mm] *16
> 2 < n!*16
>
> erfüllt für alle n [mm]\in[/mm] N
>
> Vielen Dank.
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:53 Di 09.02.2010 | | Autor: | raida |
Hallo, danke abakus.
Und wie kommst darauf dass mit (2n+1) UND mit (2n+2) multipliziert werden muss? Wäre dir für eine kurze Ausführung dankbar.
Ist denn (2(n+1))! = 2!(n+1)! nicht erlaubt?
Danke
Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:08 Di 09.02.2010 | | Autor: | abakus |
> Hallo, danke abakus.
>
> Und wie kommst darauf dass mit (2n+1) UND mit (2n+2)
> multipliziert werden muss? Wäre dir für eine kurze
> Ausführung dankbar.
>
> Ist denn (2(n+1))! = 2!(n+1)! nicht erlaubt?
>
> Danke
> Grüße
[mm] \b{Beispiel: n=4}
[/mm]
Dann ist 2n=8 (und [mm] 2(n+1)=\red{10}).
[/mm]
n! ist dann 1*2*3*4
(2n)! ist dann 1*2*...*7*8
(2(n+1))! ist dann 1*2*...*7*8 [mm] \red{ * 9*10}
[/mm]
2!*n! wäre dann übrigens lediglich (1*2)*(1*2*3*4), was keinesfalls (2n)! entspricht.
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:16 Di 09.02.2010 | | Autor: | raida |
okay, danke, ist verständlich.
Aber wie weiß ich dann mit wie viel ich multiplizieren muss um von n nach n+1 zu kommen.
[mm] \bruch{(2n+1)!}{(2n)!} [/mm] ist ja dann nicht mehr auflösbar.
Im vorangehenden Thread hattest du geschrieben, dass mit (2n+1) UND mit (2n+2) multipliziert werden muss. Leider weiß ich nicht wie ich darauf komme.
Vielen Dank.
Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:23 Di 09.02.2010 | | Autor: | abakus |
> okay, danke, ist verständlich.
> Aber wie weiß ich dann mit wie viel ich multiplizieren
> muss um von n nach n+1 zu kommen.
>
> [mm]\bruch{(2n+1)!}{(2n)!}[/mm] ist ja dann nicht mehr auflösbar.
>
> Im vorangehenden Thread hattest du geschrieben, dass mit
> (2n+1) UND mit (2n+2) multipliziert werden muss. Leider
> weiß ich nicht wie ich darauf komme.
Induktionsschritt:
Übergang von (2n)! (das ist das lückenlose Produkt aller natürlichen Zahlen von 1 bis 2n)
zu (2(n+1))!, also zu (2n+2)! (das ist das Produkt aller natürlichen Zahlen von 1 bis 2n+2).
Die letzen 5 Faktoren von (2n+2)! lauten [mm] ....\blue{*(2n-2)*(2n-1)*2n}*\red{(2n+1)*(2n+2)}.
[/mm]
Blau habe ich die Faktoren gekennzeichnet, die auch schon in (2n)! enthalten sind, rot die neu hinzukommenden.
>
> Vielen Dank.
>
> Grüße
>
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:23 Di 09.02.2010 | | Autor: | raida |
okay, vielen Dank für deine Mühen.
Ist bei den komplizierteren Induktionsbeweise dann immer so eine individuelle Betrachtung notwendig, oder gibt es da vlt. ein Verfahren oder Tricks, hinter sowas zu kommen?Wie lässt sich der Beweis aber jetzt zu Ende führen, wenn man (2n+2))! nicht umschreiben kann, denn:
(2n+2)! < [mm] (n!)^2 [/mm] *16 *(2n+1)(2n+2)
Meine Idee wäre jetzt vlt. erst durch (2n+2) und dann durch (2n+1) zu teilen, was bei der Fakultät links ergeben würde
(2n+2-1)! = (2n+1)! und dann durch (2n+1) teilen: = (2n)!
Ich weiß allerdings nicht ob dies überhaupt so zulässig ist;)
außerdem stehe ich dann wieder vor der Gleichung
(2n)! = [mm] (n!)^2 [/mm] * 16
oujeh...
Danke.
Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:30 Di 09.02.2010 | | Autor: | abakus |
> Zeigen Sie, dass für alle n [mm]\in[/mm] N gilt: (2n)! < [mm](n!)^2[/mm]
> *16
Hallo,
die Behauptung ist falsch. da sie nur bis n=3 gilt, danach nicht mehr.
Gruß Abakus
> Hallo,
> bin mir unsicher bei diesem Induktionsbeweis. Kommt mir
> irgendwie zu einfach vor, denke, dass ich irgendwie falsch
> gedacht habe, vlt. kann jemand sich das kurz anschauen:
>
> I.A. ist klar
>
> I.Vor.: (2n)! < [mm](n!)^2[/mm] *16
> I. Beh.: n [mm]\to[/mm] n+1: (2(n+1))! < [mm](n!)^2[/mm] *16*(n+1)
>
> //da ja auf der linken Seite um von Vor. nach Beh. zu
> kommen mit (n+1) multipliziert wird: folgt aus:
> [mm]\bruch{(2n+1)!}{2n!}[/mm] = [mm]\bruch{2!n!(n+1)}{2n!}[/mm] = (n+1)!
>
> I.S.: (2(n+1))! < [mm](n!)^2[/mm] *16*(n+1)
> 2!n!(n+1) < [mm](n!)^2[/mm] *16*(n+1)
> 2!n! < [mm](n!)^2[/mm] *16
> 2 < n!*16
>
> erfüllt für alle n [mm]\in[/mm] N
>
> Vielen Dank.
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