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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:31 Fr 02.03.2012 | | Autor: | rudl |
| Aufgabe | [mm] a_{1}=1
[/mm]
[mm] a_{n+1}=\frac{a_{n}+3}{a_{n}+4} [/mm] für $n [mm] \geq [/mm] 1$
.. Überprüfen Sie die Folge auf Konvergenz.. |
Meine Frage:
Wenn ich die Beschränktheit beweisen will dann ist es ohne zweifel richtig von der Behauptung auf die Voraussetzung zu schließen. Ist es auch richtig wenn ich nur eine Wahre aussage herrauskriege? am Beispiel:
Basis:
$0 [mm] \leq a_{1} \leq [/mm] 1$
Voraussetzung:
$0 [mm] \leq a_{n} \leq [/mm] 1$
Behauptung:
$0 [mm] \leq a_{n+1} \leq [/mm] 1$
Schritt:
$0 [mm] \leq a_{n+1} \leq [/mm] 1$
$0 [mm] \leq \frac{a_{n}+3}{a_{n}+4} \leq [/mm] 1 $ | * [mm] a_{n}+4
[/mm]
$0 [mm] \leq a_{n}+3 \leq a_{n}+4 [/mm] $ | - 3
$-3 [mm] \leq a_{n} \leq a_{n}+1$
[/mm]
Obiges ist eine wahre Aussage. Reicht das als Beweis?
Denn:
[mm] $a_{n+1} [/mm] = [mm] \frac{a_{n}+3}{a_{n}+4} [/mm] = 1 - [mm] \frac{1}{a_{n}+4}$
[/mm]
...
Schritt:
$0 [mm] \leq a_{n} \leq [/mm] 1$ | +4
$4 [mm] \leq a_{n} [/mm] + 4 [mm] \leq [/mm] 5$ | [mm] x^{-1} [/mm] *(-1) [mm] (\leq [/mm] und [mm] \geq [/mm] wechseln zwei mal)
$ - [mm] \frac{1}{4} \leq [/mm] - [mm] \frac{1}{a_{n} + 4} \leq [/mm] - [mm] \frac{1}{5} [/mm] $ | + 1
$ [mm] \frac{3}{4} \leq [/mm] 1 - [mm] \frac{1}{a_{n} + 4} \leq \frac{4}{5} [/mm] $ | = [mm] a_{n+1}
[/mm]
$ [mm] \frac{3}{4} \leq a_{n+1} \leq \frac{4}{5} [/mm] $
.. ist deutlich eleganter.
Stimmen beide oder nur die untere?
Und: Darf ich die Voraussetzung als absolut wahr annehmen und daher alle Schlussfolgerungen die daraus zu ziehen sind in der Induktion anwenden?
Besten Dank für eure Hilfe,
Rudl
PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo rudl,
> [mm]a_{1}=1[/mm]
> [mm]a_{n+1}=\frac{a_{n}+3}{a_{n}+4}[/mm] für [mm]n \geq 1[/mm]
>
> .. Überprüfen Sie die Folge auf Konvergenz..
>
>
> Meine Frage:
>
> Wenn ich die Beschränktheit beweisen will dann ist es ohne
> Zweifel richtig von der Behauptung auf die Voraussetzung zu
> schließen. ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
dieses "Verfahren" ist zumindest fragwürdig oder
missverständlich ! Zu zeigen ist jeweils, dass aus
gewissen Voraussetzungen die Wahrheit einer bestimmten
Behauptung hergeleitet werden kann (nicht einfach
umgekehrt).
> Ist es auch richtig wenn ich nur eine wahre
> Aussage herauskriege?
was meinst du damit ?
> am Beispiel:
> Basis:
(du meinst wohl die "Verankerung" für einen Beweis durch
vollständige Induktion)
> [mm]0 \leq a_{1} \leq 1[/mm]
schreib das nicht einfach so hin, sondern mache klar,
weshalb diese beiden Ungleichungen erfüllt sind (ein
kurzer Satz genügt)
> Voraussetzung:
> [mm]0 \leq a_{n} \leq 1[/mm]
>
> Behauptung:
> [mm]0 \leq a_{n+1} \leq 1[/mm]
>
> Schritt:
> [mm]0 \leq a_{n+1} \leq 1[/mm]
>
> [mm]\ 0 \leq \frac{a_{n}+3}{a_{n}+4} \leq 1[/mm] | * [mm]\red{(}a_{n}+4\red{)}[/mm]
Vorsicht: bei dieser Multiplikation der Ungleichung
setzt du voraus, dass [mm] a_n+4>0 [/mm] ist. Dies ist ja aber
gar nicht garantiert, denn du möchtest doch Aussagen
über einen noch unbekannten Wert [mm] a_n [/mm] treffen ...
oder wie war das jetzt genau ... (?)
