www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Uni-Analysis-Induktion" - Vollständige Induktion
Vollständige Induktion < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Analysis-Induktion"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Vollständige Induktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:38 So 14.04.2013
Autor: MatheDell

Aufgabe
1)Zeigen Sie, dass für alle a,b [mm] \in \IC [/mm] gilt:

[mm] (a+b)^n [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^{n}\vektor{n \\ i}a^i*b^{n-i} [/mm]

2) Folgern Sie hieraus: Für i [mm] \in\ [/mm] {0,...,n [mm] \} [/mm] gilt [mm] \vektor{n \\ i} \le 2^n [/mm]

3) Zeigen Sie, dass für alle q [mm] \in \IC [/mm] gilt:

   [mm] (1-q)\summe_{i=0}^{n}q^i=1-q^{n+1} [/mm]

4) Folgern Sie aus 3) für alle a,b [mm] \in \IC [/mm]

   [mm] a^n-b^n=(a-b)\summe_{i=0}^{n-1}a^{n-1-i}b^i [/mm]


Hier mehr Aufgaben um Vollständige Induktion:

Ich stehe bei allen Fragen auf dem Schlauch.

Bei der 1) habe ich es mit dem Induktionsanfang a=b=1 versucht:

[mm] (1+1)^n=2^n [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^{1}\vektor{1 \\ i}a^i*b^{1-i} [/mm] = 1

da ja 1 über 0 gleich 1 ist und a hoch k auch 1 und b hoch 1 minus 0 auch 1.

Also ist ja schon der IA falsch.

Bei der 3) habe ich folgendes gerechnet:

I.A.
q=1
Ergibt 0=0

[mm] (1-(q+1))\summe_{i=0}^{n}(q+1)^n [/mm] = 1-(q+1)^(n+1)

I.S.
[mm] q*\summe_{i=0}^{n}(q+1)^n [/mm]

Aber wo soll ich hier die IV anwenden?




        
Bezug
Vollständige Induktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:48 So 14.04.2013
Autor: M.Rex

Hallo

> 1)Zeigen Sie, dass für alle a,b [mm]\in \IC[/mm] gilt:

>

> [mm](a+b)^n[/mm] = [mm]\summe_{i=0}^{n}\vektor{n \\ i}a^i*b^{n-i}[/mm]

>

> 2) Folgern Sie hieraus: Für i [mm]\in\[/mm] {0,...,n } gilt
> [mm]\vektor{n \\ i} \le 2^n[/mm]

>

> 3) Zeigen Sie, dass für alle q [mm]\in \IC[/mm] gilt:

>

> [mm](1-q)\summe_{i=0}^{n}q^i=1-q^{n+1}[/mm]

>

> 4) Folgern Sie aus 3) für alle a,b [mm]\in \IC[/mm]

>

> [mm]a^n-b^n=(a-b)\summe_{i=0}^{n-1}a^{n-1-i}b^i[/mm]

>

> Hier mehr Aufgaben um Vollständige Induktion:

>

> Ich stehe bei allen Fragen auf dem Schlauch.

>

> Bei der 1) habe ich es mit dem Induktionsanfang a=b=1
> versucht:

>

> [mm](1+1)^n=2^n[/mm] = [mm]\summe_{i=0}^{1}\vektor{1 \\ i}a^i*b^{1-i}[/mm] = 1



Oh nein, n=1 a und b sind beliebig

für n=1 hast du einerseits [mm] (a+b)^{1}=a+b [/mm]
und andererseits
[mm] \sum\limits_{i=0}^{1}{n\choose i}a^i\cdot b^{n-i} [/mm]
[mm] =\underbrace{{1\choose0}\cdot a^{0}\cdot b^{1-0}}_{i=0}+\underbrace{{1\choose1}\cdot a^{1}\cdot b^{1-1}}_{i=1}=\ldots [/mm]

Für den Induktionschritt beginne mit der Rückseite:

[mm] (a+b)^{n+1}=(a+b)\cdot(a+b)^{n}=(a+b)\cdot [/mm]
[mm] \sum\limits_{i=0}^{n}{n\choose i}a^i\cdot b^{n-i} [/mm]
[mm] =\ldots=\sum\limits_{i=0}^{n+1}{n+1\choose i}a^i\cdot b^{n-i} [/mm]


Den sehr ausführlich erklärten Beweis findest du []hier.

> 1

>

> da ja 1 über 0 gleich 1 ist und a hoch k auch 1 und b hoch
> 1 minus 0 auch 1.

>

> Also ist ja schon der IA falsch.

>

> Bei der 3) habe ich folgendes gerechnet:

>

> I.A.
> q=1
> Ergibt 0=0

>

> [mm](1-(q+1))\summe_{i=0}^{n}(q+1)^n[/mm] = 1-(q+1)^(n+1)

>

> I.S.
> [mm]q*\summe_{i=0}^{n}(q+1)^n[/mm]

>

> Aber wo soll ich hier die IV anwenden?

