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Forum "Uni-Analysis-Induktion" - Vollständige Induktionsbeweis
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Vollständige Induktionsbeweis: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:35 Fr 03.11.2006
Autor: Idale

Aufgabe
[mm] \summe_{i=1}^{n}i² [/mm] = [mm] \bruch{n(n+1) (2n+1)}{6} [/mm]

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Kann jemand mal checken, ob ich die Aufgabe formal richtig gelöst habe, bin mir nämlich an manchen Stellen nicht sicher?

Induktionsanfang: n sei 1

[mm] \summe_{i=1}^{n}i² [/mm] = [mm] \bruch{1(1+1) (2*1+1)}{6} [/mm]

1 = [mm] \bruch{6}{6} [/mm] = 1

Induktionsbehauptung: n sei (auch) n +1

[mm] \summe_{i=1}^{n}i² [/mm] = [mm] \bruch{n+1(n+1+1) (2(n+1)+1)}{6} [/mm]

1 = [mm] \summe_{i=1}^{n}i² [/mm] = [mm] \bruch{n+1(n+2) (2n+3)}{6} [/mm]

1 = [mm] \summe_{i=1}^{n}i² [/mm] = [mm] \bruch{2n³+7n²+10n+6}{6} [/mm] | *6, -6

0 = 2n³ + 7n² + 10n

0 = n(2n² + 7n +10)

Soweit richtig? Wenn ja, welchen Schluss darf ich jetzt daraus ziehen? Darf ich n gleich 0 setzen, um die Behauptung zu belegen (0=0)?

Danke

MFG



        
Bezug
Vollständige Induktionsbeweis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:41 Fr 03.11.2006
Autor: Gonozal_IX

Also bis zum Induktionsanfang ist alles richtig, danach ist es ziemlich konfus :-)

Also, beim Schritt von n -> n+1 gehst du wie folgt vor:

Du musst zeigen, daß

[mm]\summe_{i=1}^{n+1}i^2 = \bruch{(n+1)(n+2)(2(n+1)+1)}{6}[/mm] ist, unter der Vorraussetzung, daß [mm]\summe_{i=1}^{n}i^2 = \bruch{(n)(n+1)(2n+1)}{6}[/mm] gilt.

Am besten ist es also, du fängst mit [mm] \summe_{i=1}^{n+1}i^2 [/mm] an und formst das solange um, bis du die rechte Seite dastehen hast, also:

[mm]\summe_{i=1}^{n+1}i^2 = ... = \bruch{(n+1)(n+2)(2(n+1)+1)}{6}[/mm]

Ziwschendrin musst du natürlich irgendwann die Induktionsannahme / -voraussetzung benutzen.

Tip bei Summen: letztes Glied abspalten, Induktionsannahme benutzen, umformen, fertig.

Klappt fast immer ;-)

Gruß,
Gono.

Bezug
                
Bezug
Vollständige Induktionsbeweis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:54 Fr 03.11.2006
Autor: Idale

Danke, aber was meinst du konkret mit letztes Glied abspalten (ist bestimmt eine idioten Frage, sorry)?


MFG


Bezug
                        
Bezug
Vollständige Induktionsbeweis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:13 Fr 03.11.2006
Autor: Xa3r0

Das letzte Glied in deiner Summe wäre, dass du für i (n+1) einsetzt, also [mm] (n+1)^2. [/mm]

Bei Summen klappt es eigentlich fast immer, dass du die Gleichung folgendermaßen aufstellst:

[mm]\summe_{i=1}^{n+1}i^2[/mm]= Induktionsvoraussetzung + letztes Glied

Wenn du das dann umformst kommst du, wie gesagt fast immer, zu der Induktionsbehauptung.

Bezug
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