Aber eigentlich solltest du ja logisch gesehen überhaupt
den umgekehrten Weg gehen, nämlich zeigen, dass
aus den Annahmen [mm] a_n\ge0 [/mm] und [mm] a_n\le1 [/mm] die analogen
Ungleichungen für [mm] a_{n+1} [/mm] folgen.
Das Vorgehen "von hinten nach vorn" ist also hier
eher ungeschickt ...
> [mm]\ 0 \leq a_{n}+3 \leq a_{n}+4[/mm] | - 3
>
> [mm]\ -3 \leq a_{n} \leq a_{n}+1[/mm]
>
> Obiges ist eine wahre Aussage. Reicht das als Beweis?
Falls du schon "das Pferd von hinten aufzäumen" willst,
geh doch noch einen Schritt weiter und vereinfache diese
Ungleichung weiter.
Doch eigentlich sind ja ohnehin zwei Ungleichungen
über [mm] a_{n+1} [/mm] zu zeigen, und nicht nur eine.
> Denn:
>
> [mm]a_{n+1} = \frac{a_{n}+3}{a_{n}+4} = 1 - \frac{1}{a_{n}+4}[/mm]
>
> ...
> Schritt:
> [mm]0 \leq a_{n} \leq 1[/mm] | +4
>
> [mm]4 \leq a_{n} + 4 \leq 5[/mm] | [mm]x^{-1}[/mm] *(-1) [mm](\leq[/mm] und [mm]\geq[/mm]
> wechseln zwei mal)
>
> [mm]- \frac{1}{4} \leq - \frac{1}{a_{n} + 4} \leq - \frac{1}{5}[/mm]
> | + 1
>
> [mm]\frac{3}{4} \leq 1 - \frac{1}{a_{n} + 4} \leq \frac{4}{5}[/mm]
> | = [mm]a_{n+1}[/mm]
>
> [mm]\frac{3}{4} \leq a_{n+1} \leq \frac{4}{5}[/mm]
>
> .. ist deutlich eleganter.
> Stimmen beide oder nur die untere?
Naja; im Prinzip kann man beide Wege gehen - dabei ist aber
stets klar zu machen, aus welchen Annahmen welche Schlüsse
(Implikationen) gezogen werden. Ich würde also sehr dazu raten, die
Logik klar zu machen durch Verwendung der Implikationspfeile
[mm] \Leftarrow [/mm] und/oder [mm] \Rightarrow [/mm] bzw. des "genau-dann-wenn-Pfeils" [mm] \gdw
[/mm]
(je nachdem, was eben jeweils zutrifft)
> Und: Darf ich die Voraussetzung als absolut wahr annehmen
> und daher alle Schlussfolgerungen die daraus zu ziehen sind
> in der Induktion anwenden?
Alle "temporären Voraussetzungen" der Art [mm] A_n\Rightarrow A_{n+1} [/mm] innerhalb
eines Induktionsbeweises sind insofern "vorläufig", als jede
einzelne von der Bestätigung der Verankerung " [mm] A_1 [/mm] ist wahr "
und von der Gültigkeit der gesamten Kette der Folgerungen
[mm] A_1\Rightarrow A_2 [/mm] , [mm] A_2\Rightarrow A_3, A_3\Rightarrow A_4 [/mm] , .... ,
[mm] A_{n-1}\Rightarrow A_n [/mm] abhängig ist.
Ein Beweis durch vollständige Induktion ist ein System
miteinander verzahnter logischer Schlussfolgerungen.
Erst mittels des Axioms der vollständigen Induktion
wird daraus auch ein wirklicher Beweis für die zu
zeigende Aussage, dass [mm] A_n [/mm] für alle [mm] n\in\IN [/mm] gültig ist.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:28 Fr 02.03.2012 | | Autor: | rudl |
Hallo!
> > Wenn ich die Beschränktheit beweisen will dann ist es ohne
> > Zweifel richtig von der Behauptung auf die Voraussetzung zu
> > schließen.
"Ohne Zweifel" war zweifellos eine gefährliche Formulierung.. :)
> dieses "Verfahren" ist zumindest fragwürdig oder
> missverständlich ! Zu zeigen ist jeweils, dass aus
Welches Verfahren? Mein erstes Beispiel oder mein zweites?
> > Ist es auch richtig wenn ich nur eine wahre
> > Aussage herauskriege?
Naja, 0 [mm] \leq [/mm] 1 wäre z.B. eine wahre Aussage.
Vorausgesetzt ich habe bei den Umformungen keinen Fehler gemacht und komme auf dieses Ergebnis dann kann ich doch davon ausgehen dass die ursprüngliche (un)gleichung ebenfalls erfüllt ist.
