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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:27 Mi 20.10.2010 | | Autor: | moody |
| Aufgabe | A(n) [mm] \summe_{i=1}^{n}i^3 [/mm] = [mm] \bruch{1}{4}n^2(n+1)^2
[/mm]
Soll durch vollständige Induktion bewiesen werden. |
Guten abend,
ich hoffe ihr könnt mir hier weiterhelfen.
Induktionsanfang
[mm] \summe_{i=1}^{1}i^3 [/mm] = [mm] \bruch{1}{4}1^2(1+1)^2 [/mm] ist wahr, denn
[mm] i^3 [/mm] = 1 für $i=1$
[mm] \bruch{1}{4}1^2(1+1)^2 [/mm] = [mm] \bruch{1}{4}(2)^2 [/mm] = [mm] \bruch{4}{4} [/mm] = 1
Induktionsvorraussetzung
Annahme dass A(n) wahr ist.
Zu zeigen ist dass A(n+1) wahr ist.
Induktionsschluss
A(n+1) [mm] \summe_{i=1}^{n+1}i^3 [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n}i^3 [/mm] + [mm] (n+1)^3
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{4}n^2(n+1)^2 [/mm] + [mm] (n+1)^3
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{4}n^2(n+1)^2 [/mm] + [mm] (n+1)*(n+1)^2
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{4}n^2(n+1)^2 [/mm] + [mm] (n+1)*(n^2 [/mm] + 2n + 1)
= [mm] \bruch{1}{4}n^2(n+1)^2 [/mm] + [mm] n^3 [/mm] + [mm] 2n^2 [/mm] + n + [mm] n^2 [/mm] +2n + 1
= [mm] \bruch{1}{4}n^2(n+1)^2 [/mm] + [mm] n^3 [/mm] + [mm] 3n^2 [/mm] + 3n + 1
= [mm] \bruch{1}{4}n^2 [/mm] * [mm] (n^2 [/mm] + 2n + 1) + [mm] n^3 [/mm] + [mm] 3n^2 [/mm] + 3n + 1
= [mm] \bruch{n^4}{4} [/mm] + [mm] \bruch{2n^3}{4} [/mm] + [mm] \bruch{n^2}{4} [/mm] + [mm] n^3 [/mm] + [mm] 3n^2 [/mm] $+ 3n + 1$
Aus den $3n$ mache ich [mm] \bruch{n}{2} [/mm] $+ 2,5n$
Und für $+1$ schreibe ich $+0.75 +0.25$
= [mm] \bruch{n^4}{4} [/mm] + [mm] \bruch{2n^3}{4} +\bruch{ n^2}{4} [/mm] + [mm] n^3 [/mm] + [mm] 3n^2 [/mm] $+ [mm] \bruch{n}{2} [/mm] $+ 2,5n$+0.75 +0.25$
umstellen
= [mm] \bruch{n^4}{4} [/mm] + [mm] \bruch{2n^3}{4} [/mm] + [mm] n^3 [/mm] + [mm] 3n^2 [/mm] $+ 2,5n$$+0.75$ [mm] +\bruch{ n^2}{4} [/mm] + [mm] \bruch{n}{2} [/mm] $+0.25$
= [mm] \bruch{n^4}{4} [/mm] + [mm] \bruch{2n^3}{4} [/mm] + [mm] n^3 [/mm] + [mm] 3n^2 [/mm] $+ 2,5n$$+0.75$ + [mm] \bruch{1}{4}(n+1)^2
[/mm]
Jetzt müsste ich doch noch den ersten Teil
[mm] \bruch{n^4}{4} [/mm] + [mm] \bruch{2n^3}{4} [/mm] + [mm] n^3 [/mm] + [mm] 3n^2 [/mm] $+ 2,5n$$+0.75$
zu ((n+1) + 1 [mm] )^2 [/mm] umformen aber wie? Und das soll ja dann auch nicht mit [mm] \bruch{1}{4}(n+1)^2 [/mm] addiert sondern multipliziert werden.
Bin für bessere Ansätze oder Ideen dankbar.
lg moody
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:41 Mi 20.10.2010 | | Autor: | Fulla |
Hallo moody,
> A(n) [mm]\summe_{i=1}^{n}i^3[/mm] = [mm]\bruch{1}{4}n^2(n+1)^2[/mm]
>
> Soll durch vollständige Induktion bewiesen werden.
> Guten abend,
>
> ich hoffe ihr könnt mir hier weiterhelfen.