Auch hier n ist die Induktionsvariable. Dein Anfang ist schon falsch.

Marius

Bezug
        
Bezug
Vollständige Induktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:20 So 14.04.2013
Autor: MatheDell

Zu ii)

Ich benutze k=1 was n über 1 = n entspricht und das ist immer kleiner als 2 hoch n.

[mm] \vektor{n \\ 1} \le 2^n [/mm]

nun habe ich im IS diesen Term:

[mm] \bruch{n!}{((k+1)!(n-(k+1)))!} \le 2^n [/mm]

Was nun?

Bezug
                
Bezug
Vollständige Induktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:37 So 14.04.2013
Autor: steppenhahn

Hallo,

 > Zu ii)
>

> Ich benutze k=1 was n über 1 = n entspricht und das ist
> immer kleiner als 2 hoch n.

>

> [mm]\vektor{n \\ 1} \le 2^n[/mm]

>

> nun habe ich im IS diesen Term:

>

> [mm]\bruch{n!}{((k+1)!(n-(k+1)))!} \le 2^n[/mm]

>

> Was nun?

Falls du Aufgabe 2) meinst:

Zu zeigen: [mm] $\vektor{n \\i} \le 2^{n}$ [/mm] für alle $i = 0,...,n$    (*)

Dann darfst Du für i keinen Wert einsetzen, die Aussage soll doch für alle i gelten. Du musst diese Aussage auch nicht mit Induktion zeigen.

Zum Beweis:
Nach Aufgabe 1) gilt doch:

[mm] $2^{n} [/mm] = [mm] (1+1)^{n} [/mm] = [mm] \sum_{i=0}^{n}\vektor{n\\i} 1^{i} 1^{n-i} [/mm] = [mm] \sum_{i=0}^{n}\vektor{n \\i}$. [/mm]

Kannst du daraus die Behauptung (*) folgern?


Viele Grüße,
Stefan

Bezug
                        
Bezug
Vollständige Induktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:22 So 14.04.2013
Autor: MatheDell

Das einzige was mir dazu einfällt ist

[mm] 2^n [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^{n}\vektor{n \\ i}=\summe_{i=0}^{n}\vektor{n \\ n-i} [/mm]



Bezug
                                
Bezug
Vollständige Induktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:30 So 14.04.2013
Autor: steppenhahn

Hallo,

 > Das einzige was mir dazu einfällt ist
>

> [mm]2^n[/mm] = [mm]\summe_{i=0}^{n}\vektor{n \\ i}=\summe_{i=0}^{n}\vektor{n \\ n-i}[/mm]


Stelle bitte deine Fragen als "Fragen", und nicht als "Mitteilungen" !


Ich hatte doch geschrieben:

[mm] $2^{n} [/mm] = [mm] \sum_{i=0}^{n}\vektor{n\\i}$. [/mm]

Jeder einzelne Summand auf der rechten Seite ist positiv! Daher gilt für i = 0,...,n:

[mm] $2^{n} [/mm] = [mm] \sum_{i=0}^{n}\vektor{n\\i} \ge \vektor{n\\i}$. [/mm]

Viele Grüße,
Stefan

Bezug
        
Bezug
Vollständige Induktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:34 So 14.04.2013
Autor: MatheDell

zu iv)

Habe nun als IA n=1 genommen was a+b= a+b bringt.

Im Induktionsschritt bin ich bei

[mm] (a-b)\summe_{i=0}^{n}a^{n-i}*b^i [/mm]

Weiß aber nicht wie ich die Gleichung so umformen kann, dass ich die Induktionsvorraussetzung einsetzen kann.


Bezug
                
Bezug
Vollständige Induktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:43 So 14.04.2013
Autor: steppenhahn

Hallo,

Zu 4)

> Habe nun als IA n=1 genommen was a+b= a+b bringt.

>

> Im Induktionsschritt bin ich bei

>

> [mm](a-b)\summe_{i=0}^{n}a^{n-i}*b^i[/mm]

>

> Weiß aber nicht wie ich die Gleichung so umformen kann,
> dass ich die Induktionsvorraussetzung einsetzen kann.

Du sollst ja Aufgabe 3) benutzen. Damit du das machst, solltest du Aufgabe 4) ohne Induktion beweisen.

Evtl. hilft dir das etwas: Für [mm] $a\not= [/mm] 0$ (Der Fall a = 0 muss gesondert betrachtet werden) gilt:

[mm] $\sum_{i=0}^{n-1}a^{n-1-i}b^{i} [/mm] = [mm] a^{n-1}\sum_{i=0}^{n-1}\left(\frac{b}{a}\right)^{i} [/mm] = ...$

Jetzt kannst du Aufgabe 3) benutzen.


Viele Grüße,
Stefan

Bezug
                        
Bezug
Vollständige Induktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:35 So 14.04.2013
Autor: MatheDell

Wie kann ich hier Aufgabe 3 anwenden?


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Analysis-Induktion"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de