Gilt das auch bei der Induktion?
Unten erhalte ich ja -3 [mm] \leq a_{n} \leq a_{n} [/mm] + 1
Da war zwar ein Denkfehler drin, aber nehmen wir einfach mal an das hätte seine Richtigkeit.
Wäre diese Aussage dann ein Beweis für meine Behauptung - weil sie Wahr ist [mm] (a_{n} [/mm] sollte in [mm] \IR [/mm] immer [mm] \leq a_{n+1} [/mm] sein) oder wäre sie quasi Thema verfehlt weil sie nicht zeigt dass [mm] a_{n+1} [/mm] begrenzt ist?
> > Basis:
> (du meinst wohl die "Verankerung" für einen Beweis durch
> vollständige Induktion)
Naja, ich hab's als Basis gelernt, quasi die erste Stufe der Treppe.
> Vorsicht: bei dieser Multiplikation der Ungleichung
> setzt du voraus, dass [mm]a_n+4>0[/mm] ist. Dies ist ja aber
> gar nicht garantiert, denn du möchtest doch Aussagen
> über einen noch unbekannten Wert [mm]a_n[/mm] treffen ...
> oder wie war das jetzt genau ... (?)
Jup, das ist definitiv ein Fehler..
Ziel ist die Beschränktheit der Reihe und damit ein Kriterium für Konvergenz zu zeigen
Auch das mit der Reihenfolge leuchtet mir ein.
Angenommen ich würde die Schritte also umkehren, wäre dann mein 2. Beispiel ein sauberer Beweis?
Und wenn nicht, wie sähe der aus?
Ich habe auch schon eine Lösung gesehen bei der die Grenzen in die Formel eingesetzt wurden:
$0 [mm] \leq [/mm] 1 - [mm] \frac{1}{a_{n}+4} \leq [/mm] 1$ | Grenzen in Formel einsetzen
$0 [mm] \leq [/mm] 1 - [mm] \frac{1}{0+4} \leq [/mm] 1 - [mm] \frac{1}{a_{n}+4} \leq [/mm] 1 - [mm] \frac{1}{1+4} \leq [/mm] 1$
Damit ist gezeigt dass bei Verwendung von diesen Grenzen die Folgeglieder diese Grenzen nicht über/unterschreiten. Aber darin sehe ich keine Induktion, das beweist doch nur dass diese beiden konkreten Werte die definierten Grenzen nicht überschreiten..?
Besten Dank für die Hilfe!
Rudl
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$ [mm] a_{1}=1 [/mm] $
$ [mm] a_{n+1}=\frac{a_{n}+3}{a_{n}+4} [/mm] $ für $ n [mm] \geq [/mm] 1 $
Hallo,
du wolltest zeigen, dass $ 0 [mm] \leq a_{n} \leq [/mm] 1 $ für alle [mm] n\in\IN
[/mm]
Ich würde dies beispielsweise so angehen:
1.) Beweis, dass alle Glieder positiv sind:
[mm] a_1=1 [/mm] ist offensichtlich positiv, und wenn man einen
positiven Wert für [mm] a_n [/mm] in die Rekursionsformel einsetzt,
werden dort sowohl Zähler als auch Nenner und damit der
Wert des Bruches und damit [mm] a_{n+1} [/mm] positiv. Mit Induktions-
prinzip folgt, dass alle [mm] a_n [/mm] (mit [mm] n\in\IN) [/mm] positiv sind.
2.) Beweis, dass [mm] a_n\le1 [/mm] für alle [mm] n\in\IN:
[/mm]
[mm] a_1=1 [/mm] erfüllt die Ungleichung offensichtlich.
dann betrachten wir die Rekursionsformel und formen die
etwas um, nämlich:
$ [mm] a_{n+1}\ [/mm] =\ [mm] \frac{a_{n}+3}{a_{n}+4}\ [/mm] =\ [mm] 1-\frac{1}{a_{n}+4} [/mm] $
Weil wir schon wissen, dass [mm] a_n [/mm] immer positiv ist,
folgt auch:
[mm] a_n+4 [/mm] ist positiv
[mm] $\frac{1}{a_{n}+4}$ [/mm] ist positiv
$\ [mm] 1-\frac{1}{a_{n}+4}$ [/mm] ist kleiner als 1, also auch $\ [mm] a_{n+1}\le1$
[/mm]
Wieder nach Induktionsprinzip folgt, dass alle [mm] a_n [/mm] kleiner oder
gleich 1 sind.
Insgesamt: die gesamte Folge ist zwischen den Schranken 0 und 1
beschränkt.
LG Al-Chw.
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