Vollständige Induktion < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Keine konkrete Frage. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Guten Abend.
In der Schule haben wir die vollständige Induktion nicht behandelt (wie so wenig Sachen), weswegen ich jetzt einiges nacharbeiten möchte, um für den Vorlesungsbeginn fit zu sein.
Um bspw. die gaußsche Summenformel zu beweisen, nutze ich die vollständige Induktion.
Zunächst beweise ich, dass die Formel für ein beliebiges n [mm] \in \IN [/mm] gilt.
Dieses n wähle ich möglichst klein um mir großen Rechenaufwand zu sparen.
Nun muss man beweisen, dass die Formel für n+1 gilt, sodass ich daraus schließen kann, dass der Beweis für 1, n+1=2, n+1=2+3=3 etc gilt. Bildlich vorgestellt, wie bei umfallenden Dominosteinen.
Habe ich das so richtig verstanden?
Nun nimmt man eine Aussage A(n) und behauptet, dass eben diese Aussage gilt.
[mm] \summe_{k=1}^{n} [/mm] k= n(n+1)/2
Für 1 gilt: [mm] 1=\bruch{1(2)}{2}=1
[/mm]
Damit ist die Aussage für n bewiesen.
Ich nehme also an, dass die Aussage für n wahr ist und beweise damit n+1.
Wie man ausrechnen oder nachschauen kann, ergibt sich für n+1=
[mm] \bruch{(n+1)(n+2)}{2}
[/mm]
Nun kommt der Punkt, den ich nicht verstehe.
Mir ist klar, dass ich für einen konkreten Wert die Summe beweise, wenn auf der linken Seite das gleiche wie auf der rechten Seite steht. Eine Gleichung eben.
Nun steht jetzt hier jedoch am Schluss [mm] \bruch{(n+1)(n+2)}{2}.
[/mm]
Ich habe eigentlich nichts getan, außer n+1 für eine "Aussage" einzusetzen und dies dann gekürzt.
Ebenso gut hätte ich auch am Schluss [mm] \bruch{(n+1)[(n+1)+1]}{2} [/mm] stehen lassen können, oder [mm] \bruch{(n+1)^2+(n+1)}{2}.
[/mm]
Warum ist jedoch nur mit [mm] \bruch{(n+1)(n+2)}{2} [/mm] die vollständige Induktion durchgeführt und nicht mit anderen Umformungen?
Ich hoffe ihr versteht meine Frage und ich würde mich über eine Antwort sehr freuen.
Danke im Vorraus.
Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:19 Mo 11.10.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
>
> Um bspw. die gaußsche Summenformel zu beweisen, nutze ich
> die vollständige Induktion.
>
> Zunächst beweise ich, dass die Formel für ein beliebiges
> n [mm]\in \IN[/mm] gilt.
Was heißt "zunächst" ?
Wenn das bewiesen ist, dann ist der Beweis fertig.
Wie das bewiesen wird, das sehen wir uns jetzt an.
Zunächst beweist man (durch direktes Einsetzen), dass die Formel für ein bestimmtes (nicht : "beliebiges") n gilt, ich nenne dieses n im Folgenden [mm] n_0.
[/mm]
Dieser Teil des Beweises heißt "Induktionsanfang".
> Dieses n wähle ich möglichst klein um mir großen
> Rechenaufwand zu sparen.
>
Dieses [mm] n_0 [/mm] wird deshalb "möglichst klein" gewählt, weil die dann bewiesene Formel erst für alle n mit n >= [mm] n_0 [/mm] gilt.
In vielen Fällen funktioniert [mm] n_0 [/mm] = 1.
> Nun muss man beweisen, dass die Formel für n+1 gilt,
> sodass ich daraus schließen kann, dass der Beweis für 1,
> n+1=2, n+1=2+3=3 etc gilt.
Jetzt kommt der entscheidende Punkt :
Du beweist, dass wenn die Formel für n gilt (man darf für den nachfolgenden Beweis voraussetzen, dass sie für n gilt), dann gilt sie auch für n+1.
Dieser Teil des Beweises heißt "Induktionsschritt".
> Bildlich vorgestellt, wie bei umfallenden Dominosteinen.
Genau!
