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Forum "Uni-Analysis-Induktion" - Vollständige Induktion
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Vollständige Induktion: Hausaufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:37 So 23.10.2011
Autor: HoRuS89

Aufgabe
Für alle [mm]n \in \IN[/mm] mit n>=1 gilt

[mm] \summe_{k=1}^{n} k*(k+1)=\bruch{n*(n+1)*(n+2)}{3}[/mm]

[mm] \summe_{k=1}^{n} k*(k+1)*(k+2)=\bruch{n*(n+1)*(n+2)*(n+3)}{4}[/mm]

Stellen Sie eine Vermutung auf, welche Formel allgemein für

[mm] \summe_{k=1}^{n} k*(k+1)* ... *(k+m-1)[/mm]

gilt, wobei [mm]m \in \IN[/mm], m>=1. Beweisen Sie die Vermutung durch vollständige Induktion.


Hallo liebe Mithelfer,

Ich habe gerade mein Studium der Physik begonnen und habe mich vorher noch nicht mit Induktionsbeweisen beschäftigen müssen, ich bitte also um Entschuldigung für grobe Unkenntnis.

Ich verzweifele etwas an dieser Aufgabe da ich keinerlei Idee mehr für eine Lösung habe und mir auch Bücher nicht wirklich Erkenntnis lieferten. Hier meine Vorgehensweise:


-----------------
Vermutung:

[mm] \summe_{k=1}^{n} k*(k+1)* ... *(k+m-1) = \bruch{n*(n+1)* ... *(n+m)}{m+1} [/mm]

-----------------
Induktionsanfang:

[mm]n=1,m=1:[/mm]

[mm]1 = \bruch{ 1*(1+1) }{ 2 }[/mm]

w.A.

-----------------
Induktionsschritt:

[mm]n \to n+1[/mm]

[mm]\summe_{k=1}^{n+1} k*(k+1)* ... *(k+m-1)[/mm]

[mm]= (n+1) * (n+1+1) * ... * (n+1+m-1) + \summe_{k=1}^{n} k * (k+1) * ... * (k+m-1)[/mm]

lt. Vermutung:

[mm]= (n+1) * (n+1+1) * ... * (n+1+m-1) + \bruch{n * (n+1) * ... * (n+m)}{m+1}[/mm]

Ich habe nun jedoch keinerlei Idee wie ich das weiter zur Ursprünglichen Aussage mit n+1 umformen kann (schreibweise mit der Produktformel hat mir auch nichts gebracht), ich bitte um Hilfe!

Vielen Dank und liebe Grüße
Martin

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Vollständige Induktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:03 So 23.10.2011
Autor: leduart

hallo
für alle n und m=1 und m= 1 und 2 steht die Formel ja schon als gültig in der Aufgabenstellung. du musst also nur die induktion über m machen.
Gruss leduart


Bezug
                
Bezug
Vollständige Induktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:15 So 23.10.2011
Autor: HoRuS89

Oha dann bin ich ja ziemlich falsch ran gegangen...

Wirklich "Klick" hat es aber leider noch nicht gemacht :(

Das würde doch für den Induktionsschritt bedeuten

[mm] \summe_{k=1}^{n} k*(k+1)* ... *(k+m) [/mm]

Und wie verfahre ich nun um zu zeigen das meine Formel stimmt??

Gruß
Martin

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Bezug
Vollständige Induktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:24 So 23.10.2011
Autor: Helbig

Ich schlage Induktion über $n$ vor, so wie Du das schon begonnen hast. Für $n=1$ mußt Du allerdings die Behauptung für alle $m$ zeigen, nicht nur für $m=1$.

Im Induktionsschritt bist Du hängen geblieben. Aber einfach stur weiter rechnen (auf Hauptnenner $m+1$ bringen), und schon steht die Formel für $n+1$ da.

Viel Erfolg,
Wolfgang

Bezug
                                
Bezug
Vollständige Induktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:29 So 23.10.2011
Autor: HoRuS89

Für alle [mm]m[/mm] im Induktionsanfang muss ich das zeigen oder?

