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Forum "Uni-Analysis-Induktion" - Vollständige Induktion
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Vollständige Induktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:47 Mi 03.11.2010
Autor: zappzarapp

Aufgabe
a) Beweisen Sie, dass für alle n [mm] \in \IN [/mm] gilt: [mm] \summe_{k=1}^{n} k^2 [/mm] = [mm] \bruch{1}{6}n(n+1)(2n+1) [/mm]

b) Zeigen Sie: Für n [mm] \in \IN [/mm] gilt: [mm] \summe_{k=1}^{n} k^3 [/mm] = [mm] (\summe_{k=1}^{n} k)^2 [/mm]

Hinweis: Benutzen Sie die Summenformel: [mm] \summe_{k=1}^{n} [/mm] k = [mm] \bruch{(n+1)n}{2} [/mm]

I.A. n=1  passt!

I.N. n+1
[mm] \summe_{k=1}^{n+1} k^2 [/mm] = [mm] \bruch{1}{6}(n+1)(n+2)(2n+3) [/mm]

I.S.
[mm] \summe_{k=1}^{n+1} k^2 [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n} k^2 [/mm] + [mm] \summe_{k=n+1}^{n+1} k^2 [/mm]

also im Klartext:
[mm] \bruch{1}{6}(n+1)(n+2)(2n+3) [/mm] = [mm] \bruch{1}{6}n(n+1)(2n+1) [/mm] + [mm] (n+1)^2 \gdw [/mm]

[mm] \bruch{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6} [/mm] = [mm] \bruch{n(n+1)(2n+1) + 6(n+1)^2}{6} [/mm]


weil wenn ich jetzt anfange hier rumzurechnen , schafe ich es nicht den schritt zu beweisen! nun meine frage: hab ich schon im ansatz was vergessen oder einen fehler gemacht?

danke schon mal im voraus

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Vollständige Induktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:53 Mi 03.11.2010
Autor: schachuzipus

Hallo zappzarapp und [willkommenmr],


> a) Beweisen Sie, dass für alle n [mm]\in \IN[/mm] gilt:
> [mm]\summe_{k=1}^{n} k^2[/mm] = [mm]\bruch{1}{6}n(n+1)(2n+1)[/mm]
>  
> b) Zeigen Sie: Für n [mm]\in \IN[/mm] gilt: [mm]\summe_{k=1}^{n} k^3[/mm] =
> [mm](\summe_{k=1}^{n} k)^2[/mm]
>  
> Hinweis: Benutzen Sie die Summenformel: [mm]\summe_{k=1}^{n}[/mm] k
> = [mm]\bruch{(n+1)n}{2}[/mm]
>  I.A. n=1  passt!
>  
> I.N. n+1
>  [mm]\summe_{k=1}^{n+1} k^2[/mm] = [mm]\bruch{1}{6}(n+1)(n+2)(2n+3)[/mm]
>  
> I.S.
> [mm]\summe_{k=1}^{n+1} k^2[/mm] = [mm]\summe_{k=1}^{n} k^2[/mm] +  [mm]\summe_{k=n+1}^{n+1} k^2[/mm]
>  
> also im Klartext:
>  [mm]\bruch{1}{6}(n+1)(n+2)(2n+3)[/mm] = [mm]\bruch{1}{6}n(n+1)(2n+1)[/mm] +  [mm](n+1)^2 \gdw[/mm]
>  
> [mm]\bruch{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}[/mm] = [mm]\bruch{n(n+1)(2n+1) + 6(n+1)^2}{6}[/mm]
>  
>
> weil wenn ich jetzt anfange hier rumzurechnen , schafe ich
> es nicht den schritt zu beweisen! nun meine frage: hab ich
> schon im ansatz was vergessen oder einen fehler gemacht?

Alles ok bisher, obwohl ich das prinzipiell nicht mit Äquivalenzumformungewn rechnen würde, sondern mir die linke Seite der Induktionsbeh. [mm]\sum\limits_{k=1}^{n+1}k^2[/mm] hernehmen würde und diese umformen würde, bis die rechte Seite, also [mm]\frac{1}{6}(n+1)(n+2)(2n+3)[/mm] dasteht

Wie dem auch sei, klammere nun auf deiner rechten Seite im Zähler [mm]n+1[/mm] aus, rechne alles zusammen und du wirst sehen, dass du den Rest genau zu [mm](n+2)(2n+3)[/mm] faktorisieren kannst ...