Im Induktionsanfang beweist Du, dass Stein Nummer [mm] n_0 [/mm] umgeworfen wird. Im Induktionsschritt beweist Du, dass die Steine hinreichend eng beieinander stehen. Folgerung : alle Steine ab [mm] n_0 [/mm] fallen um.
> Habe ich das so richtig verstanden?
>
> Nun nimmt man eine Aussage A(n) und behauptet, dass eben
> diese Aussage gilt.
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n}[/mm] k= n(n+1)/2
>
> Für 1 gilt: [mm]1=\bruch{1(2)}{2}=1[/mm]
>
> Damit ist die Aussage für n bewiesen.
Die Aussage ist für [mm] n_0 [/mm] = 1 bewiesen.
> Ich nehme also an, dass die Aussage für n wahr ist und
> beweise damit n+1.
>
Du beweist A(n) [mm] \Rightarrow [/mm] A(n+1)
> Wie man ausrechnen oder nachschauen kann, ergibt sich für
> n+1=
>
> [mm]\bruch{(n+1)(n+2)}{2}[/mm]
>
Was heißt "nachschauen" ?
Selbstverständlich steht die Formel in jeder Formelsammlung, aber eben weil sie jemand (z.B. mit vollständiger Intuition) bewiesen hat.
Das auch zu tun ist die Aufgabe.
Die Aussage A(n+1) ist nachzuweisen.
Konkret heißt diese Aussage hier :
1 + 2 + 3 + ... + (n-1) + n + (n+1) = (n+1)*(n+2)/2
Die linke Seite der Gleichung ist so lange umzuformen, bis die rechte Seite da steht.
Auf der linken Seite kann man zunächst die ersten n Summanden gemäß der Aussage A(n) zusammenfassen, so dass
1 + 2 + 3 + ... + (n-1) + n + (n+1) = n*(n+1)/2 + (n+1) wird.
Das ergibt weiter ... = n*(n+1)/2 + 2*(n+1)/2 = (n+2)*(n+1)/2
wobei im letzten Schritt (n+1)/2 ausgeklammert wurde.
Somit steht A(n+1) da, der Beweis ist fertig.
> Nun kommt der Punkt, den ich nicht verstehe.
>
> Mir ist klar, dass ich für einen konkreten Wert die Summe
> beweise, wenn auf der linken Seite das gleiche wie auf der
> rechten Seite steht. Eine Gleichung eben.
>
> Nun steht jetzt hier jedoch am Schluss
> [mm]\bruch{(n+1)(n+2)}{2}.[/mm]
> Ich habe eigentlich nichts getan, außer n+1 für eine
> "Aussage" einzusetzen und dies dann gekürzt.
>
> Ebenso gut hätte ich auch am Schluss
> [mm]\bruch{(n+1)[(n+1)+1]}{2}[/mm] stehen lassen können, oder
> [mm]\bruch{(n+1)^2+(n+1)}{2}.[/mm]
> Warum ist jedoch nur mit [mm]\bruch{(n+1)(n+2)}{2}[/mm] die
> vollständige Induktion durchgeführt und nicht mit anderen
> Umformungen?
>
> Ich hoffe ihr versteht meine Frage und ich würde mich
> über eine Antwort sehr freuen.
> Danke im Vorraus.
>
> Grüße
Eine andere Formel kann so nicht bewiesen werden.
Wenn wir z.B. 1 + 2 + 3 + ... + n = [mm] n*(n-1)^2/2 [/mm] beweisen sollen,
so werden wir scheitern. Der Induktionsanfang geht nicht mit [mm] n_0 [/mm] = 1, weil 1 weil [mm] \not= [/mm] 0 ist, aber [mm] n_0 [/mm] = 3 klappt immerhin.
Um A(n+1) zu beweisen, müsste man zeigen, dass
1 + 2 + 3 + ... + n + (n+1) = [mm] (n+1)*n^2/2 [/mm] ist, also
dass [mm] n*(n-1)^2/2 [/mm] + (n+1) = [mm] (n+1)*n^2/2 [/mm] ist.
Eine solche Umformung ist aber nicht möglich.
Gruß Sax.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:46 Mo 11.10.2010 | | Autor: | reverend |
Hallo Sax,
> weil sie jemand (z.B. mit vollständiger Intuition) bewiesen hat.