>
> Induktionsanfang
>
> [mm]\summe_{i=1}^{1}i^3[/mm] = [mm]\bruch{1}{4}1^2(1+1)^2[/mm] ist wahr,
> denn
>
> [mm]i^3[/mm] = 1 für [mm]i=1[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{4}1^2(1+1)^2[/mm] = [mm]\bruch{1}{4}(2)^2[/mm] = [mm]\bruch{4}{4}[/mm]
> = 1
Passt.
> Induktionsvorraussetzung
>
> Annahme dass A(n) wahr ist.
> Zu zeigen ist dass A(n+1) wahr ist.
Gut.
> Induktionsschluss
>
> A(n+1) [mm]\summe_{i=1}^{n+1}i^3[/mm] = [mm]\summe_{i=1}^{n}i^3[/mm] +
> [mm](n+1)^3[/mm]
>
> = [mm]\bruch{1}{4}n^2(n+1)^2[/mm] + [mm](n+1)^3[/mm]
>
> = [mm]\bruch{1}{4}n^2(n+1)^2[/mm] + [mm](n+1)*(n+1)^2[/mm]
Bis hier ist alles gut, aber du machst es dir jetzt zu kompliziert. Bedenke immer, wo du hinwillst - nämlich zu [mm]\frac{1}{4}(n+1)^2(n+2)^2[/mm]. Und die Hälfte davon steht ja schon da. Klammer erstmal aus:
[mm]\ldots = \frac{1}{4}(n+1)^2(n^2+4(n+1))[/mm]
Jetzt mach du weiter.
Lieben Gruß,
Fulla
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:34 Mi 20.10.2010 | | Autor: | moody |
Vielen Dank für die schnelle Antwort. Wenn ich das so sehe habe ich wirklich einen riesen Umweg eingeschlagen.
> schon da. Klammer erstmal aus:
>
> [mm]\ldots = \frac{1}{4}(n+1)^2(n^2+4(n+1))[/mm]
Ich hatte anfangs meine Probleme nachzuvollziehen wie du ausgeklammert hast. Jetzt wo ich's mal rückwärts gerechnet habe kann ich es verstehen, aber wie kommt man da von alleine drauf?
[mm] \ldots [/mm] = [mm] \frac{1}{4}(n+1)^2(n^2+4(n+1))
[/mm]
[mm] \ldots [/mm] = [mm] \frac{1}{4}(n+1)^2(n^2+4n [/mm] + 4)
[mm] \ldots [/mm] = [mm] \frac{1}{4}(n+1)^2(n+2)^2
[/mm]
[mm] \ldots [/mm] = [mm] \frac{1}{4}(n+1)^2((n+1)+1)^2
[/mm]
lg moody
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:35 Do 21.10.2010 | | Autor: | Fulla |
Hallo nochmal,
Der große Vorteil bei Induktionsaufgaben ist, dass du ja schon weißt, was rauskommen muss!
Du hast [mm]\frac{1}{4}n^2(n+1)^2+(n+1)^3[/mm] und willst es zu [mm]\frac{1}{4}(n+1)^2((n+1)+1)^2[/mm] umformen.
Du musst also eine Summe in ein Produkt verwandeln und das schaffst du durch Ausklammern.
Schau dir an, wo du hinwillst, da steht als erster Faktor [mm]\frac{1}{4}[/mm] und den klammern wir jetzt aus:
[mm]\frac{1}{4}n^2(n+1)^2+(n+1)^3=\frac{1}{4}\left[n^2(n+1)^2+4(n+1)^3\right][/mm]
So weit, so gut. Als nächstes wollen wir den Faktor [mm](n+1)^2[/mm] haben:
[mm]\ldots =\frac{1}{4}(n+1)^2\left[n^2+4(n+1)\right][/mm]
Den Rest hast du ja schon richtig ausgerechnet...
Du kannst das natürlich auch "zu Fuß" ausrechnen, also alles ausmultiplizieren und zusammenfassen. Das führt zu [mm]\frac{1}{4}(n^4+6n^3+13n^2+12n+4)[/mm].
Hier hilft dann nur eine Polynomdivision durchführen, also z.B. [mm](n^4+6n^3+13n^2+12n+4):(n^2+2n+1)=n^2+4n+4[/mm].
Dadurch kommst du auch zum Ziel, aber durch die vielen Rechenschritte besteht ein größeres Risiko sich zu verrechnen und ich denke dieser Weg ist um einiges komplizierter als der Erste...
Lieben Gruß,
Fulla
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