>  
> danke schon mal im voraus
>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.

Gruß

schachuzipus


Bezug
                
Bezug
Vollständige Induktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:19 Mi 03.11.2010
Autor: zappzarapp

oh man :D jetzt seh ichs auch! muss wohl einfach sauberer in meiner handschrift werden! keine ahnung warum ich die letzten 3 stunden nicht rausgekommen bin! war heute wohl schon zuviel den tag über :D danke nochmal

aber jetzt zu der 2ten aufgabe:

einfach die angegebene summenformel beweisen?! und daraus schlussfolgern?

Bezug
                        
Bezug
Vollständige Induktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:39 Mi 03.11.2010
Autor: Schadowmaster

Nee, die Summenformel darfst du benutzen.
Also du musst (mit vollständiger Induktion) zeigen, dass
$ [mm] \summe_{k=1}^{n} k^3 [/mm] $ = $ [mm] \left(\bruch{(n+1)n}{2}\right)^2$ [/mm]
rechte Seite auflösen und dann ganz normale Induktion.

Bezug
                                
Bezug
Vollständige Induktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:55 Do 04.11.2010
Autor: zappzarapp

[mm] (\summe_{k=1}^{n}k)^2 [/mm] = [mm] (\bruch{(n+1)n}{2})^2 [/mm] = [mm] \bruch{n^2(n+1)^2}{4} [/mm]

I.A. n=1 passt

I.N. n=n+1

[mm] \summe_{k=1}^{n+1}k^3 [/mm] = [mm] \bruch{(n+1)^2(n+2)^2}{4} [/mm]

I.S.

[mm] \summe_{k=1}^{n+1}k^3 [/mm] = [mm] (\summe_{k=1}^{n}k)^2 [/mm] + [mm] \summe_{k=n+1}^{n+1}k^3 [/mm]

[mm] \bruch{(n+1)^2(n+2)^2}{4} [/mm] = [mm] \bruch{n^2(n+1)^2}{4} [/mm] + [mm] (n+1)^3 [/mm]  

stimmt des soweit??


Bezug
                                        
Bezug
Vollständige Induktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:44 Do 04.11.2010
Autor: M.Rex

Hallo


> [mm](\summe_{k=1}^{n}k)^2[/mm] = [mm](\bruch{(n+1)n}{2})^2[/mm] =
> [mm]\bruch{n^2(n+1)^2}{4}[/mm]
>  
> I.A. n=1 passt
>  
> I.N. n=n+1
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n+1}k^3[/mm] = [mm]\bruch{(n+1)^2(n+2)^2}{4}[/mm]
>  
> I.S.
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n+1}k^3[/mm] = [mm](\summe_{k=1}^{n}k)^2[/mm] +
> [mm]\summe_{k=n+1}^{n+1}k^3[/mm]
>  
> [mm]\bruch{(n+1)^2(n+2)^2}{4}[/mm] = [mm]\bruch{n^2(n+1)^2}{4}[/mm] + [mm](n+1)^3[/mm]
>  
>
> stimmt des soweit??

Leider Nein.

[mm]\summe_{k=1}^{n+1}k^3[/mm]
[mm]=\red{\summe_{k=1}^{n}k^{3}}+\blue{\summe_{k=n+1}^{n+1}k^{3}}[/mm]
[mm]=\red{\left(\summe_{k=1}^{n}k\right)^{2}}+\blue{(n+1)^{3}}[/mm]

Rot: Ind-Voraussetzung, Blau: "einfaches hinschreiben" der Summe


Jetzt kannst du vorne die Summenformel anwenden, also:

[mm]=\left(\summe_{k=1}^{n}k\right)^{2}+(n+1)^{3}[/mm]
[mm]=\left(\bruch{n(n+1)}{2}\right)^{2}+(n+1)^{3}[/mm]
[mm]=\ldots[/mm]
[mm]=\bruch{(n+1)^2(n+2)^2}{4}[/mm]


Fülle die Punkte nun "mit Leben"

Marius
  


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