Das ist einer der nettesten "Verschreiber", die ich je gelesen habe!
Ein sehr mathematischer Freudscher Fehler, denke ich.
Herzliche Grüße,
reverend
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Hallo und danke vielmals für die Antwort.
Ich glaube, dass ich mich missverständlich ausgedrückt habe.
Ich weiß, wie man aus:
$ [mm] \summe_{k=1}^{n} [/mm] $ k= n(n+1)/2 für k=n+1 -> $ [mm] \bruch{(n+1)(n+2)}{2} [/mm] $ folgert.
Die Rechenschritte habe ich verstanden. Nur verstehe ich nicht, worin hier ein Beweis liegen soll.
Ich setzte eine Aussage als wahr vorraus (ich weiß, dass man aus falschem richtiges folgern kann, aber das mal außen vor).
Diese Aussage muss ja nicht stimmen. Sie müsste theoretisch auch erst bewiesen werden.
Und diesen Beweis mache ich, indem ich für diese Aussage eine vollständige Induktion durchführe.
Ich behaupte also etwas und beweise diese Behauptung mit meiner Behauptung?
Für k=n+1 erhalte ich in meinem Beispiel $ [mm] \bruch{(n+1)(n+2)}{2} [/mm] $.
SO erhalte ich für A(n+1)
[mm] \summe_{k=1}^{n}k= \bruch{n*(n+1)}{2} [/mm] + (n+1)= $ [mm] \bruch{(n+1)(n+2)}{2} [/mm] $
Ich weiß nicht inwiefern man hier einen Beweis sehen soll.
Für mich sieht das hier aus, als würde ich für meine Ursprüngliche Aussage (n+1) einsetzen, umformen durch kürzen und klammern und somit einen neuen "Ausdruck" erhalten.
Natürlich könnte ich jetzt in diesen Ausdruck alle [mm] n\in\IN [/mm] einsetzen, aber könnte nicht ein n kommen, für das diese Formel nicht gilt?
Mein Problem besteht vor allem darin, dass wenn ich eine vollständige Induktion durchführen soll, ich nicht weiß auf welche Aussage ich am Schluss für (n+1) kommen soll.
Denn in meinem Beispiel könnte statt $ [mm] \bruch{(n+1)(n+2)}{2}
[/mm]
ebenso gut [mm] \bruch {n^2+3n+2}{2} [/mm] stehen .....
Ich hoffe ihr versteht, was ich meine.
Danke im Vorraus.
Grüße
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Hallo Masseltof, nur weils noch niemand gesagt hat: ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
So ganz verstehe ich Dein Problem nicht, um ehrlich zu sein. Aber der Reihe nach, vielleicht klärt es sich ja doch.
Dass Du im Induktionsschritt eine bestimmte "Formel" in bestimmter Form zeigen sollst, dient doch nur dazu, dass man ohne weitere Umformungen sehen kann, dass die "Zielformel" tatsächlich nichts weiter ist als die Anwendung der zu zeigenden Behauptung auf den Fall n+1.
Doch damit sind wir fast ganz am Ende der vollständigen Induktion.
Ihre Schritte sind Dir ja offenbar bekannt, weswegen ich auch nicht verstehe, worauf Du hinaus willst, wenn Du jeweils einen einzelnen Schritt kritisierst.
Natürlich ist noch überhaupt nichts gezeigt, wenn Du einen Nachweis für n=1 führst.
Natürlich ist auch nichts gezeigt, wenn Du nachweist, dass eine Formel auch für n+1 gilt, sofern sie für n gilt.
Zusammengenommen sind diese beiden Schritte aber ein logischer, sinnvoller und gültiger Beweis dafür, dass eine Aussage für alle natürlichen Zahlen gilt. Was gibt es daran nicht zu verstehen?
Letztlich ist dies eine Anwendung der ![[]](/images/popup.gif) Peano-Axiome.
Grüße
reverend
(oder hätte ich "Glück und Segen" sagen sollen? Es wäre Deinem und meinem Nick ja angemessener gewesen, schrejbt der galach.)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:17 Di 12.10.2010 | | Autor: | Masseltof |
Hallo und danke für den Willkommensgruß, sowie deiner Erklärung.
