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| Aufgabe | Beweisen Sie durch Vollständige Induktion für alle n [mm] \in \IN:
[/mm]
a) [mm] \summe_{k=1}^{n}(2k-1)^{3} [/mm] = [mm] n^{2}*(2n^{2}-1)
[/mm]
b) [mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{(4k-3) (4k+1)} [/mm] = [mm] \bruch{n}{(4n+1)} [/mm] |
Ich habe die Aufgaben zwar gerechnet, weiß aber nicht, ob die Richtig sind...Deshalb habe ich diese Aufgabe hier gepostet...
Zu a)
[mm] \summe_{k=1}^{n}(2k-1)^{3}=n^{2}*(2n^{2}-1)
[/mm]
I.A: n=1
[mm] \summe_{k=1}^{1}(2*1-1)^{3}=1^{2}*(2*1^{2}-1)
[/mm]
daraus ergibt sich 1=1.
I.V: n [mm] \to [/mm] n+1
[mm] \summe_{k=1}^{n+1}(2k-1)^{3}=(n+1)^{2}*(2(n+1)^{2}-1)=2n^{4}+8n^{3}+11n^{2}+6n+1
[/mm]
[mm] \summe_{k=1}^{n+1}(2k-1)^{3}=\summe_{k=1}^{n}(2k-1)^{3}+(2(n+1)-1)^{3}
[/mm]
[mm] =n^{2}*(2n^{2}-1)+(2(n+1)-1)^{3}
[/mm]
[mm] =2n^{4}-n^{2}+(2n+1)^{3}
[/mm]
[mm] =2n^{4}-n^{2}+8n^{3}+12n^{2}+6n+1
[/mm]
[mm] =2n^{4}+8n^{3}+11n^{2}+6n+1
[/mm]
Zu b)
[mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{(4k-3) (4k+1)} [/mm] = [mm] \bruch{n}{(4n+1)}
[/mm]
I.A: n=1
[mm] \summe_{k=1}^{1} \bruch{1}{(4*1-3) (4*1+1)} [/mm] = [mm] \bruch{n}{(4*1+1)}
[/mm]
daraus ergibt sich [mm] \bruch{1}{5} [/mm] = [mm] \bruch{1}{5}
[/mm]
I.V n [mm] \to [/mm] n+1
[mm] \summe_{k=1}^{n+1} \bruch{1}{(4k-3) (4k+1)} [/mm] = [mm] \bruch{n+1}{(4(n+1)+1)} [/mm] = [mm] \bruch{n+1}{(4n+5)}
[/mm]
[mm] \summe_{k=1}^{n+1} \bruch{1}{(4k-3) (4k+1)} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{(4k-3) (4k+1)} [/mm] + [mm] \bruch{1}{(4(n+1)-3) (4(n+1)+1)}
[/mm]
= [mm] \bruch{n}{(4n+1)} [/mm] + [mm] \bruch{1}{(4n+1) (4n+5)}
[/mm]
= [mm] \bruch{n+1(4n+1)}{(4n+1) (4n+5)}
[/mm]
= [mm] \bruch{n+1}{(4n+5)}
[/mm]
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gepostet.
MfG
[mm] DARKMAN_X
[/mm]
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Hallo Darkman,
> Beweisen Sie durch Vollständige Induktion für alle n [mm]\in \IN:[/mm]
>
> a) [mm]\summe_{k=1}^{n}(2k-1)^{3}[/mm] = [mm]n^{2}*(2n^{2}-1)[/mm]
>
> b) [mm]\summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{(4k-3) (4k+1)}[/mm] =
> [mm]\bruch{n}{(4n+1)}[/mm]
> Ich habe die Aufgaben zwar gerechnet, weiß aber nicht, ob
> die Richtig sind...Deshalb habe ich diese Aufgabe hier
> gepostet...
>
> Zu a)
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n}(2k-1)^{3}=n^{2}*(2n^{2}-1)[/mm]
>
> I.A: n=1
>
> [mm]\summe_{k=1}^{1}(2*1-1)^{3}=1^{2}*(2*1^{2}-1)[/mm]
>
> daraus ergibt sich 1=1.
