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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:51 So 19.06.2011 | | Autor: | frato |
| Aufgabe | Die Folge [mm] (a_{n}) n\inN [/mm] ist rekursiv definiert durch [mm] a_{0}=1 [/mm] und [mm] a_{n+1}=\wurzel{1+a_{n}} [/mm] für alle [mm] n\in\IN
[/mm]
Aufgabe a) Zeigen Sie: [mm] a_{n}\le a_{n+1}\le2 [/mm] für alle [mm] n\in\IN [/mm] |
Hallo,
ich habe wieder einmal eine kleine Frage, diesmal zum Thema vollständige Induktion.
Die Lösung dieser Aufgabe sieht so aus:
für n=0: Es ist [mm] a_{0}=1 [/mm] und [mm] a_{1}=\wurzel{1+1}=\wurzel{2} [/mm] und damit [mm] a_{0}\le a_{1}\le2 [/mm]
Dieser erste Schritt ist mir natürlich noch klar, aber denn hackt es ein wenig:
für n --> n+1: Aus der Induktionsvoraussetzung [mm] a_{n}\le a_{n+1}\le2 [/mm] folgt zunächst [mm] 1+a_{n}\le1+a_{n+1}\le3 [/mm] woraus sich wegen der Monononie der Quadratwurzel [mm] \wurzel{1+a_{n}}\le\wurzel{1+a_{n+1}}\le\wurzel{3}\le2 [/mm] ergibt.
Wie komme ich denn darauf einfach mal alles +1 zu nehmen, so dass dann [mm] 1+a_{n}\le1+a_{n+1}\le3 [/mm] da steht?
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> Wie komme ich denn darauf einfach mal alles +1 zu nehmen,
> so dass dann [mm]1+a_{n}\le1+a_{n+1}\le3[/mm] da steht?
>
um es einfach auszudrücken: was muss man einem alien erklären damit es eine leiter unendlich weit von selbst klettern kann ?
1.) wie es auf die erste stufe steigt und
2.) wie es von der 1. auf die 2. stufe steigt
sprich: du hast deine "vorschrift"
> Die Folge [mm](a_{n}) n\inN[/mm] ist rekursiv definiert durch
> [mm]a_{0}=1[/mm] und [mm]a_{n+1}=\wurzel{1+a_{n}}[/mm] für alle [mm]n\in\IN[/mm]
>
> Aufgabe a) Zeigen Sie: [mm]a_{n}\le a_{n+1}\le2[/mm] für alle
> [mm]n\in\IN[/mm]
dann macht dein alien den ersten schritt also für n=0:
> für n=0: Es ist [mm]a_{0}=1[/mm] und [mm]a_{1}=\wurzel{1+1}=\wurzel{2}[/mm]
> und damit [mm]a_{0}\le a_{1}\le2[/mm]
damit es von der ersten auf die 2. stufe kommt macht es n+1:
> für n --> n+1: Aus der Induktionsvoraussetzung [mm]a_{n}\le a_{n+1}\le2[/mm]
> folgt zunächst [mm]1+a_{n}\le1+a_{n+1}\le3[/mm] woraus sich wegen
> der Monononie der Quadratwurzel
> [mm]\wurzel{1+a_{n}}\le\wurzel{1+a_{n+1}}\le\wurzel{3}\le2[/mm]
> ergibt.
LG Scherzkrapferl
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:45 So 19.06.2011 | | Autor: | frato |
Ich habs verstanden und habe meinen Denkfehler gefunden. Vielen Dank ;).
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