Dein Beitrag hat mir sehr geholfen.
Ich muss leider gestehen, dass ich bei deim Induktionsschluss Fehler mache, bzw. einzelne Umformungen nicht sehe.
Aber das Hauptproblem bleibt immernoch, dass ich nicht weiß auf welche Aussage ich umforme:
Nehmen wir als Beispiel folgende Aufgabe:
Für alle natürlichen Zahlen [mm] n\ge1 [/mm] ist die Gültigkeit folgender Gleichung zu beweisen.
[mm] \summe_{k=1}^{n}(-3k+1)=-\bruch{n}{2}-\bruch{3}{2}*n^2
[/mm]
Ich bestimme für n=1.
Dieses n setze ich für k ein und erhalte (-3*(1)+1)=-2 (linke Seite)
[mm] -\bruch{1}{2}-\bruch{3}{2}*(1)^2=-2
[/mm]
Für n=1 ist diese Aussage A(n) schonmal wahr.
Für den Induktionsschluss muss ich nun beweisen, dass A(n) auch für alle n+1 gilt.
Wie gehe ich nun am besten vor?
Ich würde folgenden Weg einschlagen:
[mm] \summe_{k=1}^{n+1}(-3k+1)=
[/mm]
[mm] \summe_{k=1}^{n}(-3k+1)+[-3(n+1)+1]= [/mm]
[mm] \summe_{k=1}^{n}(-3k+1) [/mm] -3n-2
Sehe ich das richtig so? k ist ja der Index und bestimmt die Position eines Objekts der Summe. Deswegen kann ich die Summe von k bis n laufen lassen und dazu eben noch k=n+1 addieren = -3n-2
[mm] \summe_{k=1}^{n}(-3k+1) \equiv -\bruch{n}{2}-\bruch{3}{2}*n^2 [/mm]
Daraus folgt:
[mm] \summe_{k=1}^{n}(-3k+1) [/mm] -3n-2 [mm] \equiv -\bruch{n}{2}-\bruch{3}{2}*n^2 [/mm] -3n-2
Ich betrachte nun nur noch die rechte Seite:
[mm] -\bruch{n}{2}-\bruch{3}{2}*n^2 [/mm] -3n-2 =
[mm] -\bruch{n}{2}-\bruch{3}{2}*n^2 +2(\bruch{-3n-2}{2})
[/mm]
Und hier habe ich nun mein Problem.
Wohin forme ich um? Auf welchen Term? Gibt es einen besonderen Term auf den ich umformen muss?
Ich bin soweit gekommen, dass ich folgendes erhalte:
[mm] n(-\bruch{1}{2}-\bruch{2}{3}*n-\bruch{6}{2})-4=
[/mm]
[mm] n(-\bruch{2}{3}*n-\bruch{7}{2})-4
[/mm]
Könnte jemand hier drüberschauen bitte?
Danke im Vorraus.
Grüße
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:38 Di 12.10.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
>
> [mm]-\bruch{n}{2}-\bruch{3}{2}*n^2 +2(\bruch{-3n-2}{2})[/mm]
>
>
> Und hier habe ich nun mein Problem.
> Wohin forme ich um? Auf welchen Term? Gibt es einen
> besonderen Term auf den ich umformen muss?
Ja, den gibt es !
Du willst ja A(n) [mm] \Rightarrow [/mm] A(n+1) beweisen, also musst du so umformen, dass die rechte Seite von A(n+1) da steht.
Die rechte Seite von A(n) lautet ... = -n/2 - [mm] 3*n^2/2
[/mm]
Die rechte Seite von A(n+1) also ... = -(n+1)/2 - [mm] 3*(n+1)^2/2
[/mm]
Auf diesen Term musst du abzielen !
Tipp : Wenn man die erforderlichen Umformungsschritte nicht sofort sieht, darf man auch den zuletzt gefundenen Term (s.o.) mit diesem (probeweise) gleichsetzen und durch Aquivalenz(!)umformungen nachweisen, dass die Gleichheit tatsächlich besteht, also so lange äquivalent umformen, bis etwas in der Art von 33 = 33 herauskommt.
