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| Aufgabe | Beweisen sie die Gültigkeit der Summenformel [mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{k}{(k+1)*(k+2)*(k+3)} [/mm] = [mm] \bruch{n*(n+1)}{4*(n+2)*(n+3)} [/mm] für alle n [mm] \in \IN [/mm] mit n ≥ 2 mittels vollständiger Induktion.
[mm] \bruch{n*(n+1)}{4*(n+2)*(n+3)} [/mm] + [mm] \bruch{(n+1)}{(n+1)*(n+2)*(n+3)} [/mm] |
Hallo ihr lieben!
Ich übe mich gerade in der vollständige Induktion. Und wie es so üblich ist, fallen einem die Übungsaufgaben recht leicht, die Klausuraufgaben jedoch mal so gar nicht. Ich hoffe, ihr könnt mir helfen!
Ich komme beim Induktionsschritt für n = n+1 leider nicht weiter. Ich habe folgenden Term
[mm] \bruch{n*(n+1)}{4*(n+2)*(n+3)} [/mm] + [mm] \bruch{(n+1)}{(n+1)*(n+2)*(n+3)}
[/mm]
und weiß nicht, wie ich den zusammenfassen soll, damit ich auf meinen "Zielterm"
[mm] \bruch{(n+1)*(n+2)}{4*(n+3)*(n+4)} [/mm] komme.
Hat jemand einen Tipp für mich und vielleicht auch eine allgemeine Herangehensweise, damit ich das auch auf andere Aufgaben anwenden kann? Habs schon mit ausmultiplizieren und erweitern, etc versucht, aber es klappt partout nicht.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Ah, blöd, ich hab beim Abtippen Fehler gemacht. Natürlich müsste es im Nenner (n+2)*(n+3)*(n+4) heißen, ändert an meinem Problem jedoch nichts :D
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> Beweisen sie die Gültigkeit der Summenformel
> [mm]\summe_{i=1}^{n} \bruch{k}{(k+1)*(k+2)*(k+3)}[/mm] =
> [mm]\bruch{n*(n+1)}{4*(n+2)*(n+3)}[/mm] für alle n [mm]\in \IN[/mm] mit n
> ≥ 2 mittels vollständiger Induktion.
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> [mm]\bruch{n*(n+1)}{4*(n+2)*(n+3)}[/mm] +
> [mm]\bruch{(n+1)}{(n+1)*(n+2)*(n+3)}[/mm]
> Hallo ihr lieben!
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> Ich übe mich gerade in der vollständige Induktion. Und
> wie es so üblich ist, fallen einem die Übungsaufgaben
> recht leicht, die Klausuraufgaben jedoch mal so gar nicht.
> Ich hoffe, ihr könnt mir helfen!
>
> Ich komme beim Induktionsschritt für n = n+1 leider nicht
> weiter. Ich habe folgenden Term
> [mm]\bruch{n*(n+1)}{4*(n+2)*(n+3)}[/mm] +
> [mm]\bruch{(n+1)}{(n+1)*(n+2)*(n+3)}[/mm]
> und weiß nicht, wie ich den zusammenfassen soll, damit
> ich auf meinen "Zielterm"
> [mm]\bruch{(n+1)*(n+2)}{4*(n+3)*(n+4)}[/mm] komme.
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> Hat jemand einen Tipp für mich und vielleicht auch eine
> allgemeine Herangehensweise, damit ich das auch auf andere
> Aufgaben anwenden kann? Habs schon mit ausmultiplizieren
> und erweitern, etc versucht, aber es klappt partout nicht.
>
Du hast dich beim n+1 Glied vertan.
Richtig lautet deine Formel:
[mm] \summe_{i=1}^{n+1} \bruch{k}{(k+1)\cdot{}(k+2)\cdot{}(k+3)}=
[/mm]
[mm] \bruch{n\cdot{}(n+1)}{4\cdot{}(n+2)\cdot{}(n+3)}+\bruch{(n+1)}{(n+2)\cdot{}(n+3)\cdot{}(n+4)}
[/mm]
nun kommst du auch auf die gewünschte Form.
LG Scherzkrapferl
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Danke für die Antwort! Den Fehler habe ich mittlerweile auch selbst bemerkt, jedoch weiß ich immer noch nicht, wie ich den Term zusammenfassen soll. Ich hab gar keine Idee, wo ich da anfangen kann oder muss. In der Richtung noch einen Hinweis?
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Hallo,
am einfachsten wäre wahrscheinlich auf gleichen Nenner bringen und dann mit Polynomdivision spielen.
LG und gute Nacht, Scherzkrapferl
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