Und da wär mein ursprüngliches Problem, wenn ich meinen Weg weiter verfolge kommt da irgendwie nur Unsinn raus, ich weiss gar nicht richtig wie ich dann im Zähler richtig zusammenfasse um meine Aussage zu erhalten.

Kann mir da jemand auf die Sprünge helfen?

EDIT:
Meine Zwischenschritte:

[mm] = (n+1)*(n+2)* ... * (n+m) + \bruch{n*(n+2)* ... * (n+m)}{m+1} [/mm]

[mm] = \bruch{ (n+1)*(n+2)* ... * (n+m) * (m+1) + n*(n+2)* ... * (n+m)}{m+1} [/mm]

EDIT END

Gruß
Martin

Bezug
                                        
Bezug
Vollständige Induktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:18 Mo 24.10.2011
Autor: Helbig

Hallo Martin,
> Für alle [mm]m[/mm] im Induktionsanfang muss ich das zeigen oder?

Genau. Für alle $m$ und $n=1$,
Also
[mm] $\summe_{k=1}^1 k(k+1)\cdots(k+m-1)=1\cdot 2\cdots (1+m-1)=1\cdot 2\cdots [/mm] m= [mm] \bruch {1\cdot 2\cdots m\cdot(m+1)} [/mm] {m+1}$
und dies ist Deine Vermutung für $n=1$.

>  
> Und da wär mein ursprüngliches Problem, wenn ich meinen
> Weg weiter verfolge kommt da irgendwie nur Unsinn raus, ich
> weiss gar nicht richtig wie ich dann im Zähler richtig
> zusammenfasse um meine Aussage zu erhalten.

Jetzt sind wir beim Induktionsschritt.

>  
> Kann mir da jemand auf die Sprünge helfen?
>  
> EDIT:
>  Meine Zwischenschritte:
>  
> [mm]= (n+1)*(n+2)* ... * (n+m) + \bruch{n*(n+2)* ... * (n+m)}{m+1}[/mm]

Hier liegt wohl ein Rechen- oder Tippfehler vor.
Ich erhalte

[mm] $\summe_{k=1}^{n+1} k(k+1)\cdots(k+m-1)$ [/mm]

[mm] $=\summe_{k=1}^n k(k+1)\cdots(k+m-1)+(n+1)(n+2)\cdots [/mm] (n+1+m-1)$

[mm] $=\bruch{ n(n+1)\cdots(n+m)} {m+1}+(n+1)(n+2)\cdots [/mm] (n+m)$

[mm] $=\bruch [/mm] { [mm] n(n+1)\cdots(n+m) [/mm] + [mm] (m+1)(n+1)(n+2)\cdots(n+m [/mm] )}{m+1}$


Und für den Zähler alleine weiter:

[mm] $=n(n+1)\cdots(n+m)+m(n+1)\cdots(n+m)+(n+1)\cdots(n+m)$ [/mm]

[mm] $=(n+m)(n+1)\cdots(n+m)+(n+1)\cdots(n+m)$ [/mm]

[mm] $=(n+m+1)(n+1)\cdots(n+m)$ [/mm]

[mm] $=(n+1)\cdots(n+1+m)$ [/mm]

Fertig!

viele Grüße,

Wolfgang


Bezug
                                                
Bezug
Vollständige Induktion: Vielen Dank
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:01 Mo 24.10.2011
Autor: HoRuS89

Ja da war ein Tippfehler dabei.

Mir war die Zählerumformung unklar, ich hatte nicht gesehen das man m+n aufteilen kann und zusammenfassen kann.

Vielen dank für die Hilfe!

Liebe Grüße
Martin

Bezug
        
Bezug
Vollständige Induktion: Urheber?
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:33 So 23.10.2011
Autor: Loddar

Hallo HoRu!


Die Aussage, dass Du der Urheber dieses Anhangs bist, halte ich für ziemlich gewagt.

Was spricht dagegen, diese Aufgabenstellung hier direkt zu posten?


Gruß
Loddar


Bezug
                
Bezug
Vollständige Induktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:42 So 23.10.2011
Autor: HoRuS89

Die Aufgaben stehen unter keinen Urheberrechten, Ich liefere aber die Aufgabenstellung noch einmal nach.

Bezug
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