>
> Ich bin soweit gekommen, dass ich folgendes erhalte:
>
> [mm]n(-\bruch{1}{2}-\bruch{2}{3}*n-\bruch{6}{2})-4=[/mm]
falsch, es muss [mm]n(-\bruch{1}{2}-\bruch{3}{2}*n-\bruch{6}{2})-2=[/mm] heißen.
>
> [mm]n(-\bruch{2}{3}*n-\bruch{7}{2})-4[/mm]
>
>
> Könnte jemand hier drüberschauen bitte?
>
> Danke im Vorraus.
>
> Grüße
>
>
Gruß Sax.
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Hallo und danke für den Willkommensgruß, sowie deiner Erklärung.
Dein Beitrag hat mir sehr geholfen.
Ich muss leider gestehen, dass ich bei deim Induktionsschluss Fehler mache, bzw. einzelne Umformungen nicht sehe.
Aber das Hauptproblem bleibt immernoch, dass ich nicht weiß auf welche Aussage ich umforme:
Nehmen wir als Beispiel folgende Aufgabe:
Für alle natürlichen Zahlen [mm] n\ge1 [/mm] ist die Gültigkeit folgender Gleichung zu beweisen.
[mm] \summe_{k=1}^{n}(-3k+1)=-\bruch{n}{2}-\bruch{3}{2}*n^2
[/mm]
Ich bestimme für n=1.
Dieses n setze ich für k ein und erhalte (-3*(1)+1)=-2 (linke Seite)
[mm] -\bruch{1}{2}-\bruch{3}{2}*(1)^2=-2
[/mm]
Für n=1 ist diese Aussage A(n) schonmal wahr.
Für den Induktionsschluss muss ich nun beweisen, dass A(n) auch für alle n+1 gilt.
Wie gehe ich nun am besten vor?
Ich würde folgenden Weg einschlagen:
[mm] \summe_{k=1}^{n+1}(-3k+1)=
[/mm]
[mm] \summe_{k=1}^{n}(-3k+1)+[-3(n+1)+1]= [/mm]
[mm] \summe_{k=1}^{n}(-3k+1) [/mm] -3n-2
Sehe ich das richtig so? k ist ja der Index und bestimmt die Position eines Objekts der Summe. Deswegen kann ich die Summe von k bis n laufen lassen und dazu eben noch k=n+1 addieren = -3n-2
[mm] \summe_{k=1}^{n}(-3k+1) \equiv -\bruch{n}{2}-\bruch{3}{2}*n^2 [/mm]
Daraus folgt:
[mm] \summe_{k=1}^{n}(-3k+1) [/mm] -3n-2 [mm] \equiv -\bruch{n}{2}-\bruch{3}{2}*n^2 [/mm] -3n-2
Ich betrachte nun nur noch die rechte Seite:
[mm] -\bruch{n}{2}-\bruch{3}{2}*n^2 [/mm] -3n-2 =
[mm] -\bruch{n}{2}-\bruch{3}{2}*n^2 +2(\bruch{-3n-2}{2})
[/mm]
Und hier habe ich nun mein Problem.
Wohin forme ich um? Auf welchen Term? Gibt es einen besonderen Term auf den ich umformen muss?
Ich bin soweit gekommen, dass ich folgendes erhalte:
[mm] n(-\bruch{1}{2}-\bruch{2}{3}*n-\bruch{6}{2})-4=
[/mm]
[mm] n(-\bruch{2}{3}*n-\bruch{7}{2})-4
[/mm]
Könnte jemand hier drüberschauen bitte?
Danke im Vorraus.
Grüße
Könnte jemande den Doppelpost entfernen, bitte?
Entschuldigt meine Dusseligkeit.
Ps: Reverend hast du meinen Nick gegoogelt oder wusstest du, dass Masel tov= Viel Glück / Viel Erfolg heißt? In diesem Sinne Viel Segen Herr Hochwürden :)
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Hallo Masseltof,
den jetzt überflüssigen Beitrag kann man nicht wirklich entfernen, und es lohnt doch auch nicht, ihn zu verstecken. Was "erledigt" ist, fällt sowieso irgendwann ins Forennirwana, um noch eine Religion zu bemühen.
