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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:57 Di 01.11.2011 | | Autor: | yace |
| Aufgabe | Zeigen Sie per vollständiger Induktion die Gültigkeit der Identität
[mm] (1+x)(1+x^2)\ldots(1+x^2n)=\bruch{1-x^{2^{n+1}}}{1-x}
[/mm]
für alle n [mm] \in \IN_{0} [/mm] und x [mm] \in \IR \backslash \{1\} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Mir ist klar, dass ich zuerst zeigen muss, dass für n=0 und somit für alle anderen n das hier gültig ist [mm] \bruch{1-x^{2^{n+1}}}{1-x}.
[/mm]
Jetzt der Tipp, welcher vermutlich sehr banal ist, aber nach 3Jahren ohne Mathematik kann man das schonmal vergessen.
Wenn ich n=0 einsetzte komme ich auf [mm] \bruch{1-x^2}{1-x}. [/mm] Ich weiß auch noch, das [mm] \bruch{1-x^2}{1-x}=1+x [/mm] ist, nur wie komme ich darauf. Differenzen und Summen kürzen nur die Dummen, aber beim ausklammern weiß ich einfach nicht weiter.
[mm] \bruch{-x(1/x+x)}{-x(1/x+1}
[/mm]
Ein Tipp oder ein Link zum beschreiben würde mir schon reichen. Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:41 Di 01.11.2011 | | Autor: | barsch |
Hallo,
betrachte einmal nur den Zähler [mm]1-x^2[/mm]. Die beiden Nullstellen sind [mm]x_1=1[/mm] und [mm]x_2=-1[/mm]. Dann lässt sich [mm]1-x^2[/mm] schreiben als [mm](1-x)*(1+x)[/mm].
Oder: Das ist die 3. binomische Formel [mm](a-b)*(a+b)=a^2-b^2[/mm] mit [mm]a=1[/mm] und [mm]b=x[/mm].
Gruß
barsch
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