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| Aufgabe | | Beweisen Sie mittels V. I. das gilt: [mm] \summe_{k=2}^{n-1}\bruch{2}{k^3-k}=\bruch{1}{2}-\bruch{1}{n*(n-1)} [/mm] für alle [mm] $n\ge [/mm] 2$ |
Irgendwie bekomme ich die richtig Induktionsvoraussetzung nicht hin. Mich irritiert die Grenze n-1 statt einfach nur n. Ich bekomme den n+1 Schritt einfach nicht korrekt hin, ich denke das es irgendwie mit der Grenze zu tun haben muss. Habe schon mehrere Varianten probiert. Anscheinend habe ich das Prinzip der V. I. wohl noch nicht bis ins Detail begriffen...Wäre für eine Anregung dankbar.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Beweisen Sie mittels V. I. das gilt: [mm]\summe_{k=2}^{n-1} 2/(k^3-k)[/mm]
> = 1/2-1/(n*(n-1)) für alle [mm]n\ge2[/mm]
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Du möchtest beweisen, daß [mm] \summe_{k=2}^{n-1} 2/(k^3-k)= [/mm] 1/2-1/(n*(n-1)) für alle [mm] n\ge [/mm] 2.
Die Induktion funktioniert so:
I.A.: Du zeigst, daß die Aussage für (in diesem Falle) n=2 stimmt.
Mußt, also zeigen, daß (überall für n die 2 einsetzen)
[mm] \summe_{k=2}^{2-1} 2/(k^3-k)[/mm] [/mm] = 1/2-1/(2*(2-1)) richtig ist.
I.V.: die Behauptung [mm] \summe_{k=2}^{n-1} 2/(k^3-k) [/mm] =1/2-1/(n*(n-1)) gelte für alle [mm] n\le [/mm] 2.
I.S: Hier ist sie zu beweisen, daß sie unter dieser Vorraussetzung auch für die auf n folgende Zahl richtig ist, also für n+1.
Um herauszufinden, was zu zeigen ist, ersetzt Du in der Behauptung überall das n durch n+1. Also
zu zeigen: es gilt [mm] \summe_{k=2}^{(n+1)-1} 2/(k^3-k) [/mm] =1/2-1/((n+1)*((n+1)-1))
Dann fängst Du an:
es ist
[mm] \summe_{k=2}^{(n+1)-1} 2/(k^3-k) =\summe_{k=2}^{n} 2/(k^3-k) [/mm] =...
und das formst du unter Verwendung der I.V. solange und richtig um, bis am Ende ...=1/2-1/((n+1)*n =1/2-1/((n+1)*((n+1)-1)) dasteht.
Gruß v. Angela
P.S.: bei  Induktion ist das nochmal erklärt und ein Beispiel gerechnet.
> Irgendwie bekomme ich die richtig Induktionsvoraussetzung
> nicht hin. Mich irritiert die Grenze n-1 statt einfach nur
> n. Ich bekomme den n+1 Schritt einfach nicht korrekt hin,
> ich denke das es irgendwie mit der Grenze zu tun haben
> muss. Habe schon mehrere Varianten probiert. Anscheinend
> habe ich das Prinzip der V. I. wohl noch nicht bis ins
> Detail begriffen...Wäre für eine Anregung dankbar.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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Danke für deine ausführliche Antwort.
Vieles davon hatte ich schon so vermutet. Ich hake nur eben genau bei deinen ... - also bei der Aufstellung des Induktionsschrittes ;)
Was entspricht denn der [mm] \summe_{k=2}^{n} 2/(k^3-k) [/mm] ?
Meine Idee war jetzt [mm] 1/2-1/(n*(n-1))+2/(n^3-n), [/mm] komme dabei aber nicht auf die Behauptung. :(
Ich steh wirklich etwas auf dem Schlauch, ich bastel einfach schon zu lange dran rum...ist wahrscheinlich ganz einfach. :/
Danke schonmal im Voraus!
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Hallo Pferdchen!
> Meine Idee war jetzt [mm]1/2-1/(n*(n-1))+2/(n^3-n),[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Richtig so! Faktorisiere nun den 2. Nenner mit [mm] $n^3-n [/mm] \ = \ [mm] n*\left(n^2-1\right) [/mm] \ = \ n*(n-1)*(n+1)$ und bringe beide Brüche gleichnamig machen und zusammenfassen.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:15 Sa 10.11.2007 | | Autor: | pferdchen01 |
Danke, aber leider...hakt es immer noch.