Zu Deiner letzten Frage zuerst: ich kann einigermaßen altes Hebräisch und noch schlechter Iwrit, war aber auch schon auf jüdischen Hochzeiten. Ansonsten halte ich "Mazzeltow" oder eine der vielen anderen Transliterationen für recht allgemein bekannt. Die Generation meiner Eltern war mit "Anatevka" vertraut, da kam es vor, später kannte man "Yentl", und auch da wird der Glückwunsch ausgiebig verwandt. Und sprachinteressierte Deutschsprachige wissen vielleicht auch, woher der Ausdruck "Massel haben/gehabt" kommt.
Hochwürden übrigens ist keine Form, in der ich angeredet werde, außer im Scherz. Ich bin evangelisch, da ist das keine übliche Betitelung.
Zurück zur Mathematik.
> Ich muss leider gestehen, dass ich bei deim
> Induktionsschluss Fehler mache, bzw. einzelne Umformungen
> nicht sehe.
Das ist völlig normal. Es gibt sich mit ein bisschen Übung weitestgehend, aber nie vollständig. 
> Aber das Hauptproblem bleibt immernoch, dass ich nicht
> weiß auf welche Aussage ich umforme:
Ah. Das ist aber in der Tat ein wichtiges Wissen: wo will ich eigentlich hin? Ansonsten ist ja viel hin und her zu rechnen.
Viele rechnen darum von zwei Seiten aus und versuchen, dazwischen eine möglichst kurze Verbindung zu finden. Was Du letztlich als Lösung einreichst und was Deine Rechenversuche bis dahin waren, sind zwei verschiedene Dinge und gehen auch nicht unbedingt jeden was an.
> Nehmen wir als Beispiel folgende Aufgabe:
>
> Für alle natürlichen Zahlen [mm]n\ge1[/mm] ist die Gültigkeit
> folgender Gleichung zu beweisen.
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n}(-3k+1)=-\bruch{n}{2}-\bruch{3}{2}*n^2[/mm]
Wenn man die Summenformel für [mm] \summe{n} [/mm] kennt und benutzen darf, ist das auch ohne erneute Induktion zu zeigen.
> Ich bestimme für n=1.
> Dieses n setze ich für k ein und erhalte (-3*(1)+1)=-2
> (linke Seite)
>
> [mm]-\bruch{1}{2}-\bruch{3}{2}*(1)^2=-2[/mm]
>
> Für n=1 ist diese Aussage A(n) schonmal wahr.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Für den Induktionsschluss muss ich nun beweisen, dass A(n)
> auch für alle n+1 gilt.
Naja. Du meinst hoffentlich das Richtige. Der Induktionsschluss setzt die Gültigkeit für ein einziges (wenn auch unbestimmtes) n voraus, und zeigt, dass die Aussage auch für n+1 (und damit eben auch nur ein einziges, wenngleich unbestimmtes) gilt. Nicht für alle! Das ist erst der logische Schluss nach allen im Prinzip fertig vollzogenen Schritten des ganzen Induktionsbeweises.
> Wie gehe ich nun am besten vor?
Das ist nicht allgemein zu sagen. Dafür ist das Ziel klar. Du setzt die Gültigkeit für n voraus, und willst zeigen:
> [mm] $\summe_{k=1}^{\red{n+1}}(-3k+1)=-\bruch{\red{n+1}}{2}-\bruch{3}{2}*\red{(n+1)}^2$
[/mm]
> Ich würde folgenden Weg einschlagen:
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n+1}(-3k+1)=[/mm]
> [mm]\summe_{k=1}^{n}(-3k+1)+[-3(n+1)+1]=[/mm]
> [mm]\summe_{k=1}^{n}(-3k+1)[/mm] -3n-2
>
> Sehe ich das richtig so? k ist ja der Index und bestimmt
> die Position eines Objekts der Summe. Deswegen kann ich die
> Summe von k bis n laufen lassen und dazu eben noch k=n+1
> addieren = -3n-2
Ja, ok.
> [mm]\summe_{k=1}^{n}(-3k+1)= -\bruch{n}{2}-\bruch{3}{2}*n^2[/mm]
Äh, das war jetzt wieder die Induktionsvoraussetzung. Die stört zwar nicht, aber da waren wir doch schon. Das Äquivalenzzeichen habe ich mal durch ein einfaches Gleichheitszeichen ersetzt. Oder hatte es noch eine tiefere Bedeutung?