>
> I.V: n [mm]\to[/mm] n+1
>
zu zeigen:
> [mm]\summe_{k=1}^{n+1}(2k-1)^{3}=(n+1)^{2}*(2(n+1)^{2}-1)=2n^{4}+8n^{3}+11n^{2}+6n+1[/mm]
Beweis:
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> [mm]\summe_{k=1}^{n+1}(2k-1)^{3}=\summe_{k=1}^{n}(2k-1)^{3}+(2(n+1)-1)^{3}[/mm]
>
> [mm]=n^{2}*(2n^{2}-1)+(2(n+1)-1)^{3}[/mm]
> [mm]=2n^{4}-n^{2}+(2n+1)^{3}[/mm]
> [mm]=2n^{4}-n^{2}+8n^{3}+12n^{2}+6n+1[/mm]
> [mm]=2n^{4}+8n^{3}+11n^{2}+6n+1[/mm]
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
>
> Zu b)
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{(4k-3) (4k+1)}[/mm] =
> [mm]\bruch{n}{(4n+1)}[/mm]
>
> I.A: n=1
>
> [mm]\summe_{k=1}^{1} \bruch{1}{(4*1-3) (4*1+1)}[/mm] =
> [mm]\bruch{n}{(4*1+1)}[/mm]
>
> daraus ergibt sich [mm]\bruch{1}{5}[/mm] = [mm]\bruch{1}{5}[/mm]
>
> I.V n [mm]\to[/mm] n+1
>
zu zeigen:
> [mm]\summe_{k=1}^{n+1} \bruch{1}{(4k-3) (4k+1)}[/mm] = [mm]\bruch{n+1}{(4(n+1)+1)}[/mm] = [mm]\bruch{n+1}{(4n+5)}[/mm]
dazu:
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n+1} \bruch{1}{(4k-3) (4k+1)}[/mm] =
> [mm]\summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{(4k-3) (4k+1)}[/mm] +
> [mm]\bruch{1}{(4(n+1)-3) (4(n+1)+1)}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{n}{(4n+1)}[/mm] + [mm]\bruch{1}{(4n+1) (4n+5)}[/mm]
> =
> [mm]\bruch{n+1(4n+1)}{(4n+1) (4n+5)}[/mm]
Hier hast du doch beim Aufschreiben was verdreht, du musst doch den ersten Bruch mit [mm]4n+5[/mm] erweitern ...
Bzw. hast du Klammern vergessen.
Ich würde aber noch einen Zwischenschritt spendieren, ich zumindest sehe den beiden einzelnen Brüchen diese Faktorisierung des "Gesamtzählers" nicht so an ...
(was aber nix heißen mag ...)
> = [mm]\bruch{n+1}{(4n+5)}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gepostet.
>
> MfG
> [mm]DARKMAN_X[/mm]
Gruß
schachuzipus
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[mm] \bruch{n}{(4n+1)}+\bruch{1}{(4n+1) (4n+5)}
[/mm]
[mm] \bruch{n+1(4n+1)}{(4n+1) (4n+5)}
[/mm]
Danke für deine schnelle Antwort.
Ich habe dieses raus bekommen...
wie meinst du das mit dem ersten bruch erweitern...habe das nicht verstanden kannst du mir das bitte aufschreiben (bzw. zeigen)
MfG
[mm] DARKMAN_X
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:11 So 18.12.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo Darkman!
zwei Brüche lassen sich nur addieren oder subtrahieren, wenn sie denselben Nenner haben (= "gleichnamig" sind).
Es gilt also:
[mm]\bruch{n}{(4n+1)}+\bruch{1}{(4n+1) (4n+5)} \ = \ \bruch{n \ \blue{*(4n+5)}}{(4n+1)\ \blue{*(4n+5)}}+\bruch{1}{(4n+1) (4n+5)} \ = \ \bruch{n*(4n+5)+1}{(4n+1)*(4n+5)} \ = \ ...[/mm]
Gruß
Loddar
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Hi Loddar danke für deine Antwort...aber verstanden habe ich es jetzt trotzdem nicht so ganz, wenn ich das zu ende rechne kommt aber das hier raus [mm] \bruch{n+1}{(4n+1)} [/mm] statt [mm] \bruch{n+1}{(4n+5)} [/mm] das...Irgendwo vertue ich mich aber sehe es nicht...
[mm] \bruch{n}{(4n+1)}+\bruch{1}{(4n+1) (4n+5)} [/mm] = [mm] \bruch{n \ \blue{\cdot{}(4n+5)}}{(4n+1)\ \blue{\cdot{}(4n+5)}}+\bruch{1}{(4n+1) (4n+5)} [/mm] = [mm] \bruch{n\cdot{}(4n+5)+1}{(4n+1)\cdot{}(4n+5)} [/mm] = [mm] \bruch{n+1}{(4n+1)}
[/mm]
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Hallo Darkman,
> Hi Loddar danke für deine Antwort...aber verstanden habe
> ich es jetzt trotzdem nicht so ganz, wenn ich das zu ende
> rechne kommt aber das hier raus [mm]\bruch{n+1}{(4n+1)}[/mm] statt
> [mm]\bruch{n+1}{(4n+5)}[/mm] das...Irgendwo vertue ich mich aber
> sehe es nicht...
>
> [mm]\bruch{n}{(4n+1)}+\bruch{1}{(4n+1) (4n+5)}[/mm] = [mm]\bruch{n \ \blue{\cdot{}(4n+5)}}{(4n+1)\ \blue{\cdot{}(4n+5)}}+\bruch{1}{(4n+1) (4n+5)}[/mm]
> = [mm]\bruch{n\cdot{}(4n+5)+1}{(4n+1)\cdot{}(4n+5)}[/mm] =
> [mm]\bruch{n+1}{(4n+1)}[/mm]
Autsch, du weißt doch: "Aus Summen kürzen nur die D..."
Multipliziere im Zähler mal aus und klammere dann $(4n+5)$ dort aus:
Also Zähler: [mm] $4n^2+5n+1=(4n+5)\cdot{}(...)$ [/mm]
Gruß
schachuzipus
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