Irgendwie hats mir diese Aufgabe angetan... :/
Ich muss durch Umformung ja auf 1/2-1/(n*(n+1)) kommen. Wenn ich faktorisiere so wie du es vorgeschlagen hast und dann den anderen Bruch mit (n+1) erweitere um zusammenfassen zu können bleib ich bei [mm] 1/2-(n+3)/(n*(n^2-1)) [/mm] stecken. Damit komm ich doch nie auf die oben genannte Gleichung, oder? Oder hab ich die falsche Behauptung aufgestellt.. *ahhh*
Trotzdem danke nochmal für die Antwort!
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> Ich muss durch Umformung ja auf 1/2-1/(n*(n+1)) kommen.
> Wenn ich faktorisiere so wie du es vorgeschlagen hast und
> dann den anderen Bruch mit (n+1) erweitere um
> zusammenfassen zu können bleib ich bei
> [mm]1/2-(n+3)/(n*(n^2-1))[/mm] stecken.
Hallo,
für den Leser wäre es um Klassen leichter, würdest Du hier vorrechnen, was Du getan hast. Mach das mal!
Verwende dafür nach Möglichkeit den Formeleditor (Eingabehilfen unterhalb des Eingabefensters) , und stell die Brüche als Brüche dar. Man sieht dann eher auf einen Blick, was Sache ist.
Gruß v. Angela
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Ok, seh ich ja ein ;)
Also Induktionsschritt (Schluß) hatte ich dann jetzt:
[mm] \summe_{k=2}^{n}\bruch{2}{k^3-k}=\bruch{1}{2}-\bruch{1}{n*(n-1)}+\bruch{2}{n^3-n}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2}-\bruch{1}{n^2-n}+\bruch{2}{n*(n-1)*(n+1)}
[/mm]
(-> zweiten Bruch erweitern damit ich zusammenfassen kann)
[mm] =\bruch{1}{2}-\bruch{1*(n+1)}{n*(n-1)*(n+1)}+\bruch{2}{n*(n-1)*(n+1)}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2}-\bruch{1*(n+1)+2}{n*(n-1)*(n+1)}
[/mm]
So und das kann ich doch nicht vereinfachen so das ich auf [mm] \bruch{1}{2}-\bruch{1}{n*(n+1)}komme, [/mm] also die von dir (und eigentlich ja auch von mir als richtig angesehene) herausgefundene Induktionsvoraussetzung.
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Hallo pferdchen,
> Ok, seh ich ja ein ;)
>
> Also Induktionsschritt (Schluß) hatte ich dann jetzt:
>
> [mm]\summe_{k=2}^{n}\bruch{2}{k^3-k}=\bruch{1}{2}-\bruch{1}{n*(n-1)}+\bruch{2}{n^3-n}[/mm]
> [mm]=\bruch{1}{2}-\bruch{1}{n^2-n}+\bruch{2}{n*(n-1)*(n+1)}[/mm] ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> (-> zweiten Bruch erweitern damit ich zusammenfassen
> kann)
Nun passiert ein Fehler beim Erweitern, schreiben wir besser das Minus in den Zähler, um sicher zu gehen, also
[mm] $\bruch{1}{2}-\bruch{1}{n^2-n}+\bruch{2}{n(n-1)(n+1)}=\bruch{1}{2}\red{+}\bruch{\red{-}1}{n^2-n}+\bruch{2}{n(n-1)(n+1)}=\bruch{1}{2}+\bruch{-(n+1)}{(n^2-n)(n+1)}+\bruch{2}{n(n-1)(n+1)}$
[/mm]
[mm] $=\bruch{1}{2}+\bruch{-n-1+2}{n(n-1)(n+1)}=\bruch{1}{2}+\bruch{-n+1}{n(n-1)(n+1)}=\bruch{1}{2}+\bruch{-(n-1)}{n(n-1)(n+1)}=\bruch{1}{2}\red{-}\bruch{n-1}{n(n-1)(n+1)}=\bruch{1}{2}-\bruch{1}{n(n+1)}$
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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Wieder so eine Kleinigkeit die Unmengen Zeit kostet...Das liebe ich an Mathe - ein Vorzeichenfehler und nix geht mehr ;)
Vielen Dank nochmal an alle, die sich für mich bemüht haben!
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