> Daraus folgt:
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n}(-3k+1)[/mm] -3n-2 [mm]= -\bruch{n}{2}-\bruch{3}{2}*n^2[/mm]-3n-2
Die Summenschreibweise hat eine Schwäche: man weiß nie so recht, wo der Summationsbefehl aufhört. Darum hast Du zu Recht eine Klammer geschrieben, aber völlige Klarheit ist auch damit nicht zu erreichen, es sei denn, Du setzt die Klammer gleich um die ganze Summe (eher unüblich) oder ziehst das "-3n-2" noch vor die Summe, jedenfalls auf der linken Seite.
> Ich betrachte nun nur noch die rechte Seite:
>
> [mm]-\bruch{n}{2}-\bruch{3}{2}*n^2[/mm] -3n-2 =
>
> [mm]-\bruch{n}{2}-\bruch{3}{2}*n^2 +2(\bruch{-3n-2}{2})[/mm]
>
>
> Und hier habe ich nun mein Problem.
> Wohin forme ich um? Auf welchen Term? Gibt es einen
> besonderen Term auf den ich umformen muss?
Ja, schau mal oben, der Term mit den roten "n+1". Da willst Du hin.
> Ich bin soweit gekommen, dass ich folgendes erhalte:
>
> [mm]n(-\bruch{1}{2}-\bruch{2}{3}*n-\bruch{6}{2})-4=[/mm]
>
> [mm]n(-\bruch{2}{3}*n-\bruch{7}{2})-4[/mm]
Mag sein, habe ich gar nicht nachgerechnet. Selbst wenn das stimmt, sehe ich daraus ja noch nicht unmittelbar, dass dies die zu zeigende Formel für n+1 ist. Ich will da tatsächlich n+1 überall da stehen haben, wo vorher n stand.
> Könnte jemand hier drüberschauen bitte?
>
> Danke im Vorraus.
Ach bitte, schenk mir das "r", das hier zuviel ist...
lg,
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:57 Di 12.10.2010 | | Autor: | Masseltof |
Hallo Reverend.
Ich danke dir vielmals für deine Bemühungen und den damit verbunden Zeitaufwand.
Beim Induktionsschluss hattest du recht. Leider weiß ich oftmals nicht wie ich bestimmte "Dinge" in der Mathematik richtig ausdrücke. Für mich klingt es "sinnvoll", für andere hingegen falsch. Danke dafür.
$ [mm] \summe_{k=1}^{\red{n+1}}(-3k+1)=-\bruch{\red{n+1}}{2}-\bruch{3}{2}\cdot{}\red{(n+1)}^2 [/mm] $
Genau dies, beschäftigt mich seit gestern.
In den Übungen meines Mathe Vorkurses haben wir dies nicht gemacht, sodass ich nie richtig wusste, in welche Richtung ich umformen sollte.
Vielleicht habe ich es auch übersehen. Aber nun weiß ich ja zu welchem Begriff ich umformen muss, was wiederrum Sinn ergibt, da ich daraus dann schlussfolgern kann, dass meine Annahme A(n) für n+1 gilt und sich hieraus ein logischer Schluss ergibt für alle [mm] n\in\IN.
[/mm]
Danke vielmals :).
Ich werde nun üben, üben,üben. Die Vorlesungen haben scßließlich noch nicht begonnen und ich bin guten Willens meine Defizite in Mathe zu beseitigen.
Was mich wirklich überrascht ist, dass mir das Sitzen vor Rechnungen und das Tüfteln Spaß machen.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:06 Di 12.10.2010 | | Autor: | reverend |
Hallo nochmal,
> Was mich wirklich überrascht ist, dass mir das Sitzen vor
> Rechnungen und das Tüfteln Spaß machen.
Das ist die beste Motivation. Alles andere klappt dann von allein. Irgendwann.
Nur Rechnen ohne Ziel ist meist frustrierend. Von daher ist es gut, wenn Du solche Fragen stellst wie heute.
Viel Erfolg, oder eben: Masseltof!
hagalach (der Rasierte)
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