Vollständiger Induktionsbeweis < Induktion < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:20 Do 04.10.2012 | | Autor: | Maurizz |
| Aufgabe | | 1³ + 2³ +...+ n³ = ((n(n+1))/2)² |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. Ich habe überhaupt noch keine mathematische Frage im Internet gestellt.
Hallo,
Ich habe seit langer Zeit mich nicht mit Mathematik befasst und muss jetzt als Informatik-erststudent schnellstens mein Mathewissen vergrößern. Als erstes muss ich verstehen wie die vollständige Induktion abläuft. Ich möchte nur wissen ob ich es auch wirklich verstanden habe, also:
> Induktionsanfang
Ich überprüfe hier, ob beim kleinst möglichen einsetzbaren Element aus den natürlichen Zahlen (hier n=1) die Aussage A(n) zutrifft.
( (1(1+1) / 2 )² = 1. Soweit so gut nehm ich an.
> Induktionsvoraussetzung
Da die Aussage A(n) für ein n aus N gilt ist die voraussetzung erfüllt, oder? Muss dieses n immer das kleinstmögliche sein um die Voraussetzung zu erfüllen? Reicht es immer nur ein Element zu überprüfen?
>Induktionsschluß
Und hier kommt jetzt für mich die große Verwirrung.
Ich hab mir folgendes gedacht:
1. 1³+2³+...+n³ = (((n+1)((n+1)+1))/2)² = (((n+1)(n+2))/2)²
2. Und jetzt stoß ich quasi gegen eine Wand.
Meine Idee war 1³+2³+...+n³ mit ((n(n+1))/2)² + (n+1)³ auszudrücken.
Daraus folgt das ich folgendes schreiben würde:
((n(n+1))/2)² + (n+1)³ = (((n+1)(n+2))/2)²
Aber das geht entweder nicht auf oder ich versteh die Rechenkunst dahinter nicht. Ich glaube ich hab irgendwo einer Kleinigkeit übersehen oder vollkommen falsch verstanden...
Solange ich diese Aufgabe hier gelöst hab komm ich nicht einmal an Kapitel 1 vorbei:(
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Hallo und
![[willkommenvh]](/images/smileys/willkommenvh.png "[willkommenvh]")
Im Prinzip gehst du richtig vor. Der Induktionsanfang stimmt. Die Voraussetzung muss man nicht prüfen, es ist ja unter anderem Sinn und Zweck der ganzen Übung, sie zu beweisen.
Deinen Induktionsschluss hast du etwas nachlässig aufgeschrieben, wiewohl er nicht grundsätzlich falsch ist. Bedenke aber, dass die meisten Dozenten die von dir aufgestellte Identität von rechts nach links gezeigt haben möchten, weil dies dem Prinzip der vollständigen Induktion besser entspricht. Andersherum wäre es bequemer, falsch wäre das in meinen Augen auch nicht, da es sich um eine zu beweisende Äquivalenz handelt, aber dennoch ist es besser, sich das von der Richtung her korrekt anzugewöhnen, denn sobald eine Aussage nicht eine Äquivalenz behauptet, geht es nicht mehr anders.
Deine Rechnung müsstest du schon hier einstellen, wenn wir dir Fehler aufzeigen sollen. Mein Tipp wäre, den Term
[mm] \left(\bruch{(n+1)*(n+2)}{2}\right)^2
[/mm]
einmal auszumultiplizieren und dann zu versuchen, [mm] (n+1)^3 [/mm] abzuspalten. Den Rest musst du dann durch geschicktes Faktorisieren umformen zu
[mm] \left(\bruch{n*(n+1)}{2}\right)^2,
[/mm]
und damit hättest du den Induktionsschluss dann gezeigt:
[mm] \left(\bruch{(n+1)*(n+2)}{2}\right)^2=\left(\bruch{n*(n+1)}{2}\right)^2+(n+1)^3
[/mm]
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:44 Do 04.10.2012 | | Autor: | Maurizz |
Danke für die schnelle Antwort,
mir ist klar geworden das meine Betrachtungsweise einfach vollkommen falsch war. Wahrscheinlich weil man Jahre lang in der "normalen" Schule total statisch durchgezogen wird durch die Mathematik. Zumindest war das bei mir so:) Einen Ausdruck in der Mathematik von rechts nach links zu betrachten kam mir z.b bisher garnicht in den Sinn aus Gewohnheit. Und das obwohl ich es bei Programmiersprachen bereits begegnet bin.
Ich hab mir grad folgendes gedacht: (Mit einer einfacheren Aussage)
1+3+5+...+(2n-1)=n² ; für n=1, a(1)=1; für n=2, a(2)=4 denn es wird eine zahlenFOLGE betrachtet also 1+3 a(1)=1, a(2)=1+3 (Vorhin hab ich mir noch was anderes unter der gesamten Aussage vorgestellt...)
Dann hab ich einfache Schulmathematik angewandt und zwar:
Wenn ich n²+1 auf die Aussage anwende, dann rutsche ich lediglich um eine Zahl nach rechts(ebenfall ein Denkfehler vorhin).
Dadurch wurde mir klar was ich mit (n+1)² berechne. Und zwar ist für n=2 1+3 gemeint und für n=3 1+3+5 usw.
Naja wie auch immer. Was mir grad klar geworden ist, ist das ich zunächst meine Fehler richtig erkennen muss bevor ich eine Frage stelle;) Dennoch hat die Antwort mich dazu gebracht es mal von einer anderen Seite anzuschauen.
Gruß Maurizz
> Hallo und
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> Im Prinzip gehst du richtig vor. Der Induktionsanfang
> stimmt. Die Voraussetzung muss man nicht prüfen, es ist ja
> unter anderem Sinn und Zweck der ganzen Übung, sie zu
> beweisen.
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> Deinen Induktionsschluss hast du etwas nachlässig
> aufgeschrieben, wiewohl er nicht grundsätzlich falsch ist.
> Bedenke aber, dass die meisten Dozenten die von dir
> aufgestellte Identität von rechts nach links gezeigt haben
> möchten, weil dies dem Prinzip der vollständigen
> Induktion besser entspricht. Andersherum wäre es bequemer,
> falsch wäre das in meinen Augen auch nicht, da es sich um
> eine zu beweisende Äquivalenz handelt, aber dennoch ist es
> besser, sich das von der Richtung her korrekt
> anzugewöhnen, denn sobald eine Aussage nicht eine
> Äquivalenz behauptet, geht es nicht mehr anders.
>
> Deine Rechnung müsstest du schon hier einstellen, wenn wir
> dir Fehler aufzeigen sollen. Mein Tipp wäre, den Term
>
> [mm]\left(\bruch{(n+1)*(n+2)}{2}\right)^2[/mm]
>
> einmal auszumultiplizieren und dann zu versuchen, [mm](n+1)^3[/mm]
> abzuspalten. Den Rest musst du dann durch geschicktes
> Faktorisieren umformen zu
>
> [mm]\left(\bruch{n*(n+1)}{2}\right)^2,[/mm]
>
> und damit hättest du den Induktionsschluss dann gezeigt:
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> [mm]\left(\bruch{(n+1)*(n+2)}{2}\right)^2=\left(\bruch{n*(n+1)}{2}\right)^2+(n+1)^3[/mm]
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> Gruß, Diophant
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